Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(интегрируемость предельной функции) Пусть fn ⇒ f наотрезке X = [a, b] и функции fn непрерывны на [a, b]. Тогда ∀c ∈ [a, b] функциональная последовательность∫ x∫ xIn (x; c) = In (x) :=fn (t)dt ⇒ I(x) :=f (t)dt на [a, b]cc∫n→∞∫bи, в частности, limfn (t)dt =a∫blim fn (t)dt =a n→∞bf (t)dt,aт.е. интегрирование и переход к пределу при n → ∞ перестановочны.Доказательство. Во-первых, по предыдущей теореме предельная функцияf непрерывна, следовательно, интегрируема. В силу равномерной сходимостиfn к f получаем∫ ∫∫ x xxsup fn (t)dt −f (t)dt 6sup |fn (t) − f (t)|dt 6x∈X ccc x∈Xsup |fn (x) − f (x)| · (b − a) → 0 при n → ∞.x∈XЗначит, In (x)⇒I(x) на [a, b] (п. 1 теоремы 10.1).
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР119Замечание 10.3. В теореме 10.4 сформулированы только достаточные условия допустимости предельного перехода под знаком интеграла.Задача 10.5. Проверьте, что для последовательности непрерывных функций из примера 10.1.1, которая поточечно сходится к разрывной функции, предельный переход под знаком интеграла допустим.Теорема 10.5. (дифференцируемость предельной функции) Пусть функции fn непрерывно дифференцируемы на отрезке X = [a, b], причем последовательность производных fn′ (x) ⇒ g(x) на [a, b] при n → ∞. Пусть в некоторойточке x0 ∈ [a, b] существует конечный предел limn→∞ fn (x0 ) = A ∈ R.
Тогда fn ⇒ f на [a, b], где функция f непрерывно дифференцируема на [a, b], иf ′ (x) = g(x) на [a, b]. Т.е. дифференцирование и переход к пределу при n → ∞перестановочны:lim fn′ (x) = ( lim fn (x))′ = f ′ (x).(10.7)n→∞n→∞Доказательство. По теореме 10.3 предельная функция g непрерывна на[a, b]. Применим к последовательности производных fn′ теорему 10.4:∫x[a,b]fn′ (t)dt ⇒x0∫x[a,b]∫xg(t)dt ⇔ fn (x) − fn (x0 ) ⇒x0g(t)dt.x0Поэтому[a,b]∫xfn (x) ⇒ A +g(t)dt =: f (x).x0Полученная функция непрерывно дифференцируема, ее производная f ′ (x) =g(x) на [a, b], а f (x0 ) = A.
Замечание 10.4. Если отказаться от условия fn (x0 ) → A ∈ R (не за что“зацепиться”), то у последовательности fn может отсутствовать даже поточечный предел.Пример 10.1. ФП fn (x) := n не сходится ни в одной точке, но fn′ (x) ≡ 0 ⇒ 0.Замечание 10.5. Если последовательность fn непрерывно дифференцируемых функций (а не их производных!) равномерно сходится, то предельнаяфункция f (x) не обязана быть дифференцируемой (будучи непрерывной в силутеоремы 10.3) или же не будет выполняться перестановочность (10.7) предельного перехода и дифференцирования.Пример 10.2. На [−1, 1] ФП fn (x) = (1/n) arctan xn ⇒ f (x) ≡ 0. Функции fn и предельная функция непрерывно дифференцируемы, причем производная предельной функции f ′ (x) ≡ 0. Но fn′ (x) = xn−1 /(1 + x2n ).
Получается, что у последовательности fn′ (−1) = (−1)n /2 предела нет, а последовательность fn′ (1) = 1/2 → 1/2 ̸= 0. Значит в точках x = ±1 равенствоlim fn′ (x) = ( lim fn (x))′ не выполняется (см рис. 10.5 и 10.6).n→∞n→∞120Я. М. ДЫМАРСКИЙОбсуждение 10.3. Утверждение теоремы 10.3 подсказывает, что в пространстве C(X) непрерывных на X функций целесообразно рассматривать равномерно сходящиеся последовательности {fn }; в этом случае мы уверены, чтопредельная функция f ∈ C(X). Аналогично, в пространстве C 1 [a, b] непрерывно дифференцируемых функций целесообразно рассматривать последовательности, удовлетворяющие условиям теоремы 10.5.10.3. Равномерная сходимость функционального ряда.
Если задана∞ФПX), то возникает новая ФП частичных сумм Sn (x) :=∑n {ak (x)}k=1 (x ∈∑∞a(x).Символkk=1∑∞ k=1 ak (x) называется функциональным рядом (ФР),символ rn (x) := k=n+1 ak (x) называют n-м остатком ФР.Определение 10.4. Если для каждого x ∈ X существует конечный пределS(x) := lim Sn (x) =n→∞∞∑ak (x) ∈ R,k=1то говорят, что ФР сходится поточечно на X. ФР называют сходящимсяравномерно на X при n → ∞, если последовательность его частичных суммXравномерно сходится на X: Sn (x) ⇒ S(x) при n → ∞. Во многих ситуациях удобнее (или приходится) иметь дело не с ФП, а с ФР.Однако, если поточечный предел ФП порой удается найти, то сумма сходящегося ФР как правило неизвестна.
