Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В общей постановке мы уже обсуждали эту проблему. Сейчас мысосредоточимся на специфике именно функции предела интегрирования.Терминология 8.1. Если условие (8.1) выполнено, функцию f называютнесобственно интегрируемой на [a, b) (символ +∞ − 0 означает +∞). Ещеговорят: НИ с особенностью в точке b. Аналогично определяются несобственные интегралы с особым левым концом. Т.е., НИ – это предел определенного интеграла Римана по верхнему (или нижнему) пределу интегрирования.Стрелку в открытом конце мы будем ставить только в том случае, когда хотим указать, где у НИ особенность. Если несобственный интеграл существует,то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае –расходится.
Интеграл Римана (в противовес НИ) иногда называют собственным интегралом.Примеры 8.1. При ε > 0 сходятся НИ:∫ 1∫ 1dxdx11=lim=lim (1 − (a′ )ε ) = ,1−ε1−ε′ →+0′ →+0aaxxεε′0←a()∫ +∞dx111= − ′ lim−1 = .1+ε′ )εb→+∞xε(bε1(8.2)(8.3)Задача 8.1. Докажите, что при ε 6 0 НИ (8.2), (8.3) расходятся.Обсуждение 8.2. Сравним понятие интеграла Римана и несобственногоинтеграла.
При b = +∞ интеграл Римана не определен на [a, b], в то время как несобственный интеграл может существовать. Если b ∈ R, но функция f неограничена на [a, b), то интеграл Римана на [a, b] не существует, в90Я. М. ДЫМАРСКИЙто время как несобственный интеграл может существовать. Если же функция f ограничена на конечном полуотрезке [a, b) и интегрируема на любомподотрезке [a, b′ ], то она интегрируема и на [a, b] (п. 4 теоремы 6.3), причеминтеграл Римана и несобственный интеграл равны (это вытекает из теоремы 6.14 о непрерывности интеграла по верхнему пределу). Следовательно,во-первых, понятие несобственного интеграла шире понятия интеграла Римана, во-вторых, “особенность” точки b проявляется в неограниченности илипромежутка интегрирования, т.е.
b = ∞, или функции f в окрестности точкиb. Случаи бесконечного и конечного концов интегрирования взаимозаменяемы;в примерах 8.1 с помощью замены переменной t = 1/x. Явное нахождение НИ,приведенное в примерах 8.1, является редким исключением. Основной проблемой ∫теории несобственныхинтегралов является проблема сходимости. Если∫ →d→bНИ a f (x)dx и c g(x)dx сходятся или расходятся одновременно, мы будемприменять запись∫ →b∫ →dcxf (x)dx ∼g(x)dx.acГеометрическая интерпретация.
Если функция f неотрицательна, НИ –это площадь неограниченной по вертикали или по горизонтали криволинейной трапеции (рис. 8.1, 8.2). Если же функция f знакопеременная, НИ – этоориентированная площадь неограниченной криволинейной трапеции.Рис. 8.3Рис. 8.2Рис. 8.18.2. Основные свойства несобственного интеграла и критерий Коши. В этом пункте подразумевается, что функции f, g : [a, b) → R (b 6 +∞)интегрируемы на любом подотрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b].Теорема 8.1. (линейность несобственного интеграла)1. Формула∫ →b∫ →b∫ →b(αf (x) + βg(x))dx = αf (x)dx + βg(x)dxaa(8.4)aсправедлива в предположении, что оба НИ в правой части равенствасходятся.2.
Если один из интегралов в правой части сходится, а другой расходится,то интеграл в левой части расходится и равенство (8.4) бессмысленно.3. Если оба интеграла справа расходятся, то равенство (8.4) бессмысленно, а сходимость интеграла слева требует дополнительного исследования.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР91Задача 8.2. Докажите теорему 8.1, воспользовавшись линейностью собственного интеграла и линейностью предела функции.∫ →bСледствие 8.1. Если НИ a g(x)dx сходится, то∫→bcx∫→b(f (x) + g(x))dx ∼af (x)dx,aт.е.
при исследовании сходимости НИ можно игнорировать слагаемое, дающее заведомо сходящийся НИ.Задача 8.3. Докажите следствие 8.1.Теорема 8.2. (аддитивность НИ) Для любого c ∈ (a, b) справедлива формула∫ →b∫ c∫ →bf (x)dx =f (x)dx +f (x)dx(8.5)aacв предположении, что НИ слева или справа сходится. Если же один из НИрасходится, то и второй расходится и равенство (8.5) бессмысленно.Задача 8.4. Докажите теорему 8.2.Следствие 8.2. (принцип локализации) Для любого c ∈ (a, b) справедливо:∫ →b∫ →bcxf (x)dx ∼f (x)dx.acЗамечание 8.1. Смысл принципа локализации в том, что сходимость НИопределяется поведением подынтегральной функции в любой окрестности особой точки.Теорема 8.3. (формула Ньютона-Лейбница) Если функция f непрерывнана [a, b) и Φ – ее произвольная первообразная на [a, b), то∫→baf (x)dx = ′ lim Φ(b′ ) − Φ(a)b →b−0и сходимость НИ равносильна существованию конечного пределаlim Φ(b′ ).b′ →b−0Задача 8.5.
