Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

(об измеримости “подграфика”) Пусть непрерывная неотрицательная функция f : E → R+0 определена на измеримом замкнутоммножестве E ⊂ Rn . Тогда ее подграфикn+1U nderGr(f ) = U Gr(f ) := {(x, y) ∈ E × R+0 : 0 6 y 6 f (x)} ⊂ Rявляется измеримым множеством.Замечание 14.2. В случае, когда n = 1 и E – отрезок, подграфик естькриволинейная трапеция.Доказательство. Поскольку E компактно, то 0 6 f (x) < C = const. Поэтому подграфик содержится в ограниченном цилиндре E × [0, C]. Границаподграфика есть объединение (рис. 14.17)∪∪∂(U Gr(f )) = (E × {0}) Gr(f )({x} × [0, f (x)]).x∈∂E“Основание” подграфика E × {0} имеет нулевую (n + 1)-мерную меру (докажите). “” подграфика есть график Gr(f ), мера которого равна нулю согласно лем∪ме 14.6.

“Боковая поверхность” x∈∂E ({x} × [0, f (x)]) подграфика содержитсяЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР159в клеточном цилиндрическом множестве ∆K × [0, C] (см. доказательство леммы 14.6) сколь угодно малой меры. Следовательно, граница подграфика имеетнулевую меру, что доказывает теорему. Следствие 14.3.

Многомерный шар Balln = {x ∈ Rn ; |x| 6 R} (R > 0)измеримое множество.Задача 14.5. Докажите следствие, воспользовавшись индукцией и тем фактом, что “северное” полушарие есть подграфик:n+1Ball+= Balln+1 ∩ {xn+1 > 0} = U Gr(f ), гдеf (x1 , ..., xn ) =√R2 − (x21 + ... + x2n ), (x1 , ..., xn ) ∈ Balln ..

Характеристики

Список файлов лекций