Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если функция представима в виде степенного ряда с положительнымрадиусом сходимости, то коэффициенты этого ряда определяются единственным образом.Доказательство первого утверждения следует из теоремы 12.9, примененной к исходному степенному ряду n раз. Формула (12.8) получается из формулы (12.7) подстановкой z = z0 . Единственность коэффициентов степенногоряда следует из формул (12.8). Позже нам понадобится138Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 12.10.
(о радиусе сходимости суммы двух степенныхрядов)∑∞kПустьRиR–радиусысходимостистепенныхрядовc(z12k=0 k ∑− z0 ) и∑∞∞kk=0 dk (z −z0 ) соответственно. Тогда радиус сходимости R рядаk=0 (ck +dk )(z−z0 )k равен: 1) R = min{R1 , R2 }, если R1 ̸= R2 ; 2) R > R1 , если R1 = R2 .Доказательство. Пусть, для определенности, R1 < R2 . Тогда при |z − z0 | <R1 оба ряда сходятся и ряд, являющийся их суммой, тоже сходится. ЕслиR1 < |z − z0 | < R2 , то первый ряд расходится, а второй сходится. Поэтому ихсумма расходится.
Поскольку сумма рядов также является степенным рядом,мы можем сделать вывод, что R = R1 = min{R1 , R2 }. (Нет необходимостиисследовать сходимость ряда при условии |z − z0 | > R2 : т.к. обнаруженыточки z, в которых ряд расходится при условии |z − z0 | > R1 , то ряд тем болеебудет расходится при условии |z − z0 | > R2 > R1 . Хотя, заметим, сумма двухрасходящихся рядов не обязана расходиться.)Если же R1 = R2 , то при |z − z0 | < R1 оба ряда сходятся и ряд, являющийсяих суммой, тоже сходится.
Поэтому R > R1 . При |z − z0 | > R1 = R2 оба рядарасходятся и сделать определенный вывод невозможно. ) k∑∞ ( 11Примеры 12.1. 1) Радиус сходимости) k k=0 2k + 3k z равен 2, по∑∞ ( 1рядасколькуk=0 2k z равен 2, а радиус сходимости( ) сходимости ряда∑∞радиусряда k=0 31k z k равен 3.∑∞∑∞2) Ряды k=0 z k и k=0 (−1)z k имеют радиусы сходимости, равные 1. А ихсумма имеет радиус сходимости +∞, поскольку сумма равна нулевому ряду.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР139§ 13. Ряды ТейлораРяд Тейлора естественным образом появляется из формулы Тейлора в случае, когда исследуемая функция бесконечно дифференцируема. В предыдущей лекции мы интересовались сходимостью данного степенного ряда. Сейчасв качестве исходного объекта берется функция f . Затем по ней определяется степенной ряд по образцу формулы Тейлора. После чего решается вопроссходимости этого ряда именно к той функции, которая его породила.13.1.
Степенные ряды с действительными членами. В предыдущемпараграфе мы убедились в том, что теория степенных рядов естественно выглядит на комплексной прямой. Ряды Тейлора также естественно исследоватьна C, однако для этого требуются продвинутые знания о функциях комплексной переменной. Поэтому сейчас мы вынуждены ограничиться случаем рядовс действительными коэффициентами от действительной переменной x ∈ R.Прежде всего уточним результаты теории СР на R.∑∞kРассмотрим действительный степенной ряд (ДСР)k=0 ak (x − x0 ) , гдеak , x, x0 ∈ R.
Поскольку ДСР можно рассматривать как комплексный, трактуя переменную x ∈ C как комплексную, то радиус сходимости ДСР можноопределить по формуле Коши-Адамара (12.1), положив ck = ak . Центр кругасходимости x0 ∈ R, поэтому пересечение круга сходимости с действительнойпрямой есть интервал сходимости (x0 − R, x0 + R) (рис. ???). Соберемутверждения теорем 12.8, 12.9 и следствия ?? об интегрировании и дифференцировании комплексных СР в одну теорему о ДСР и докажем ее, опираясь натеорию действительных функциональных рядов.Теорема∑∞ 13.1.