Поэтому мы интересуемся здесь исключительновопросами поточечной и равномерной сходимостей рядов, а не их вычислением. Изучая ФР, мы прежде всего интересуемся, на каком множестве Xp ФРсходится поточечно и на каком множестве Xu – равномерно. Понятно, чтоXu ⊂ Xp .На последовательность частичных сумм и на ФР переносятся все утверждения пунктов 1 и 2. Некоторые из этих утверждений мы переформулируемдля рядов. Также будут сформулированы и доказаны утверждения, в которыхпроявляется специфика ФР.
Прежде всего переформулируем критерии равномерной сходимости и вытекающие из них следствия.Теорема 10.6. (критерии равномерной сходимости ФР) Следующие услоXвия равносильны равномерной сходимости Sn (x) ⇒ S(x) при n → ∞.1. Равномерное стремление остатка к нулю:Xrn (x) ⇒ 0 ⇔ lim sup |rn (x)| = 0.n→∞ x∈X2. Критерий Коши: n+p ∑∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ,→ ak (x) < ε.k=n+1Доказательство состоит в переформулировке пп. 1 и 3 теоремы 10.1 длячастичных сумм. Отметим, что натуральный параметр m в теореме 10.1 черезn и p определяется так: m = n + p.
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР121Следствие 10.2. (необходимое условие равномерной сходимости ряда) ЕсX∑∞ли на X ФР k=1 ak (x) равномерно сходится, то an (x) ⇒ 0.Доказательство. Возьмите в п. 2 теоремы 10.6 параметр p = 1. Критерий Коши чаще используют для доказательства отсутствия равномерной сходимости. Переформулировка признака выглядит так:Следствие 10.3. (критерий Коши отсутствия равномерной сходимости ФР) ФР НЕ является равномерно сходящимся на X в том и толькотом случае, когда n+p ∑ak (xn ) > ε0 .∃ε0 > 0 : ∀N ∈ N ∃n(N ) > N, ∃p(n) ∈ N, ∃xn ∈ X : k=n+1Замечание 10.6. Под знаками слагаемых функционального ряда обязательно должен стоят один и тот же аргумент!Изучая функциональный ряд,∑n+pбессмысленно пользоваться суммами вида k=n+1 ak (xk ), где аргумент зависит от индекса суммирования.
Однако, рассматривая каждое слагаемое ФР вотдельности, можно каждый раз использовать новый аргумент (см. следствиениже).Следствие 10.4. (достаточный признак отсутствия равномерной сходимости ФР) Если∃ε0 > 0 ∧ ∃{xn }∞n=1 ⊂ X : |an (xn )| > ε0 ,то ряд∑∞k=1ak (x) НЕ является равномерно сходящимся на X.Доказательство. Возьмите в следствии 10.3 параметр p = 1. В заключение пункта приведем переформулировки теорем 10.3-10.5.Теорема 10.7. (о непрерывности суммы равномерно сходящегося ФР изнепрерывныхслагаемых) Если все функции ak (x) (k ∈ N) непрерывны на X∑∞и ряд k=1 ak (x) сходится равномерно на X, то его сумма непрерывна на X.Теорема 10.8.
(о почленном интегрировании равномерно сходящегосяфункциональногоряда) Если функции uk (x) (k ∈ N) непрерывны на [a, b] и ряд∑∞u(x)сходитсяравномерно на [a, b], то ∀c ∈ [a, b] функциональныйрядkk=1∫ x ∑∞∑∞ ∫ xu(x))dx.u(x)dxравномернона[a,b]сходитсякфункции(kkk=1k=1 ccВ частности,)∫ b (∑∞∞ ∫ b∑uk (x)dx =uk (x) dx.k=1aak=1Теорема 10.9. (о почленном дифференцировании функционального ряда)Если все функции uk (x) (k ∈ N) непрерывно дифференцируемы на [a, b], ФР∑∞′b] к сумме V (x), и суk=1 uk (x) из производных сходится равномерно на [a,∑∞ществует такая точка x0 ∈ [a, b], что числовой ряд k=1 uk (x0 ) сходится,122Я. М. ДЫМАРСКИЙ∑∞то ФРk=1 uk (x) равномерно на [a, b] сходится к непрерывно дифференцируемой функции S(x), причем производная S ′ (x) = V (x) для всех x ∈ [a, b].Т.е.(∞)′∞∑∑uk (x) =u′k (x).k=1k=110.4.
Сравнение функциональных рядов, признаки Дирихле и Абеля. В отличие от числовых рядов, мы не вводим для ФР понятия знакопостоянства, но сохраняем понятие поточечно (равномерно)абсолютно сходяще∑∞гося функционального ряда, т.е. ∑такого ФР k=1 ak (x), для которого пото∞чечно (равномерно) сходится ряд k=1 |ak (x)|.Лемма 10.3. Если ряд поточечно (равномерно) абсолютно сходится на X,то он поточечно (равномерно) сходится на X.Задача 10.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
