Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 10
Текст из файла (страница 10)
т., когда отображение fˆ дифференцируемо в точке (x0 , y0 ) и выполненыусловия Коши-Римана:∂u∂v(x0 , y0 ) =(x0 , y0 ),∂x∂y∂u∂v(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).∂y∂x(4.8)При указанных условиях производная f ′ (z0 ) представима в любой из четырехформ:∂u∂v∂v∂uf ′ (z0 ) =(z0 ) + i (z0 ) =(z0 ) − i (z0 ) =∂x∂x∂y∂y∂u∂v∂v∂u(z0 ) − i (z0 ) =(z0 ) + i (z0 ).∂x∂y∂y∂x(4.9)Нам потребуетсяЛемма 4.9. (о матрице умножения на комплексное число) Рассмотримфункцию g : C → C, g(z) = w := a · z умножения на фиксированное числоa = a1 + ia2 . Пусть ĝ : R2 → R2 – отображение плоскости, действующее поправилу (x, y) → (w1 , w2 ), где w1 + iw2 = g(x + iy).
Тогда:1. отображение ĝ является линейным, в указанных координатах оно имеет матричный вид() ()()w1a1 −a2xĝ(x, y) ==;(4.10)w2a2 a1y46Я. М. ДЫМАРСКИЙ2. если a ̸= 0, то отображение ĝ представляет собой композицию поворота на угол φ = arg(a) и гомотетии с центром в точке O(0, 0) икоэффициентом |a|:()()a1 −a2cos φ − sin φ= |a|.a2 a1sin φ cos φДоказательство леммы. Умножение комплексных чиселa·z = (a1 +ia2 )(x+iy) = a1 x−a2 y+i(a2 x+a1 y) ⇔ w1 = a1 x−a2 y, w2 = a2 x+a1 yсовпадает с действием матрицы из п. 1 леммы. Вынося за знак матрицысомножитель |a| ̸= 0 и применяя тригонометрическую форму комплексногочисла, получаем утверждение п. 2.
Замечание 4.7. Утверждение п. 2 уже было нами получено в лемме 1.15.4.Доказательство теоремы 4.7. Существование комплексной производнойравносильно тождеству (4.6). Поскольку, в силу леммы 4.9, умножение нафиксированное комплексное число есть линейное отображение действительнойплоскости, то тождество (4.6) равносильно дифференцируемости отображенияfˆ. Из дифференцируемости fˆ следует, что производная Dfˆ(x0 , y0 ) есть матрица 2 × 2, составленная из частных производных (лемма 4.8). Но, в силу п.1 леммы 4.9, та же матрица совпадает с матрицей (4.10) умножения на комплексное число a:( ∂u(x ,y ) ∂u(x ,y ) ) ()0 00 0a1 −a2∂x∂y=.∂v(x0 ,y0 )∂v(x0 ,y0 )a2 a1∂x∂yСравнивая элементы равных матриц, приходим к условиям (4.8).
Откуда получаем все формы (4.9) представления производной. Обсуждение 4.2. Если функции f (z) комплексно дифференцируема на области, то условия (4.8) Коши-Римана становятся системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка∂u∂v∂u∂v(x, y) =(x, y),(x, y) = − (x, y),∂x∂y∂y∂x(4.11)которой удовлетворяют действительная и мнимая части функции f . В следующем параграфе мы получим некоторые следствия о комплексно дифференцируемой функции f , вытекающие из системы (4.11).Примеры 4.2. 1) Проверим, что экспонента f (z) = ez дифференцируема наC и найдем ее производную.
В силу формулы Эйлера, отображение (4.7) и егоматрица Якоби таковы:( x)e cos y −ex sin yxxˆˆf (x, y) = (e cos y, e sin y), Df (x, y) =.ex sin y ex cos yВсе условия теоремы 4.7 выполнены, причем, в силу (4.9),(ez )′ = ex cos y + i ex sin y = ez .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР2) Функция сопряжения g(z) := z̄ недифференцируема:()∂u∂v1 0ĝ(x, y) = (x, −y), Dĝ(x, y) =,(x, y) ≡ 1 ̸= −1 ≡(x, y).0 −1∂x∂yЗаметим, что отображение ĝ : R2 → R2 дифференцируемо.4748Я. М.