(об интегрировании и дифференцировании ДСР) Если ДСРf (x) = k=0 ak (x − x0 )k имеет положительный радиус сходимости R > 0,то:1. для любого x ∈ (x0 − R, x0 + R) справедлива формула почленного интегрирования∫ x∞∑akf (t)dt =(x − x0 )k+1 ;(13.1)k+1x0k=02. в интервале сходимости (x0 − R, x0 + R) функция f имеет производныелюбого порядка, причем для любого x ∈ (x0 − R, x0 + R) и для любогоn ∈ N справедлива формула почленного дифференцированияf (n) (x) =∞∑ak ((x − x0 )k )(n) ;(13.2)k=0∑∞3.
коэффициенты степенного ряда f (x) = k=0 ak (x − x0 )k определяютсяпо функции f формулойf (k) (x0 )ak =.(13.3)k!4. Если функция представима в виде степенного ряда с положительнымрадиусом сходимости, то коэффициенты этого ряда определяются единственным образом.140Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство п. 1 Возьмем произвольное r ∈ (|x − x0 |, R). Данный рядравномерно сходится на отрезке [x0 − r, x0 + r] (теорема 12.3). Поэтому, применяя теорему 10.8, получаем формулу (13.1).Доказательство п. 2. Во-первых, ряд (13.2) сходитсяпри x = x0 .
Во-вторых,∑∞в силу теоремы 12.8, радиус сходимости ряда k=0 ak k(x − x0 )k−1 , полученного формальным дифференцированием, равен R. Поэтому на отрезке [x0 −r,определен нами в предыдущем пункте доказательства, ряд∑x∞0 + r], которыйk−1ak(x−x)сходится равномерно. В силу теоремы 10.9, получаем форk0k=0мулу (13.2) при n = 1.
Применяя те же рассуждения произвольное конечноеколичество раз, получаем формулу (13.2) для произвольного n ∈ N.Доказательство пп. 3 и 4 остаются неизменными. 13.2. Ряд Тейлора. Дадим, мотивированное теоремой 13.1,Определение 13.1. (свойств функции в т. x0 )1. Функция f называется бесконечно дифференцируемой в т. x0 , еслидля любого k ∈ N существует производная f (k) (x0 ).2. Пусть функция f бесконечно дифференцируема в точке x0 . Степеннойряд∞∑f (k) (x0 )(x − x0 )k(13.4)k!k=0называют рядом Тейлора функции f в точке x0 . По аналогии с формулой Тейлора, ряд Тейлора функции f в точке x0 = 0 называют рядомМаклорена этой функции.3.
Функция f называется регулярной в точке x0 , если она бесконечнодифференцируема в этой точке и ее ряд Тейлора в точке x0 сходится кэтой же функции f в некоторой окрестности точки x0 , т.е.∃δ > 0 : ∀x ∈ Uδ (x0 ) ,→ f (x) =∞∑f (k) (x0 )k=0k!(x − x0 )k .Обсуждение 13.1. Рассмотрим четыре объекта: регулярную в точке x0функцию f (РФ); функцию f , которая бесконечно дифференцируема в некоторой окрестноститочки x0 (ДФ); ряд Тейлора (13.4) функции f (РТ); сте∑∞пенной ряд k=0 ak (x−x0 )k , у которого радиус сходимости R > 0 (СР). Междуобъектами имеются связи, нуждающиеся в пояснении.1.
(РФ) ⇒ (ДФ): регулярная в точке x0 функция, в силу п. 2 теоремы13.1, является бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестностиэтой точки.2. (ДФ) ⇒ (РТ): в силу определения (13.4).3. (РФ) ⇔ (СР) в силу п. 3 теоремы 13.1; другими словами, если степенной∑∞ряд k=0 ak (x − x0 )k имеет положительный радиус сходимости, то он(ряд) порождает функцию (сумму ряда!) внутри интервала сходимости,для которой этот же ряд является рядом Тейлора (ak = f (k) (x0 )/k!), афункция является регулярной в точке x0 .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР141Однако из (ДФ) в общем случае НЕ следует (РФ), т.е. существует бесконечнодифференцируемая функция, порождающая ряд Тейлора, который (ряд) к нейНЕ сходится ни в какой сколь угодно малой окрестности точки x0 .Примеры 13.1.
Рассмотрим функции (рис. 13.1 и 13.2){{2e−1/x , если x ̸= 0,0, если x 6 0,g(x) =h(x) =20, если x = 0;e−1/x , если x > 0.Функция g больше нуля всюду, кроме точки x0 = 0. Оказывается, в нулепроизводная любого порядка g (k) (0) = 0 (k ∈ N). Следовательно, функция gбесконечно дифференцируема на R, а ее коэффициенты ряда Маклорена в точке x0 = 0 все равны нулю.
