Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ниже выписаны первые члены данного ряда и ряды из положительных и отрицательных частей:ak :a+k :a−k :1 01 00 0−1 1/2 0 −1/2 . . .0 1/2 00...100 1/2 . . .Лемма 9.5. (о сходимости ряда и рядов из положительной и отрицательной частей)∑∞ak сходится абсолютно тогда и т.т., когда сходятся оба1. Ряд∑∞∑k=1∞и k=1 a−ряда k=1 a+k.k∑∞ −∑∞ +∑∞aсходитсято оба ряда2. Если рядk=1 akk=1 ak иk=1∑∞k + ∑∞ условно,−расходятся:k=1 ak =k=1 ak = +∞.+Доказательствои 0 6 a−6 |ak |, то изk ∑∑∞п. 1.
Поскольку 0 6 ak 6 |ak | ∑∞∞+−сходимости ряда k=1|aaиk | следует сходимость рядовk=1i=1 ak . Обk∑∞ ±ратно, если оба ряда k=1 ak сходятся, то, в силу (9.4) и леммы 9.2 о линейнойкомбинации рядов, ряд∞∞∑∑−|ak | =(a+k + ak )k=1k=1сходится.∑∞Доказательство п. 2. Если рядk=1 ak сходится условно, то оба ряда∑∞±aнемогутодновременносходится(иначе, см. п. 1, данный ряд соk=1 kшелся бы абсолютно). Но∑если один из них∑сходится, а другой расходится, то,∞∞−в силу (9.4), их разность k=1 (a+−a)=k=1 ak расходится (см. следствиеkk9.1), что противоречит условию.
Остается единственная возможность – оба ряда расходятся. Но, поскольку они оба неотрицательные, их суммы равны +∞.Теперь мы можем доказать утверждение леммы 9.4 для АСР.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР109Теорема 9.11. (о сходимости АСР с переставленными членами) Если рядсходится абсолютно, то и ряд с переставленными членами сходится абсолютно.
При этом их суммы совпадают. В “школьной” формулировке: приперестановке слагаемых АСР сумма не меняется.∑∞Доказательство. Поскольку ряд k=1 |ak | всюду неотрицательный, из его∑nсходимости следует сходимость ряда i=1 |aK(i)∑∞| (лемма 9.4).
Откуда (теорема9.10) следует сходимость исследуемого ряда i=1 aK(i) .Остается доказать совпадение сумм. Во-первых, заметим, что при переста∑∞новке членов исходного ряда∑∞k=1±ak возникает согласованная по номерамперестановка членов рядов k=1 ak , т.е можно сначала переставить члены ряда, а потом построить ряд из положительных (отрицательных) частей, а можно сразу переставить члены ряда из положительных (отрицательных) частей –результат будет тот же:(aK(i) )+ = a+K(i) ,Во-вторых, суммы рядов∞∑k=1∑∞k=1a+k =(aK(i) )− = a−K(i) .a±k при перестановке не меняются:∞∑a+K(i) ,i=1∞∑a−k =∞∑a−K(i) .i=1k=1В самом деле, каждый из этих рядов всюду неотрицательный и к рядам спереставленными членами применима лемма 9.4.
Теперь получаем∞∑ak =k=1∞∑−(a+k − ak ) =k=1∞∑k=1a+k −∞∑k=1a−k =∞∑a+K(i) −i=1∞∑a−K(i) =i=1∞∞∞∑∑∑−+−(a+−a)=((a)−(a))=aK(i) . K(i)K(i)K(i)K(i)i=1i=1i=1Оказывается, если ряд сходится условно, то перестановкой его слагаемыхможно добиться любого эффекта: 1) сходимости к выбранному наперед числу,2) сходимости к ±∞, 3) отсутствия предела частичных сумм. Докажем первоеутверждение.Теорема 9.12. (Римана) Если данный ряд сходится условно, то для любого числа A ∈ R существует такая перестановка членов, что полученный рядсходится к A.Доказательство основано на двух наблюдениях: 1) поскольку ряд сходится,его общий член ak → 0 при k → ∞ (теорема 9.1); 2) положительная и отрицательная части ряда стремятся к бесконечности (п.
