Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 19
Текст из файла (страница 19)
М. ДЫМАРСКИЙточке функция f “убегает в бесконечность не очень быстро”; 2) в бесконечной особой точке функция f “убывает к нулю достаточно быстро”. (Взятое вкавычки ни в коем случае не является математическими утверждениями!)Теорема 8.8. (признаки сравнения НИ) Пусть для функций f и g выполнены условия теоремы 8.7. Тогда:∫ →b1. Если f (x) = O(g(x)) при x → b − 0, то из сходимости a g(x)dx сле∫ →b∫ →bдует сходимость a f (x)dx, а из расходимости a f (x)dx следует∫ →bрасходимость a g(x)dx.∫ →bcx ∫ →b2.
Если f (x) = O∗ (g(x)) при x → b − 0, то a g(x)dx ∼ a f (x)dx.3. Пусть функция f (x) представима в виде произведения f (x) = h(x)g(x),причем существует конечный lim h(x) = C > 0. Тогдаx→b−0∫→bacx∫h(x)g(x)dx ∼→bg(x)dx.aТ.е. при исследовании сходимости НИ можно игнорировать знакопостоянный множитель, имеющий в особой точке конечный ненулевойпредел.Доказательство п. 1. В силу принципа локализации (следствие 8.2) достаточно исследовать НИ на промежутке [b−δ, b), где функции f и g неотрицательны.
Из условия следует, что на [b − δ, b) справедлива оценка 0 6 f (x) 6 C1 g(x),где∫ x постоянная C1 > 0. Из критерия 8.7 следует, что ∀x ∈ [b − δ, b) верноg(t)dt < C2 , где постоянная C2 > 0. Поэтомуb−δ∫ x∫ x0 6 F (x) =f (t)dt 6 C1g(t)dt < C1 C2 .b−δb−δОпять же в силу критерия 8.7, ограниченность функции F влечет сходимостьНИ.Утверждение п. 2 сразу следуют из симметричности отношения O∗ и п. 1.Из условия п.
3 следует выполнение условия п. 2 (докажите!). Что доказывает утверждение п. 3. Задача 8.8. Докажите справедливость п. 2 теоремы 8.8 если f (x) ∼ g(x)при x → b − 0.Часто функцию сравнения берут из двупараметрического семейства g(x; α, β) =1/(xα | ln x|β ).∫ +∞Задача 8.9. а) Докажите, что НИ 2 dx/(xα (ln x)β ) сходится только приусловиях (см. рис. 8.4){{α > 1, ∪α = 1,.β∈Rβ>1∫ 1/2б) Докажите, что НИ 0← dx/(xα | ln x|β ) сходится только при условиях (см.рис. 8.5){{α < 1, ∪α = 1,.β∈Rβ>1ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРРис. 8.495Рис. 8.5.В заключение пункта для случая неограниченного промежутка сформулируем очевидный достаточный признак расходимости НИ:Лемма 8.2. Пусть функция f : [a, +∞) → R интегрируема на любом отрезке [a, b′ ].
Если существуюттакие числа c > a и C > 0, что f (x) > C для∫ +∞всех x > c, то НИ a f (x)dx расходится.Замечание 8.2. Предельное условиеlim f (x) = 0 НЕ является ни до-x→+∞статочным(см. п. 1 теоремы 8.8), ни необходимым условием сходимости НИ∫ +∞f (x)dx от знакопостоянной функции!aЗадача 8.10. Дайте пример непрерывной неотрицательной неограниченной на положительной полуоси функции f , для которой НИ сходится на [a, +∞).Подсказка: возьмите функцию тождественно равную нулю и добавьте изолированные всплески, которые неограниченно растут, но при этом носительвсплесков стремится к нулю настолько быстро, что НИ сходится.8.4. Несобственные интегралы ∫от знакопеременных функций.→bПрежде всего заметим, что всякий НИ a f (x)dx от знакопеременной функ∫ →bции порождает НИ a |f (x)|dx от знакопостоянной функции.
Между сходимостями указанных НИ существует такая связь:Теорема 8.9. (о сходимостях НИ от данной функции и НИ от модуляэтой функции) Пусть функция f интегрируема на любом отрезке [a, b′ ], где∫ →b∫ →ba < b′ < b. Если НИ a |f (x)|dx сходится, то НИ a f (x)dx также сходится. Обратное утверждение в общем случае несправедливо.Доказательство. Во-первых, в силу теоремы 6.6, на любом отрезке [a, b′ ] ⊂∫ b′[a, b) существует интеграл a |f (x)|dx. Во-вторых, в силу критерия Коши (теорема 8.6), для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для любых b′ , b′′ ∈ (b−δ, b)∫ b′′выполняется | b′ |f (x)|dx| < ε. Поэтому∫b′′b′ ∫ f (x)dx6 b′′b′|f (x)|dx< ε.Что, опять же в силу критерия Коши, влечет сходимость НИ∫ →baf (x)dx.96Я. М. ДЫМАРСКИЙВ качестве доказательства несправедливости обратного утверждения нижебудет приведен контрпример. Запишем логические связи между сходимостями.1.
