Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для поточечной сходимости применяют обозначение fn (x) → f (x).Обсуждение 10.2. Предельная функция f не задана заранее. Если онасуществует (что не обязательно), то определяется с помощью данной ФП {fn }.Принципиально, что у всех функций из ФП и у предельной функции одна и таже область определения X.114Я.
М. ДЫМАРСКИЙЛемма 10.1. Если функциональная последовательность поточечно сходится, то предел единственный.Задача 10.1. Докажите лемму 10.1.Запишем определение поточечной сходимости fn к f на языке ε-номер:∀x ∈ X ∀ε > 0 ,→ ∃N = N (x, ε) ∈ N : ∀n > N ,→ |fn (x) − f (x)| < ε.(10.1)Теперь сформулируем основноеОпределение 10.3. Говорят, что ФП {fn } равномерно сходится к функции f ∈ F (X) на X при n → ∞, если∀ε > 0 ,→ ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N ∧ ∀x ∈ X ,→ |fn (x) − f (x)| < ε.(10.2)Для равномерной сходимости применяют обозначенияXfn (x) ⇒ f (x), x ∈ X или fn (x) ⇒ f (x). Отличие условий (10.1) и (10.2) в том, что в (10.1) номер N зависит от аргумента x, т.е. поточечное стремление fn (x) к пределу f (x) зависит от x. Приравномерной сходимости один и тот же номер N обеспечивает равномерную по всем x ∈ X (откуда название) ε-близость fn (x) к f (x).Геометрическая интерпретация равномерной сходимости.
ПустьXfn (x) → f (x), а ε > 0 – произвольное число. Рассмотрим графики трех функций: Gr(f (x)), Gr(f (x) ± ε) ⊂ X × R. ПодмножествоT ubε (f ) := {(x, y) ∈ X × R : f (x) − ε < y < f (x) + ε},заключенное между графиками Gr(f (x)±ε), называется ε-трубчатой окрестностью (tubular neighborhood) графика Gr(f ) (см. рис. 10.1). Равномернаяна X сходимость ФП fn к функции f означает, что для любого ε > 0, существует такой номер N (ε) ∈ N, начиная с которого n > N (ε) все графики Gr(fn )оказываются в ε-трубчатой окрестности: Gr(fn ) ⊂ T ubε (f ).Рис. 10.1Рис. 10.2Рис.
10.3Лемма 10.2. (связь между поточечной и равномерной сходимостями)1. Из равномерной сходимости следует поточечная.2. Если ФП {fn } сходится поточечно к функции f , то только к этой жефункции f может равномерно сходиться {fn }.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР1153. Пусть Xp ⊂ X – подмножество, на котором последовательность сходится поточечно (pointwise convergence), а Xu ⊂ X – подмножество, накотором последовательность сходится равномерно (uniform convergence),тогда Xu ⊂ Xp ⊂ X.Доказательство п.
1 следует из (10.1) и (10.2). Второй и третий пунктыявляются следствиями первого. Изучая ФП, мы прежде всего интересуемся подмножествами Xu ⊂ Xp ⊂ X.Примеры 10.1. 1) ФП fn (x) = xn определена на X = R. Она поточечносходится на Xp = (−1, 1] к функции f (x) ≡ 0 при −1 < x < 1 и f (1) = 1 иравномерно сходится к нулевой функции на любом отрезке [−1 + δ, 1 − δ], гдеδ ∈ (0, 1) (рис.
10.2).2) Рассмотрим на X = [0, 1] функцию fn (x), график которой (см. рис. 10.3)представляет собой равнобедренный треугольник с основанием x ∈ [0, 1/n] ивысотой y = hn > 0 и отрезок {x ∈ [1/n, 1], y = 0}. Из определения следует, чтопоточечно ФП сходится к нулю (обоснуйте). Но fn сходится к нулю равномернотолько в том случае, когда высота hn → 0 при n → ∞.Задача 10.2. Докажите, что на [0, 1] ФП fn (x) = xn − xn+1 равномерносходится к нулю, а ФП fn (x) = xn − x2n сходится к нулю неравномерно.10.2. Критерии и свойства равномерной сходимости ФП.Теорема 10.1. (критерии равномерной сходимости ФП) Следующие условия равносильны равномерной сходимости fn ⇒ f при n → ∞.1.lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.n→∞ x∈X(10.3)2.
Для любой последовательности точек xn ∈ X выполняется равенствоlim |fn (xn ) − f (xn )| = 0.n→∞(10.4)3. Критерий Коши:∀ε > 0 ∃N (ε) ∈ N : (∀n, m > N ∧ ∀x ∈ X) ,→ |fn (x) − fm (x)| < ε. (10.5)Доказательство утверждения п. 1. Необходимость. Наряду с данной ФПрассмотрим последовательность ρn := supx∈X |fn (x) − f (x)|, которая принимает значения на расширенной неотрицательной полуоси: ρn ∈ [0, +∞].
Изопределения (10.2) следует, что∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N ,→ ρn 6 ε,значит, lim ρn = 0.n→∞Достаточность следует из оценки:∀x ∈ X справедливо : |fn (x) − f (x)| 6 ρn → 0 при n → ∞.116Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство п. 2. Необходимость: в силу п. 1, для любой последовательности xn ∈ X справедливо:|fn (xn ) − f (xn )| 6 sup |fn (x) − f (x)| = ρn → 0 при n → 0.x∈XДостаточность. Если fn не сходится равномерно к f , то существует ε0 > 0такое, что для любого N ∈ N найдется n > N , для которогоsup |fn (x) − f (x)| = ρn > ε0 .x∈XЗначит, существует по крайней мере одна такая точка xn ∈ X, для которой|fn (xn ) − f (xn )| > ε0 /2 = const.