Значит, ряд Маклорена всюду сходится, его суммаравна тождественному нулю на R и НЕ совпадает с функцией g ни в однойточке, кроме x0 = 0. Все производные функции h также обнуляются в нуле,но ее ряд Маклорена совпадает с функцией на полуоси неотрицательных чисел. Известны бесконечно дифференцируемые на R функции, ряд Маклоренакоторых не сходится ни в одной точке. Получается, что в общем случае всепроизводные в одной точке не дают прогноза поведения функции ни в какойее окрестности.Рис.
13.1Рис. 13.2Рис. 13.3Оказывается, для функций комплексного переменного ситуация принципиально иная: однократная дифференцируемость (в комплексном смысле!) на области влечет бесконечную дифференцируемость, которая, в свою очередь, влечет регулярность. Заметим, что функция g на C не может рассматриватьсякак контрпример: в точке z0 = 0 она разрывна, поскольку на мнимой оси2g(iy) = e1/y → +∞ при y → 0.Задача 13.1. Докажите, что для любого k ∈ N производная g (k) (0) = 0.Задача 13.2. Чему равны остаточные члены rn (x) (n = 1, 2, ...) формулыМаклорена функций g(x) и h(x)?Возникает естественный вопрос: каковы условия сходимости ряда Тейлора именно к той функции, которая его породила? Другими словами, каковыусловия регулярности функции? Чтобы ответить на него, мы воспользуемсяостаткомn∑f (k) (x0 )rn (x) := f (x) −(x − x0 )k = f (x) − Sn (x),k!k=0где Sn (x) – одновременно и многочлен Тейлора, и частичная сумма ряда Тейлора, а rn (x) – одновременно и остаточный член формулы Тейлора, и остатокряда Тейлора.142Я.
М. ДЫМАРСКИЙЛемма 13.1. (критерий регулярности функции в терминах остаточногочлена формулы Тейлора) Функция f является регулярной в точке x0 тогда ит.т., когда∃δ > 0 : ∀x ∈ Uδ (x0 ) ,→ lim rn (x) = 0.n→∞Доказательство. Достаточно определение регулярности (п. 3 определения13.1) сопоставить с определением суммы функционального ряда.
Замечание 13.1. Ранее, исследуя формулу Тейлора, мы проверяли стремление остатка rn (x) → 0, фиксируя n ∈ N, при x → x0 . Сейчас, исследуя рядТейлора, мы проверяем стремление остатка rn (x) → 0, фиксируя произвольный◦x ∈ U δ (x0 ), при n → ∞.Применим лемму 13.1, чтобы получитьТеорема 13.2.
(достаточный признак регулярности) Пусть функция fбесконечно дифференцируема в некоторой δ-окрестности точки x0 и все еепроизводные равномерно ограничены в этой окрестности, т.е.∃δ > 0 ∧ ∃M > 0 : (∀n ∈ N ∧ ∀x ∈ Uδ (x0 )) ,→ |f (n) (x)| 6 M.Тогда функция регулярна в точке x0 и ее ряд Тейлора сходится к ней в тойже δ-окрестности точки x0 :∀x ∈ Uδ (x0 ) ,→ f (x) =∞∑f (k) (x0 )k=0k!(x − x0 )k .Доказательство. Остаточный член формулы Тейлора запишем в формеЛагранжа: rn (x) = (f (n+1) (ξ)/(n + 1)!)(x − x0 )(n+1) , где x ∈ Uδ (x0 ), а ξ лежитстрого между x0 и x.
Из условия теоремы получаем равномерную для всехx ∈ Uδ (x0 ) оценку сверху: |rn (x)| 6 M δ n+1 /(n + 1)!. Остается показать, чтос ростом n дробь dn+1 := δ n+1 /(n + 1)! стремится к нулю, иначе говоря, степенная функция растет медленнее, чем факториал (не исключено, что δ > 1,и мы имеем дело с неопределенностью δ n+1 /(n + 1)! = ∞/∞ при n → ∞).
Ноотношение dn+1 /dn = δ/(n + 1) → 0 при n → ∞. Поэтому последовательностьdn убывает к нулю быстрее, чем геометрическая прогрессия с произвольнымпоказателем q ∈ (0, 1). Замечание 13.2. Понятно, что функции из примеров 13.1 не удовлетворяют условиям теоремы 13.2: с ростом n производные g (n) (x) неограниченнорастут в сколь угодно малой окрестности нуля (на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