Собственные интегралы:∫ b∫ bсуществованиеf (x)dx ⇒ существование|f (x)|dx.aa2. Несобственные интегралы:∫ →b∫сходимость|f (x)|dx ⇒ сходимостьa→bf (x)dx.aЗаметим, что логика оказалась противоположной.Утверждение теоремы 8.9 мотивирует введение следующих понятий:Определение 8.3. (классификация НИ от знакопеременных функций)∫ →b∫ →b1.
Если НИ a |f (x)|dx сходится, то НИ a f (x)dx (который тем болеесходится) называется абсолютно сходящимся.∫ →b∫ →b2. Если НИ a |f (x)|dx расходится, но НИ a f (x)dx сходится, то последний называется условно сходящимся.Итак, для НИ от знакопеременной функции возможны три взаимоисключающие ситуации: 1) абсолютная сходимость, 2) условная сходимость, 3) расходимость. (Для НИ от знакопостоянной функции возможны две ситуации.Какие?) Докажем полезное утверждениеЛемма 8.3. (об абсолютной и условной сходимости НИ, полученного изсуммы двух функций)∫ →b∫ →b1.
Если несобственные интегралы a f (x)dx и a g(x)dx сходятся∫ →bабсолютно, то НИ a (f (x) + g(x))dx тоже сходится абсолютно.∫ →b∫ →b2. Если НИ a f (x)dx сходится абсолютно, а НИ a g(x)dx сходится∫ →bусловно, то НИ a (f (x) + g(x))dx сходится условно.∫ →b∫ →b3. Если несобственные интегралы a f (x)dx и a g(x)dx сходятся∫ →bусловно, то НИ a (f (x) + g(x))dx сходится. Характер сходимости(абсолютный или условный) нуждается в дополнительном исследовании.Доказательство. Первое утверждение следует из неравенства треугольника |f + g| 6 |f | + |g| и признака сравнения НИ от знакоопределенных функций(теорема 8.8).
Во втором пункте интеграл от суммы сходится (в силу линейности НИ, теорема 8.1). Если допустить, что он сходится абсолютно, то тогда∫ →b∫ →b∫ →b(согласно п. 1) НИ a g(x)dx = a (f (x) + g(x))dx − a f (x)dx тоже сходится абсолютно, что противоречит условию. Для доказательства п. 3 достаточнопривести примеры. Задача 8.11. Приведите примеры условной и абсолютной сходимости суммы двух условно сходящихся НИ.97ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРИсследуя абсолютную сходимость НИ, мы имеем дело со знакопостояннойфункцией и применяем признаки сравнения.
Для исследования сходимости отзнакопеременной функции нужны более тонкие рассуждения. Оказывается,“достаточно быстрое” изменение знака подынтегральной функции (осцилляция) может компенсировать рост модуля функции (амплитуда) и обеспечивать сходимость НИ. Ниже приведены примеры сходящихся и расходящихсяНИ, которые иллюстрируют “непростые взаимоотношения” между амплитудойи осцилляцией функции.Примеры 8.2.
Сходящиеся НИ:∫ +∞∫ +∞∫ +∞dxsin x dxsin x dx√√√ , 2)1), 3),xxxx + cos x111∫∫+∞+∞sin x3/2 dx, 5)4)1√x sin x2 dx.1Расходящиеся НИ:∫ +∞∫ +∞∫ +∞dx| sin x| dx√ , 2)√1)sin x dx, 3),xx111∫+∞4)1sin x dx√, 5)x − sin x∫+∞√x sin x3/2 dx.1Основным инструментом доказательство сходимости НИ от знакопеременной функции являетсяТеорема 8.10. (достаточный признак Дирихле) Пусть функция f непрерывна на [a, b) (b 6 +∞), а функция g непрерывно дифференцируема на [a, b).Пусть∫x1.