2 леммы 9.5). Договоримся,что член ряда ak мы заменяем на равный ему a+k , если он неотрицательный, ина равный ему −a−,еслионотрицательный:k{a+k , если ak > 0,ak =−a−k , если ak < 0.110Я. М. ДЫМАРСКИЙНаглядно предложенную замену членов ряда проиллюстрируем следующей записью∞∑k=1a+l+1 ...++a+1 +...+ai +...+amz}|{z }| {ak = a1 + ...
+ ai + ... + am + am+1 + ... + al + al+1 + ...|{z}−−a−m+1 −...−alПриступим к формированию ряда с переставленными членами, который сходится к числу A. Пусть (для определенности) 0 6 a1 < A. Будем складыватьподряд находящиеся сверху члены ряда (т.е. неотрицательные) до тех пор, по+ка впервые для частичной суммы выполнится оценка снизу a+1 + ... + ai > A.Если стоящих рядом верхних слагаемых не хватит, то будем пропускать (в конечном количестве!) нижние слагаемые и продолжим наращивать сумму верхними слагаемыми до получения указанной оценки снизу. Первый этап закончен.
Затем прервем серию верхних слагаемых и будем прибавлять нижние (т.е.отрицательные) слагаемые начиная с самого левого, подряд и до тех пор, пока+−−впервые выполнится оценка сверху: a+1 + ... + ai + (−am+1 ) + ... + (−aj ) 6 A.Второй этап закончен. Затем вернемся к самому левому верхнему слагаемому,перед которым была прервана серия верхних слагаемых, и доберем подрядверхние слагаемые опять до получения оценки снизу для частичной суммы.И т.д. Предложенный алгоритм будет продолжаться бесконечно, посколькусуммы слагаемых сверху и снизу бесконечны.
При этом каждый из членовисходного ряда будет использован в точности один раз. В результате мы получаем ряд bi := aK(i) с переставленными членами.Поскольку K : N → N биекция, то∀N ∈ N ∃J = J(N ) ∈ N : ∀i > J ,→ K(i) > N,т.е. все номера K(i) становятся сколь угодно большими, начиная с некоторогономера i = J. Поскольку общий член ряда стремится к нулю, то∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀k > N ,→ |ak | < ε.Следовательно,∀ε > 0 ∃J = J(ε) ∈ N : ∀i > J(ε) ,→ |aK(i) | < ε,т.е. все члены последовательности bi = aK(i) становятся сколь угодно малыми, начиная с некоторого номера i = J(ε). В силу построения последовательности K(i), существует такой номер J ′ = J ′ (ε) > J(ε), для которого∑J ′∑J ′ +1(A− i=1 aK(i) )(A− i=1 aK(i) ) 6 0, т.е.
номер J ′ завершает очередную сериюзнакопостоянных слагаемых. Тогда для всех последующих номеров n > J ′ + 1∑nсправедлива оценка: |A− i=1 aK(i) | < ε. (Обоснуйте этот вывод∑∞ самостоятельно!) Значит, сумма ряда с переставленными членами равна i=1 aK(i) = A. Замечание 9.6. У данного ряда и построенного ряда с переставленнымиэлементами порядок неотрицательных слагаемых не изменился, и порядок отрицательных слагаемых не изменился. Если сгруппировать члены построенного ряда по указанным этапам и сложить сгруппированные слагаемые одногознака, то получим знакочередующийся ряд Лейбница.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР111Задача 9.12.
Докажите теорему Римана для A = +∞.В заключение раздела рассмотрим перемножение двух АСР. Обозначим черезΛ : N → N2 , Λ(k) = (λ1 (k), λ2 (k)) = (ik , jk )биекцию множества натуральных чисел в множество всех пар натуральныхчисел. Поскольку множество N2 счетно, такие биекции существуют. Координатные отображения λ1 , λ2 : N → N не являются биекциями, но обязательноявляются сюръекциями (накрытиями).∑∞∑∞Теорема 9.13. (о перемножении АСР) Пусть ряды∑ k=1 ak иk=1 bk∞абсолютно сходящиеся.
