Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поскольку|ak |, |bk | 6 |ck | 6 |ak | + |bk |,КЧР абсолютно сходится тогда и т.т., когда абсолютно сходятся ряды действительных и мнимых частей. Все утверждения из п. 9.4, относящиеся к абсолютно сходящимся рядам, переносятся на КЧР. В частности, из абсолютнойсходимости КЧР следует его сходимость.Аналогичноп. 10.3, определяется комплексный функциональный ряд (КФР),∑∞т.е. символ k=1 ck (z), где все комплексные функции ck (z) имеют одну и туже область определения Ω ⊂ C. Определения поточечной и равномерной сходимостей остаются неизменными для КФР. Все утверждения пп. 10.3 и 10.4,относящиеся к ФР с действительными членами, верны для КФР.
Однако теоремы 10.8 и 10.9 о почленном интегрировании и дифференцировании мы поканеможем доказать для комплексных рядов общего вида. Для степенных рядов∑∞kk=1 ck (z − z0 ) эти теоремы мы докажем позже, опираясь непосредственно наформулу (11.2).В заключение∑∞ уточним, что достаточные признаки Дирихле и Абеля сходимости КФР k=1 ak (z)bk (z) остаются в силе при тех же предположениях, еслиak (z) ∈ C, а bk (z) ∈ R.Теорема 11.3. (признак Дирихле для КФР) Пусть для функциональныхпоследовательностей {ak (z)} и {bk (z)}, заданных на Ω ⊂ C, выполнены следующие условия:1. последовательность {ak (z)} ⊂ C комплекснозначная, последовательность {bk (z)} ⊂ R действительнозначная;∑n2. последовательность частичных сумм An = k=1 ak (z) равномерно ограничена:∃D > 0 : ∀n ∈ N, ∀z ∈ Ω ,→ |An (z)| 6 D;3. при любом z ∈ Ω числовая последовательность {bk (z)} ⊂ R монотонно(вообще говоря, нестрого) убывает;4.
на Ω последовательность bk (x) ⇒ 0 при k → ∞.∑∞Тогда ФР k=1 ak (x)bk (x) сходится равномерно на Ω;Теорема 11.4. (признак Абеля для КФР) Пусть для функциональных последовательностей {ak (z)} и {bk (z)}, заданных на Ω ⊂ C, выполнены следующие условия:1. последовательность {ak (z)} ⊂ C комплекснозначная, последовательность {bk (z)} ⊂ R действительнозначная;128Я. М. ДЫМАРСКИЙ∑∞2. ФР k=1 ak (z) равномерно сходится на Ω ⊂ C.3. при любом фиксированном z ∈ Ω действительнозначная числовая последовательность {bk (z)} монотонна (вообще говоря, нестрого и дляразных z монотонность может иметь разный характер);4.
функциональная последовательность {bk (z)} ограничена:∃C : ∀k ∈ N, ∀z ∈ Ω ,→ |bk (z)| 6 C.Тогда ФР∑∞k=1ak (z)bk (z) сходится равномерно на Ω.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР129§ 12. Степенные рядыСтепенной ряд (СР) – это частный случай функционального ряда. Ценность степенных рядов в том, что они являются обобщением формулы Тейлора и применяются как для локального, так и для глобального исследованияфункций. Оказывается, естественно изучать комплекснозначную теорию СРна комплексной прямой. Основным приемом исследования СР является сравнение их с геометрической прогрессией.
Нас будут интересовать, как и дляФР общего вида, прежде всего вопросы сходимости: поточечной, равномерной, абсолютной. Также мы интересуемся свойствами предельной функции –непрерывностью, интегрируемостью, дифференцируемостью.12.1. Круг сходимости степенного ряда. Дадим основноеОпределение 12.1. Степенным рядом называют ФР∞∑ck (z − z0 )k , где ck , z0 , z ∈ Ck=0относительно переменной z. Т.е.
члены ряда ak (z) := ck (z − z0 )k есть комплекснозначные функциикомплексной переменной. Нас прежде всего интересует, где ряд сходитсяпоточечно. С этой целью рассмотримПример 12.1. Пусть z0 = 0, ck = 1 для всех k ∈ N0 . В этом случае степенной ряд является суммой геометрической прогрессии с показателем q = z =|z|eiφ , где φ – аргумент числа z. Как и в действительном случае, частичнаясумма1 − zn1 − |z|n einφSn ==.1−z1 − |z|eiφПоэтому ряд сходится поточечно только при условии |z| < 1. Т.е.
множествопоточечной сходимости является кругом!Оказывается, это наблюдение верно, с некоторыми оговорками, для любогостепенного ряда. Определим подмножество поточечной сходимости и подмножество поточечной абсолютной сходимостиConvp := {z ∈ C : ряд∞∑ck (z − z0 )k поточечно сходится},k=0Convpa := {z ∈ C : ряд∞∑|ck (z − z0 )k | поточечно сходится}k=0(от англ. convergence=сходимость) Подмножества непусты и имеет место вложение: z0 ∈ Convpa ⊂ Convp .Теорема 12.1. (первая теорема Абеля) Справедливы утверждения:130Я. М. ДЫМАРСКИЙ1. Если СР сходится в некоторой точке z1 ̸= z0 , то он абсолютно сходится в любой точке z, которая ближе к z0 , чем z1 : |z −z0 | < |z1 −z0 |.Другими словами, ряд поточечно абсолютно сходится в открытомкруге Ur1 (z0 ) радиуса r1 = |z1 − z0 | > 0, на окружности которого лежит точка z1 : Ur1 (z0 ) ⊂ Convpa .2. Если СР расходится в некоторой точке z2 , то он расходится в любойточке z, которая дальше от z0 , чем z2 : |z − z0 | > |z2 − z0 |.