Следовательно, предельное условие (10.4) невыполняется.Доказательство п. 3. Необходимость мы доказываем, как и для числовых последовательностей, используя неравенства треугольника: при n, m → ∞ справедлива оценка|fn (x) − fm (x)| 6 |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x)| 6 ρn + ρm → 0.Достаточность доказывается в два этапа. Первый: поскольку условие Коши выполняется равномерно для всех x ∈ X, то тем более оно выполняетсядля любого фиксированного x ∈ X. Поэтому существует поточечный предел,который обозначим через f (x).
Второй этап: в условии Коши (10.5) при произвольных фиксированных x ∈ X и n ∈ N перейдем к пределу при m → ∞.Получим∀ε > 0 ,→ ∃N = N (ε) ∈ N : (∀n > N ∧ ∀x ∈ X) ,→ |fn (x) − f (x)| 6 ε.Последнее означает, что fn ⇒ f . Замечание 10.1. Доказательство достаточности п.
2 теоремы 10.1 мы осуществляли от противного. Этот подход полезен при доказательстве отсутствия равномерной сходимости: “отгадывают” такую последовательность xn ∈X, для которой |fn (xn ) − f (xn )| > ε0 = const > 0.Задача 10.3. Пусть в примере 10.1.2 высота hn ̸→ 0 при n → ∞. Найдите последовательность xn , позволяющая доказать отсутствие равномернойсходимости ФП.ОпишемТеорема 10.2. (свойства равномерной сходимости)1. Сужение области определения : если ФП равномерно сходится на X,то тем более она равномерно сходится на произвольном подмножествеX ′ ⊂ X.2.
Аддитивность по области определения: пусть для каждого n ∈ Nобъединение X1 ∪ X2 ⊂ Def (fn ), пусть fn ⇒ f на X1 и fn ⇒ f на X2 ,тогда fn ⇒ f на X1 ∪ X2 .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР1173. Линейность равномерной сходимости: если fn ⇒ f на X и gn ⇒ g наX, то ∀α, β ∈ R выполняется: αfn + βgn ⇒ αf + βg на X.Доказательство. Первый пункт очевиден.Доказательство п. 2. Из определения 10.3 следует, что для каждого ε > 0при X = X1 существует номер N1 (ε), при X = X2 существует номер N2 (ε), длякоторых выполнено условие (10.2).
Остается взять при X = X1 ∪ X2 номерn(ε) = max{N1 , N2 }.П. 3 доказывается с помощью определения 10.3 по той же схеме, что и доказательство линейности предела числовой последовательности. Задача 10.4. Докажите линейность равномерной сходимости.Ценность равномерной сходимости в том, что предельная функция f сохраняет “хорошие свойства” функций из последовательности fn . Если же равномерная сходимость отсутствует, то свойства предельной функции f непредсказуемы.Теорема 10.3. (сохранение непрерывности) Пусть fn ⇒ f на X.
Еслифункции fn непрерывны на X, то предельная функция f также непрерывнана X.Доказательство. Достаточно убедиться, что f непрерывна в произвольнойточке x0 ∈ X по множеству X. В силу неравенства треугольника,∀x ∈ Uδ (x0 ) ∩ X ,→|f (x) − f (x0 )| 6 |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )|.(10.6)Т.е.
мы оцениваем приращение ∆f = |f (x)−f (x0 )| предельной функции f черезприращение ∆fn = |fn (x) − fn (x0 )| “допредельной” функции fn и отличиеρn = supx∈X |f (x) − fn (x)| допредельной функции от предельной (см. рис.10.4). В силу равномерной сходимости, первое и третье слагаемые могут бытьсделаны сколь угодно малыми за счет выбора номера n. Второе слагаемоеможет быть сделано сколь угодно малым поскольку функция fn непрерывна вточке x0 . Рис. 10.4Рис.
10.5Рис. 10.6Замечание 10.2. В отсутствие равномерной сходимости последовательностьнепрерывных функций может поточечно сходиться к разрывной функции (см.118Я. М. ДЫМАРСКИЙпример 10.1.1). Вместе с тем, равномерная сходимость является только достаточным условием непрерывности предельной функции. Во примере 10.1.2равномерной сходимости нет, если hn ̸→ 0, но предельная функция f (x) ≡ 0непрерывна.Следствие 10.1.
(о перестановочности пределов) Пусть функции fn непрерывны на X и fn ⇒ f на X. Тогда для любой точки x0 ∈ X верноf (x0 ) = lim lim fn (x) = lim lim fn (x).x→x0 n→∞n→∞ x→x0Т.е. пределы по номеру n члена последовательности и по переменной x перестановочны.Доказательство. Напомним (лемма 10.1, п. 1), что равномерная сходимостьвлечет поточечную. Теперь, в силу поточечной сходимости ФП и непрерывности предельной функции f , получаем:lim lim fn (x) = lim f (x) = f (x0 ).x→x0 n→∞x→x0В силу непрерывности каждой функции fn из ФП и поточечной сходимостиФП, получаем:lim lim fn (x) = lim fn (x0 ) = f (x0 ). n→∞ x→x0n→∞Если областью определения ФП является отрезок, то, наряду с данной ФП,могут появиться еще две ФП – полученные интегрированием и дифференцированием исходной.Теорема 10.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