Тогда для любой биекции Λ ряд k=1 aik bjk абсолютносходится, а его сумма равна произведению сумм “сомножителей”:∞∑aik bjk =k=1∞∑ai ·i=1∞∑bj .j=1∑∞Доказательство. Во-первых, сумма k=1 aik bjk содержит все возможныепопарные произведения ai b∑j , причем по одному разу. Если взять другую биек∞цию Λ′ , то получится ряд k=1 ai′k bjk′ с переставленными членами.Далее, обозначимmax(λ1 , n) = max{i1 , ..., in }, max(λ2 , n) = max{j1 , ..., jn }.Справедлива оценка (сравните с доказательством леммы 9.4):n∑k=1∑max(λ1 ,n)|aik bjk | 6∑max(λ2 ,n)|ai | ·i=1|bj | 6j=1∞∑i=1|ai | ·∞∑|bj | < +∞.j=1∑∞Следовательно, ряд k=1 aik bjk абсолютно сходящийся. Поэтому его сумма независит от перестановки членов, т.е.
от выбора биекцииΛ. Выберем из всех би∑∞екций Λ самую “удобную” и для нее вычислим сумму k=1 aik bjk . РасположимРис. 9.1все возможные попарные произведения ai bj в виде бесконечной вправо и внизматрицы c индексами (i, j) по строкам и столбцам. Биекцию Λ определим пометоду квадратов и запишем подпоследовательность частичных сумм (см.рис. 9.1):n2nn∑∑∑Sn 2 =aik bjk =ai ·bj .k=1i=1j=1112Я. М.
ДЫМАРСКИЙПереходя в этом равенстве к пределу при n → ∞, получаем,подпоследова∑∞∑что∞2 частичных сумм сходится к пределутельностьSa·ini=1j=1 bj . Поскольку∑∞ряд k=1 aik bjk сходящийся, то и последовательность его частичных сумм сходится к тому же числу. 113ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР§ 10. Функциональные последовательности и рядыТеория функциональных последовательностей (ФП) и функциональных рядов (ФР) – это далекое обобщение теории числовых последовательностей ирядов.
ФП во многих отношениях аналогична последовательности точек вконечномерном пространстве. Для нас важно, что каждая функция из последовательности имеет собственные (“внутренние”) свойства (непрерывность,выпуклость, экстремумы и др.). Возникают нетривиальные связи между собственными свойствами функций из ФП и свойствами самой ФП.10.1. Определение равномерной сходимости функциональной последовательности. Пусть X ⊂ Rm – некоторое фиксированное подмножество, а F (X) – линейное пространство всех функций, определенных на множестве X. Напомним, что линейные операции в F (X) мы определяем поточечно:∀f, g ∈ F (X), ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X по определению (αf + βg)(x) := αf (x) + βg(x).Определение 10.1.
функциональной последовательности.1. Классическое: если каждому натуральному n ∈ N соответствует некоторая функция fn : X → R, то говорят, что задана функциональнаяпоследовательность {fn })∞n=1 .2. В духе функционального анализа: функциональной последовательностью {fn })∞n=1 называется отображение из множества натуральных чисел в функциональное пространство F (X):φ : N → F (X), φ(n) = fn . Обсуждение 10.1. Второе определение подчеркивает преемственность понятия последовательности как отображения из N в некоторое линейное пространство.
Обратим внимание, что для ФП ее каждый член fn является сампо себе отображением из X в R, т.е. ФП есть отображение в пространствоотображений.Ранее понятие сходимости последовательности мы вводили, пользуясь расстоянием между элементами пространства. Сейчас мы поступим иначе: определим сходимость ФП, опираясь на свойства ее элементов, т.е. функций fn .Определение 10.2. Говорят, что ФП {fn })∞n=1 поточечно сходится к функции f ∈ F (X) на X при n → ∞, если ∀x ∈ X существует конечный lim fn (x) =n→∞Xf (x) ∈ R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