Другимисловами, ряд расходится вне замкнутого круга U r2 (z0 ) радиуса r2 =|z2 − z0 | > 0, на окружности которого лежит точка z2 (рис. 12.1).Рис. 12.2Рис. 12.1Доказательство п. 1. Поскольку ряд∑∞kk=0 ck (z1 − z0 )Рис. 12.3сходится, его общийk k→∞член ak (z) = ck (z1 − z0 ) → 0.
По условию q := |z − z0 |/|z1 − z0 | < 1. Поэтомусправедлива оценка модуля общего члена ряда в точке z: (z − z ) k0 kk|ak (z)| = |ck (z − z0 ) | = |ck (z1 − z0 ) | · = o(q k ) при k → ∞. (z1 − z0 ) ∑∞ kНо геометрическая прогрессия< ∞ сходится, значит, данный рядk=0 qабсолютно сходится в точке z по признаку Вейерштрасса.Доказательство п.
2. Допустим противное, тогда, в силу п. 1, в точке z2 рядсходится – противоречие. Обсуждение 12.1. Из теоремы 12.1 уже вытекает главный вывод о сходимости степенного ряда: множество точек сходимости СР являетсякругом с точностью до окружности этого круга, где нужны дополнительныеисследования.Чтобы придать этому утверждению строгую форму введемОпределение 12.2. Неотрицательное ∑число R или символ +∞ называется∞радиусом сходимости степенного ряда k=0 ck (z − z0 )k , если для каждого zтакого, что |z − z0 | < R, ряд сходится, а при условии |z − z0 | > R – расходится.Множество UR (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < R} называется кругом сходимостиСР.Замечание 12.1.
Сходимость ряда только в точке z = z0 равносильна условию R = 0; поточечная сходимость на C равносильна условию R = +∞. Заметим, что в определении ничего не говорится о сходимости на окружности кругасходимости.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР131Определение радиуса сходимости корректно:Теорема 12.2. Каждый степенной ряд имеет единственный радиус сходимости.Доказательство. Покажем, что искомый радиус есть супремум (которыйвсегда существует и единственный!)R = sup |z − z0 | ∈ R+0 ∪ {+∞}.z∈ConvЕсли Conv = {z0 }, то R = 0.
Если Conv = C, то R = +∞.Рассмотрим основной случай: существует точка zc ̸= z0 , в которой рядсходится (c=convergence), и существует точка zd , в которой ряд расходится(d=divergence=расхождение). В этом случае R > 0, поскольку R > |zc −z0 | > 0.Но R < +∞ – это следует из п. 2 теоремы 12.1 Абеля.Если мы возьмем произвольное число z ′ , для которого |z ′ − z0 | > R, то ряд∑∞′kk=0 ck (z −z0 ) разойдется по определению супремума supz∈Conv |z −z0 |. Если′′же |z − z0 | < R (неравенство строгое!), то (в силу ∑определения супремума)∞найдется число ẑ ∈ Conv, для которого числовой ряд k=0 ck (ẑ − z0 )k сходится∑∞и |z ′′ − z0 | < |ẑ − z0 |. Тогда, согласно п. 1 теоремы Абеля, ряд k=0 ck (z ′′ − z0 )kсходится.
Покажем, как абсолютная и равномерная сходимости связаны с найденнымкругом поточечной сходимости:Теорема 12.3. (об абсолютной и равномерной сходимостях СР)1. Внутри круга сходимости степенной ряд поточечно абсолютно сходится, т.е. UR (x0 ) ⊂ Convpa .2. Степенной ряд равномерно сходится и равномерно абсолютно сходитсяна любом замкнутом круге U r (z0 ) ⊂ UR (z0 ), радиус которого меньшерадиуса сходимости: r < R.Доказательство. Пункт 1 следует из корректности определения круга сходимости и первой теоремы Абеля. В самом деле, для любой точки z ∈ UR (z0 )существует такая точка z1 ∈ UR (z0 ), что |z − z0 | < |z − z1 |.Доказательство пункта 2. Возьмем число z1 такое, что |z1 − z0 | = r <R. Поскольку в точке z1 ряд∑сходится абсолютно, то это означает сходи∞мость неотрицательного ряда k=0 |ck |rk .
Для всех z ∈ U r (z0 ) справедливаkkоценка |ck (z − z0 ) | 6 |ck |r , поэтому на круге U r (z0 ) функциональный ряд∑∞kk=0 |ck (z − z0 ) | сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. Из абсолютной равномерной сходимости следует “просто” равномерная сходимость. Замечание 12.2. Из теорем 12.2 и 12.3 следует, что проблемы сходимостиостаются на границе круга сходимости – окружности с центром в точке z0 радиуса R. Оказывается, на границе ряд может вести себя по-разному: абсолютно сходиться, сходиться, расходиться. На всем (открытом) круге сходимостистепенной ряд может сходится равномерно, а может сходится неравномерно.Примеры приведены в конце пункта 11.2.132Я. М. ДЫМАРСКИЙОтчасти проясняет связь сходимости в точке на границе круга со сходимостью внутри этого кругаТеорема∑12.4.
(вторая теорема Абеля о сходимости на радиусе) Если сте∞пенной ряд k=0 ck (z−z0 )k с конечным положительным радиусом сходимостиR ∈ (0, +∞) сходится в точке z1 , которая лежит на границе круга сходимости (т.е. |z1 − z0 | = R), то он сходится равномерно на радиусе [z0 , z1 ](рис. 12.2)Доказательство. Перепишем данный ряд в виде()k∞∞∑∑z − z0kkck (z − z0 ) =ck (z1 − z0 ).z1 − z0k=0k=0Применим к полученному ряду признак Абеля (теорема 11.4) с Ω = [z0 , z1 ],)k(∑∞0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
