Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 2 семестр

Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 10

Файл №1187969 Лекции Дымарский 2 семестр (Лекции Дымарский 2 семестр) 10 страницаЛекции Дымарский 2 семестр (1187969) страница 102020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

т., когда отображение fˆ дифференцируемо в точке (x0 , y0 ) и выполненыусловия Коши-Римана:∂u∂v(x0 , y0 ) =(x0 , y0 ),∂x∂y∂u∂v(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).∂y∂x(4.8)При указанных условиях производная f ′ (z0 ) представима в любой из четырехформ:∂u∂v∂v∂uf ′ (z0 ) =(z0 ) + i (z0 ) =(z0 ) − i (z0 ) =∂x∂x∂y∂y∂u∂v∂v∂u(z0 ) − i (z0 ) =(z0 ) + i (z0 ).∂x∂y∂y∂x(4.9)Нам потребуетсяЛемма 4.9. (о матрице умножения на комплексное число) Рассмотримфункцию g : C → C, g(z) = w := a · z умножения на фиксированное числоa = a1 + ia2 . Пусть ĝ : R2 → R2 – отображение плоскости, действующее поправилу (x, y) → (w1 , w2 ), где w1 + iw2 = g(x + iy).

Тогда:1. отображение ĝ является линейным, в указанных координатах оно имеет матричный вид() ()()w1a1 −a2xĝ(x, y) ==;(4.10)w2a2 a1y46Я. М. ДЫМАРСКИЙ2. если a ̸= 0, то отображение ĝ представляет собой композицию поворота на угол φ = arg(a) и гомотетии с центром в точке O(0, 0) икоэффициентом |a|:()()a1 −a2cos φ − sin φ= |a|.a2 a1sin φ cos φДоказательство леммы. Умножение комплексных чиселa·z = (a1 +ia2 )(x+iy) = a1 x−a2 y+i(a2 x+a1 y) ⇔ w1 = a1 x−a2 y, w2 = a2 x+a1 yсовпадает с действием матрицы из п. 1 леммы. Вынося за знак матрицысомножитель |a| ̸= 0 и применяя тригонометрическую форму комплексногочисла, получаем утверждение п. 2.

Замечание 4.7. Утверждение п. 2 уже было нами получено в лемме 1.15.4.Доказательство теоремы 4.7. Существование комплексной производнойравносильно тождеству (4.6). Поскольку, в силу леммы 4.9, умножение нафиксированное комплексное число есть линейное отображение действительнойплоскости, то тождество (4.6) равносильно дифференцируемости отображенияfˆ. Из дифференцируемости fˆ следует, что производная Dfˆ(x0 , y0 ) есть матрица 2 × 2, составленная из частных производных (лемма 4.8). Но, в силу п.1 леммы 4.9, та же матрица совпадает с матрицей (4.10) умножения на комплексное число a:( ∂u(x ,y ) ∂u(x ,y ) ) ()0 00 0a1 −a2∂x∂y=.∂v(x0 ,y0 )∂v(x0 ,y0 )a2 a1∂x∂yСравнивая элементы равных матриц, приходим к условиям (4.8).

Откуда получаем все формы (4.9) представления производной. Обсуждение 4.2. Если функции f (z) комплексно дифференцируема на области, то условия (4.8) Коши-Римана становятся системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка∂u∂v∂u∂v(x, y) =(x, y),(x, y) = − (x, y),∂x∂y∂y∂x(4.11)которой удовлетворяют действительная и мнимая части функции f . В следующем параграфе мы получим некоторые следствия о комплексно дифференцируемой функции f , вытекающие из системы (4.11).Примеры 4.2. 1) Проверим, что экспонента f (z) = ez дифференцируема наC и найдем ее производную.

В силу формулы Эйлера, отображение (4.7) и егоматрица Якоби таковы:( x)e cos y −ex sin yxxˆˆf (x, y) = (e cos y, e sin y), Df (x, y) =.ex sin y ex cos yВсе условия теоремы 4.7 выполнены, причем, в силу (4.9),(ez )′ = ex cos y + i ex sin y = ez .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР2) Функция сопряжения g(z) := z̄ недифференцируема:()∂u∂v1 0ĝ(x, y) = (x, −y), Dĝ(x, y) =,(x, y) ≡ 1 ̸= −1 ≡(x, y).0 −1∂x∂yЗаметим, что отображение ĝ : R2 → R2 дифференцируемо.4748Я. М.