первообразная F (x) = a f (t)dt – ограниченная (постоянной C > 0) на[a, b) функция,2. функция g стремиться к нулю нестрого монотонно (для определенности, убывая):g ↓ 0 при x → b − 0 ⇔ g ′ (x) 6 0 на (a, b) ∧Тогда НИ∫ →balim g(x) = 0.x→b−0f (x)g(x)dx сходится.Доказательство. Интегрируя по частям на [a, b′ ] (a < b′ < b), получаем∫b′ab′ ∫ ′bf (x)g(x)dx = F (x)g(x) −F (x)g ′ (x)dx.a(8.9)aИз условия теоремы следует, чтоlim F (b′ )g(b′ ) = 0. Исследуем абсолютнуюb′ →b−0сходимость интеграла в правой части равенства:∫b′′∫b′|F (x)g (x)|dx 6 Ca′∫|g (x)|dx = −Caab′g ′ (x)dx = C(g(a) − g(b′ )) 6 Cg(a).98Я. М.
ДЫМАРСКИЙ(Мы воспользовались знакопостоянством функции g ′ (x) 6 0 и знакопостоянством функции g(x) > 0!) Теперь из критерия 8.7 следует сходимость НИ∫ →b∫ →b|F (x)g ′ (x)|dx, а из теоремы 8.9 абсолютная сходимость НИ a F (x)g ′ (x)dx.a∫ →bПоследняя влечет за собой сходимость НИ a F (x)g ′ (x)dx. По определению,это означает существование конечного предела∫∃ ′ limb →b−0ab′F (x)g ′ (x)dx =∫→bF (x)g ′ (x)dx ∈ R.aЗначит, в равенстве (8.9) в правой части мы получаем конечный предел приb′ → b − 0.
Что доказывает теорему. Из признака Дирихле вытекаетТеорема 8.11. (признак Абеля; Нильс Хенрик Абель 1802-1829) Пусть на[a, b) (b 6 +∞) функция f непрерывна, а функция g непрерывно дифференцируема. Пусть:∫ →b1. НИ a f (x)dx сходится;2. на (a, b) функция g(x) ограничена и нестрого монотонна (т.е. ее производная g ′ (x) не меняет знак).∫ →bТогда НИ a f (x)g(x)dx сходится.∫xДоказательство. Функция f имеет на [a, b) первообразную F (x) = a f (t)dt.∫ →bПоскольку существует конечный предел lim F (x) = a f (x)dx ∈ R, функx→b−0ция F на [a, b) ограничена.
С другой стороны, в силу монотонности и ограниченности, функция g имеет конечный предел lim g(x) = c ∈ R. Значит,x→b−0функция g̃(x) := g(x) − c непрерывно дифференцируема, монотонна и g̃ → 0при x → b − 0.Дирихле.∫ →bФункции f и g̃ удовлетворяют условиям признака∫ →bПоэтому НИ a f (x)g̃(x)dx сходится. Следовательно НИ a f (x)g(x)dx =∫ →b∫ →bf (x)g̃(x)dx + c a f (x)dx тоже сходится. aЗамечание 8.3. Образно говоря, в признаке Дирихле осциллирующая функция f (типа синус) и стремящаяся к нулю функция g при перемножении “помогают друг другу”: функция f (x)g(x) и осциллирует, и имеет убывающуюамплитуду – этого достаточно, чтобы ориентированная площадь неограниченной криволинейной трапеции имела конечный предел (рис.
8.3).В признаке Абеля НИ от функции f сходится, а функция-сомножитель g “немешает” функции f .?????????????????Обсуждение 8.4. В задачах на признак Дирихле обычно f функция типасинус. См. первый пример из п. 2 выше. В некоторых случаях приходитсяприменять разложение по формуле Маклорена по степеням 1/xε с ε > 0 (второйпример п. 2 и третий пример п 1). В примерах три и четыре из п. 2 нужносделать замену: аргумент под знаком синуса объявить новой переменной.Если не удается найти первообразную функции h, подынтегральное выражение умножают и делят на производную h′ (естественно, если она не обращаетсяЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР99в ноль!).
Затем в качестве функции f берут функцию h(x)h′ (x), первообразнаякоторой находится без труда.Пример ???Если подынтегральная функция зависит от параметра α и требуется исследовать сходимость НИ в зависимости от этого параметра, полное исследованиесходимости состоит из четырех этапов:1. Игнорируя осциллирующий сомножитель, отгадывают такой промежуток I1 , что при α ∈ I1 н.и. сходится абсолютно (с доказательством методом сравнения).2. Выделяя осциллирующий сомножитель и монотонно убывающий сомножитель, отгадывают такой промежуток I2 , что при α ∈ I2 н.и. сходится(с доказательством по теореме Дирихле или по теореме Абеля). Обязательно I1 ⊂ I2 .3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