ДЫМАРСКИЙ§ 5. Частные производные и дифференциалывысших порядков функции нескольких переменныхДля функций нескольких переменных понятие высших производных является весьма громоздким. Оказывается его можно успешно заменить дифференциалами высших порядков, определение и свойства которых не зависят отколичества переменных.5.1. Частные производные высших порядков.Определение 5.1. Пусть в окрестности точки x0 ∈ Rn существует частная∂fпроизводная ∂x(x) функции f (x) = f (x1 , ..., xn ).
Частной производной втоiрого порядка по переменной xj в точке x0 называется производная функцииодной переменной∂∂2f(x0 ) :=∂xj ∂xi∂xj()∂f 0 ,(bxj ) ∂xix=x0где xb0j = (x01 , ..., x0j−1 , xj , x0j+1 , ..., x0n ). Т.е. фиксируют все переменные, кромеj-й, по ней дифференцируют, после чего фиксируют и ее.Частная производная порядка k определяется по индукции∂∂kf(x0 ) :=∂xik ...∂xi1∂xik()∂ k−1 f0(bx ) . ∂xik−1 ...∂xi1 ikx=x0Пример 5.1. У функции двух переменных может существовать четыре производных второго порядка, причем смешанные производные (т.е.
от разныхпеременных) в общем случае не обязаны совпадать. Так для функции{f (x, y) =22xy xx2 −y+y 2 , x + y > 00,x=y=022()∂2fd ∂f(0, 0) =(x, 0) = 1,∂x∂ydx ∂yx=0()∂2fd ∂f(0, 0) =(0, y) = −1.∂y∂xdy ∂xy=0Однако вернаТеорема 5.1. (достаточные условия независимости второй смешанной производной от порядка дифференцирования) Если обе смешанные производные∂2f∂2f∂x∂y и ∂y∂x определены в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) и непрерывны в точке (x0 , y0 ), то они равны в этой точке:∂2f∂2f(x0 , y0 ) =(x0 , y0 ).∂x∂y∂y∂xЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР49Доказательство.
Обозначим через ∆x f и ∆y f приращения функции f , порожденные приращениями ∆x и ∆y аргументов x и y соответственно. Покажем, что∆y (∆x f (x0 , y0 )) = ∆x (∆y f (x0 , y0 )).(5.1)∆y (∆x f (x0 , y0 )) = ∆y (f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )) =f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) − (f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )) =f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0 , y0 +∆y)−f (x0 +∆x, y0 )+f (x0 , y0 ) = ∆x (∆y f (x0 , y0 )).(Заметим, что выражение симметрично относительно приращений аргументов.) Теперь применим к обеим частям равенства (5.1) теорему Лагранжа,к левой части – по переменной x, к правой части – по y:()()∂f∂f∆y(x0 + θ1 ∆x, y0 )∆x = ∆x(x0 , y0 + θ2 ∆y)∆y ,∂x∂yгде 0 < θ1 , θ2 < 1. Еще раз применяем теорему Лагранжа:()∂f∆y(x0 + θ1 ∆x, y0 )∆x =∂x()∂f∂f(x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y) −(x0 + θ1 ∆x, y0 ) ∆x =∂x∂x∂2f∂2f(x0 + θ1 ∆x, y0 + θ3 ∆y)∆y∆x =(x0 + θ4 ∆x, y0 + θ2 ∆y)∆x∆y,∂y∂x∂x∂yгде 0 < θ3 , θ4 < 1.
Деля обе части на произведение ∆x∆y и переходя к пределупри (∆x, ∆y) → (0, 0), получаем требуемое. Утверждение, аналогичное теореме 5.1, справедливо для производной любого порядка:Теорема 5.2. Если у функции f (x1 , ..., xn ) всевозможные частные производные до k-го порядка включительно существуют в некоторой области инепрерывны на ней, то все они не зависят от порядка дифференцирования влюбой точке области.Замечание 5.1. В терминах частных производных высоких порядков формулируются законы физики – это так называемые уравнения математическойфизики или уравнения в частных производных. Сформулированная выше теорема существенно упрощает сами уравнения и их исследование.Важным приложением теоремы 5.1 являетсяТеорема 5.3.