ДЫМАРСКИЙ§ 5. Частные производные и дифференциалывысших порядков функции нескольких переменныхДля функций нескольких переменных понятие высших производных является весьма громоздким. Оказывается его можно успешно заменить дифференциалами высших порядков, определение и свойства которых не зависят отколичества переменных.5.1. Частные производные высших порядков.Определение 5.1. Пусть в окрестности точки x0 ∈ Rn существует частная∂fпроизводная ∂x(x) функции f (x) = f (x1 , ..., xn ).

Частной производной втоiрого порядка по переменной xj в точке x0 называется производная функцииодной переменной∂∂2f(x0 ) :=∂xj ∂xi∂xj()∂f 0 ,(bxj ) ∂xix=x0где xb0j = (x01 , ..., x0j−1 , xj , x0j+1 , ..., x0n ). Т.е. фиксируют все переменные, кромеj-й, по ней дифференцируют, после чего фиксируют и ее.Частная производная порядка k определяется по индукции∂∂kf(x0 ) :=∂xik ...∂xi1∂xik()∂ k−1 f0(bx ) . ∂xik−1 ...∂xi1 ikx=x0Пример 5.1. У функции двух переменных может существовать четыре производных второго порядка, причем смешанные производные (т.е.

от разныхпеременных) в общем случае не обязаны совпадать. Так для функции{f (x, y) =22xy xx2 −y+y 2 , x + y > 00,x=y=022()∂2fd ∂f(0, 0) =(x, 0) = 1,∂x∂ydx ∂yx=0()∂2fd ∂f(0, 0) =(0, y) = −1.∂y∂xdy ∂xy=0Однако вернаТеорема 5.1. (достаточные условия независимости второй смешанной производной от порядка дифференцирования) Если обе смешанные производные∂2f∂2f∂x∂y и ∂y∂x определены в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) и непрерывны в точке (x0 , y0 ), то они равны в этой точке:∂2f∂2f(x0 , y0 ) =(x0 , y0 ).∂x∂y∂y∂xЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР49Доказательство.

Обозначим через ∆x f и ∆y f приращения функции f , порожденные приращениями ∆x и ∆y аргументов x и y соответственно. Покажем, что∆y (∆x f (x0 , y0 )) = ∆x (∆y f (x0 , y0 )).(5.1)∆y (∆x f (x0 , y0 )) = ∆y (f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )) =f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) − (f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )) =f (x0 +∆x, y0 +∆y)−f (x0 , y0 +∆y)−f (x0 +∆x, y0 )+f (x0 , y0 ) = ∆x (∆y f (x0 , y0 )).(Заметим, что выражение симметрично относительно приращений аргументов.) Теперь применим к обеим частям равенства (5.1) теорему Лагранжа,к левой части – по переменной x, к правой части – по y:()()∂f∂f∆y(x0 + θ1 ∆x, y0 )∆x = ∆x(x0 , y0 + θ2 ∆y)∆y ,∂x∂yгде 0 < θ1 , θ2 < 1. Еще раз применяем теорему Лагранжа:()∂f∆y(x0 + θ1 ∆x, y0 )∆x =∂x()∂f∂f(x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y) −(x0 + θ1 ∆x, y0 ) ∆x =∂x∂x∂2f∂2f(x0 + θ1 ∆x, y0 + θ3 ∆y)∆y∆x =(x0 + θ4 ∆x, y0 + θ2 ∆y)∆x∆y,∂y∂x∂x∂yгде 0 < θ3 , θ4 < 1.

Деля обе части на произведение ∆x∆y и переходя к пределупри (∆x, ∆y) → (0, 0), получаем требуемое. Утверждение, аналогичное теореме 5.1, справедливо для производной любого порядка:Теорема 5.2. Если у функции f (x1 , ..., xn ) всевозможные частные производные до k-го порядка включительно существуют в некоторой области инепрерывны на ней, то все они не зависят от порядка дифференцирования влюбой точке области.Замечание 5.1. В терминах частных производных высоких порядков формулируются законы физики – это так называемые уравнения математическойфизики или уравнения в частных производных. Сформулированная выше теорема существенно упрощает сами уравнения и их исследование.Важным приложением теоремы 5.1 являетсяТеорема 5.3.