Докажите теорему 8.3.Теорема 8.4. (интегрирование по частям) Пусть функции u и v непрерывно дифференцируемы на [a, b). Тогда∫→bau(x)v ′ (x)dx = ′ limb →b−0(b′ ) ∫u(x)v(x)−a→bu′ (x)v(x)dx,aпричем из существования любых двух пределов следует существование третьего и выполняется равенство.Задача 8.6. Докажите теорему 8.4.92Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 8.5. (замена переменной в НИ) Пусть функция f непрерывна на[a, b), пусть функция φ строго монотонна и непрерывно дифференцируема на[α, β), причем φ(α) = a, lim φ(t) = b. Тогдаt→β−0∫∫→b→βf (x)dx =af (φ(t))φ′ (t)dt.(8.6)αВ равенстве (8.6) если один из интегралов сходится, то сходится и другойи их значения совпадают (т.е.
формулу можно применять в обе стороны).Может оказаться, что один из двух интегралов в (8.6) собственный.Доказательство Для каждого t ∈ [α, β) справедлива формула (6.14) заменыпеременной в определенном интеграле. Поэтому∫∫φ(t)tf (τ )dτ =af (φ(τ ))φ′ (τ )dτ, где t ∈ [α, β).(8.7)αПри t → β − 0 выполняется φ(t) → b − 0.
По теореме о пределе сложнойфункции получаем справедливость равенства (8.6) при чтении справа налево.Из монотонности функции φ следует существование обратной функции t =φ−1 (x), у которой φ−1 (a) = α, а φ−1 (x) → β − 0 при x → b − 0. Поэтому, в силутождества (8.7), для x ∈ [a, b) справедливо тождество∫∫xφ−1 (x)f (τ )dτ =af (φ(τ ))φ′ (τ )dτ.αПо теореме о пределе сложной функции получаем справедливость равенства(8.6) при чтении слева направо. Будем впредь до конца параграфа обозначать через (b − δ, b) левую проколотую δ-окрестность точки b, а через [b − δ, b) левую проколотую δ-окрестностьточки b с левым краем (полуинтервал) даже в случае b = +∞.∫ →bТеорема 8.6.
(критерий Коши сходимости НИ) НИ a f (x)dx сходитсятогда и т.т., когда ∫ ′′ b∀ε > 0 ,→ ∃δ > 0 : ∀b′ , b′′ ∈ (b − δ, b) ,→ f (x)dx< ε. b′∫ x Доказательство сводиться к применению критерия Коши к функции F (x) =f (t)dt.aЗадача 8.7. Докажите теорему 8.6.Обычно критерий Коши применяют для доказательства расходимости НИ:∫ →bСледствие 8.3. (критерий Коши расходимости НИ) НИ a f (x)dx расходится тогда и т.т., когда ∫ ′′ b∃ε0 > 0 : ∀δ > 0 ,→ ∃b′ , b′′ ∈ (b − δ, b) : f (x)dx> ε0 .
b′93ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРЕсли оба конца промежутка интегрирования являются особыми точками,и внутри промежутка имеется конечное количество особых точек ci ∈ (a, b)(i = 1, ..., n − 1), то между точками c0 := a и c1 , точками c1 и c2 и т.д. доточек cn−1 и cn := b выбирают произвольные точки di ∈ (ci−1 , ci ) (i = 1, ..., n)и полагаютОпределение 8.2.∫∫cnf (x)dx :=c0∫d1f (x)dx +c0 ←∫→c1→cnf (x)dx + ...
+d1f (x)dx.(8.8)dnНИ считается сходящимся, если все НИ в правой части равенства (8.8) сходящиеся. Лемма 8.1. (корректность определения 8.2) Если в (8.8) все НИ сходящиеся, то сумма не зависит от выбора точек di .Доказательство немедленно следует из аддитивности НИ (теорема 8.2).8.3. Несобственныеинтегралы от знакопостоянных функций. Мы∫ →bговорим о НИ a f (x)dx от знакопостоянной функции, если f (x) > 0 (6) внекоторой проколотой левой полуокрестности точки b 6 +∞. Если же функция f не сохраняет знак ни в какой проколотой левой полуокрестности точкиb, то имеем НИ от знакопеременной функции.
Причины сходимости НИ отзнакопостоянных функций и знакопеременных функций разные, поэтому мыотдельно рассмотрим сходимость НИ в обоих случаях.Теорема 8.7. (критерий сходимости НИ от знакопостоянной функции)Пусть функция f : [a, b) → R, где b 6 +∞, интегрируема на любом отрезке[a, b′ ] ⊂ [a, b]. Пусть функция f неотрицательна в некоторой левой проколотой полуокрестности точки b (∀x ∈ (b − δ, b) ⊂ [a, b) ,→ f (x) > 0). Тогда НИ∫ →b∫xf (x)dx сходится только в том случае, когда функция F (x) = a f (t)dtaограничена на [a, b).Доказательство. На интервале (b − δ, b) функция F возрастает (возможно, нестрого).
В силу определения (8.1), сходимость данного НИ равносильнасуществованию конечного предела неубывающей функции F . Последнее, всилу теоремы 1.4.4 о пределе монотонной функции, равносильно ограниченности функции F . Обсуждение 8.3. Сам по себе критерий мало полезен, поскольку проверкаограниченности функции F означает прямое использование определения (8.1).(Лемма 8.2, замечание 8.2 и задача 8.10 в конце пункта показывают, что скольтрудно охарактеризовать сходимость НИ от знакопостоянной функции f в терминах самой f .) Однако теорему 8.7 удобно применять при доказательстве признаков и критерия сходимости, основанных на идее сравнения сходимостей.Если ориентироваться на примеры (8.2) и (8.3) и задачу 8.1, то естественнопредположить в качестве рабочей гипотезы, что достаточные условия сходимости НИ от знакоположительной функции f таковы: 1) в конечной особой94Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