(о гармоничности компонент комплексно дифференцируемойфункции) Пусть функцияf : C ⊃ U → C, f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)комплексно дифференцируема на открытом подмножестве U . Пусть ее компоненты (т.е. действительная и мнимая части) имеют на U всевозможные50Я. М. ДЫМАРСКИЙчастные производные до второго порядка включительно, причем эти производные непрерывны на U . Тогда компоненты f являются на U гармоническими функциями, т.е.
удовлетворяют дифференциальным уравнениямвторого порядка∂2u ∂2u∂2v∂2v+=0,+= 0.∂x2∂y 2∂x2∂y 2Доказательство. Продифференцируем по y (по x) первое уравнение и по x(по y) второе уравнение из системы (4.11) Коши-Римана. В силу теоремы 5.1,смешанные производные совпадают, и мы получаем гармоничность функцииu(x, y) (функции v(x, y)). 5.2. Операторы дифференцирования. Для определения дифференциалов высших порядков удобно ввести понятия функционального пространстваи дифференциального оператора.Определение 5.2. Пусть X ⊂ Rn – область. Функция f называется k разнепрерывно дифференцируемой (k = 0, 1, 2...) на X, если она имеет в каждой точке области все частные производные до порядка k включительно и онинепрерывны на X. Множество всех таких функций обозначают C k (X). (Еслиk = 0, то функция непрерывна на X.) Важно, что множество C k (X) обладает структурой линейного пространства,т.е. можно ввести операции сложения его элементов и умножения их на число.Определение 5.3.
Определим сложение функций и умножение их начисло так: ∀f, g ∈ C k (X) и ∀α ∈ R(f + g)(x) := f (x) + g(x), (α · f )(x) := α · f (x) для любого x ∈ X. Эти правила столь естественны, что мы ими пользуемся не задумываясь.Заметим, что одинаковые значки +, · слева и справа имеют разный смысл,хотя первые определены через вторые.Лемма 5.1. Множество C k (X) с введенными операциями является линейным пространством.Доказательство состоит к проверке всех аксиом линейного пространства,которая сводится к операциям с числами и линейности дифференцирования.Задача 5.1. Какая функция является “нулевым вектором” в пространствеC k (X)? Какая функция является “противоположным вектором” к функции f ?Замечание 5.2.
Итак, элементами=“векторами” рассматриваемых линейных пространств являются функции. Поэтому такие пространства называютфункциональными. Пространства C k (X) по своим возможностям “богаче”,чем линейные; их элементы можно умножать: если f, g ∈ C k (X), то функция(f · g)(x) := f (x) · g(x) тоже принадлежит C k (X) (проверьте).Среди всех отображений линейных пространств наиболее важны такие, которые сохраняют линейные операции.51ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРОпределение 5.4.
Отображение A : L1 → L2 линейных пространств называется линейным оператором, если для любых a, b ∈ L1 и любых чиселα, β ∈ R выполнено:A(αa + βb) = αA(a) + βA(b). ∂Лемма 5.2. Частная производная ∂xявляется линейным оператором, дейikk−1ствующим из C (X) в C(X) (k ∈ N).Задача 5.2. Докажите лемму 5.2.Сделаем следующий шаг – определим линейные операции с линейными операторами. Поступим аналогично тому, как мы вводили операции в функциональных пространствах – перенесем операцию на образ.Определение 5.5. Пусть A, B : L1 → L2 – линейные операторы, действующие в одних и тех же пространствах. Определим сложение линейныхоператоров и умножение их на число так:(A + B)(a) := A(a) + B(a), (α · A)(a) := α · A(a). Задача 5.3.
Докажите корректность определения, т.е. A + B и α · A являются линейными операторами.Примеры 5.1. 1) Пусть k ∈ N и e = (e1 , ..., en )T – фиксированный единичный вектор. Рассмотрим линейный операторAe : C k (X) → C k−1 (X), Ae := e1∂∂+ ... + en.∂x1∂xnНа функции f ∈ C k (X) его действие таково:)(∂∂f∂f∂+ ... + en(f (x)) = (gradf (x), e) =(x) ⇔ Ae =.Ae (f ) = e1∂x1∂xn∂e∂eТ.е. это оператор нахождения производной по направлению вектора e.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