(о гармоничности компонент комплексно дифференцируемойфункции) Пусть функцияf : C ⊃ U → C, f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)комплексно дифференцируема на открытом подмножестве U . Пусть ее компоненты (т.е. действительная и мнимая части) имеют на U всевозможные50Я. М. ДЫМАРСКИЙчастные производные до второго порядка включительно, причем эти производные непрерывны на U . Тогда компоненты f являются на U гармоническими функциями, т.е.

удовлетворяют дифференциальным уравнениямвторого порядка∂2u ∂2u∂2v∂2v+=0,+= 0.∂x2∂y 2∂x2∂y 2Доказательство. Продифференцируем по y (по x) первое уравнение и по x(по y) второе уравнение из системы (4.11) Коши-Римана. В силу теоремы 5.1,смешанные производные совпадают, и мы получаем гармоничность функцииu(x, y) (функции v(x, y)). 5.2. Операторы дифференцирования. Для определения дифференциалов высших порядков удобно ввести понятия функционального пространстваи дифференциального оператора.Определение 5.2. Пусть X ⊂ Rn – область. Функция f называется k разнепрерывно дифференцируемой (k = 0, 1, 2...) на X, если она имеет в каждой точке области все частные производные до порядка k включительно и онинепрерывны на X. Множество всех таких функций обозначают C k (X). (Еслиk = 0, то функция непрерывна на X.) Важно, что множество C k (X) обладает структурой линейного пространства,т.е. можно ввести операции сложения его элементов и умножения их на число.Определение 5.3.

Определим сложение функций и умножение их начисло так: ∀f, g ∈ C k (X) и ∀α ∈ R(f + g)(x) := f (x) + g(x), (α · f )(x) := α · f (x) для любого x ∈ X. Эти правила столь естественны, что мы ими пользуемся не задумываясь.Заметим, что одинаковые значки +, · слева и справа имеют разный смысл,хотя первые определены через вторые.Лемма 5.1. Множество C k (X) с введенными операциями является линейным пространством.Доказательство состоит к проверке всех аксиом линейного пространства,которая сводится к операциям с числами и линейности дифференцирования.Задача 5.1. Какая функция является “нулевым вектором” в пространствеC k (X)? Какая функция является “противоположным вектором” к функции f ?Замечание 5.2.

Итак, элементами=“векторами” рассматриваемых линейных пространств являются функции. Поэтому такие пространства называютфункциональными. Пространства C k (X) по своим возможностям “богаче”,чем линейные; их элементы можно умножать: если f, g ∈ C k (X), то функция(f · g)(x) := f (x) · g(x) тоже принадлежит C k (X) (проверьте).Среди всех отображений линейных пространств наиболее важны такие, которые сохраняют линейные операции.51ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРОпределение 5.4.

Отображение A : L1 → L2 линейных пространств называется линейным оператором, если для любых a, b ∈ L1 и любых чиселα, β ∈ R выполнено:A(αa + βb) = αA(a) + βA(b). ∂Лемма 5.2. Частная производная ∂xявляется линейным оператором, дейikk−1ствующим из C (X) в C(X) (k ∈ N).Задача 5.2. Докажите лемму 5.2.Сделаем следующий шаг – определим линейные операции с линейными операторами. Поступим аналогично тому, как мы вводили операции в функциональных пространствах – перенесем операцию на образ.Определение 5.5. Пусть A, B : L1 → L2 – линейные операторы, действующие в одних и тех же пространствах. Определим сложение линейныхоператоров и умножение их на число так:(A + B)(a) := A(a) + B(a), (α · A)(a) := α · A(a). Задача 5.3.

Докажите корректность определения, т.е. A + B и α · A являются линейными операторами.Примеры 5.1. 1) Пусть k ∈ N и e = (e1 , ..., en )T – фиксированный единичный вектор. Рассмотрим линейный операторAe : C k (X) → C k−1 (X), Ae := e1∂∂+ ... + en.∂x1∂xnНа функции f ∈ C k (X) его действие таково:)(∂∂f∂f∂+ ... + en(f (x)) = (gradf (x), e) =(x) ⇔ Ae =.Ae (f ) = e1∂x1∂xn∂e∂eТ.е. это оператор нахождения производной по направлению вектора e.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,24 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее