Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 13
Текст из файла (страница 13)
I∗ (D) = 0 < 1 · (b − a) = I ∗ (D). (Почему I∗ (D) = 0, I ∗ (D) = b − a?)Теорема 6.1. (критерии интегрируемости по схеме Дарбу) Для ограниченной функции равносильны следующие утверждения:1. Функция f имеет интеграл Римана по схеме Дарбу на отрезке [a, b].2. Для любого ε > 0 найдется разбиение P отрезка [a, b] такое,что разность сумм Дарбу VP меньше ε: ∀ε > 0 ∃P : VP < ε.62Я. М. ДЫМАРСКИЙ3. Для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что как только мелкостьменьше δ, разность сумм Дарбу меньше ε:∀ε > 0 ∃δ > 0 : (∀P : p(P ) < δ) ,→ VP < ε ⇔lim VP = 0.(6.3)p(P )→0Доказательство. 1 ⇒ 2 Из определений точных граней и определения 6.2следует, что существуют разбиения P1 , P2 , для которых S∗P1 > ID − ε/2 иSP∗ 2 < ID − ε/2.
Тогда для разбиения P = P1 ⊔ P2 тем более S∗P > ID − ε/2 иSP∗ < ID − ε/2 (лемма 6.1). Откуда VP = SP∗ − S∗P < ε.1 ⇐ 2 Пусть V (P ) = SP∗ −S∗P < ε. Тогда из леммы 6.3 следует, что I ∗ −I∗ < ε.Поскольку ε произвольно, верхний и нижний интегралы Дарбу равны.1 ⇔ 3 Из леммы 6.4 следует, что всегда существуют конечные пределы (6.2).ПоэтомуI∗ = I ∗ ⇔ lim S∗P = lim SP∗ ⇔p(P )→0lim (SP∗p(P )→0p(P )→0− S∗P ) = 0 ⇔lim VP = 0. p(P )→0Обсуждение 6.2. Оба критерия сформулированы в терминах разности VPсумм Дарбу. Из теоремы 6.1 следует, что интеграл Римана (если он существует!) можно получить двумя равносильными способами.
Первый: подбиратьспециальные разбиения P , при которых VP → 0. Второй: устремлять мелкость p(P ) → 0, не заботясь о расположении точек порождающих разбиение.Мы будем пользоваться обоими подходами в зависимости от обстоятельств.6.2. Интеграл по Риману. Это другая конструкция, приводящая к томуже результату.Пусть на [a, b] определена (не обязательно ограниченная!) функция f .
ПустьP – произвольное разбиение отрезка [a, b]. На каждом из отрезков разбиения выберем произвольную точку ξi ∈ [xi−1 , xi ]. Упорядоченный набор Ξ ={ξ1 , ..., ξn } этих точек назовем выборкой, подчиненной разбиению P . Интегральной суммой Римана называетсяSP,Ξ (f ) = SP,Ξ :=n∑f (ξi )∆xi .(6.4)i=1Геометрический смысл интегральной суммы Римана: если функциянеотрицательна, то ее сумма Римана – площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рис. 6.3.Определение 6.3. Интегралом Римана по схеме Римана называетсяконечный пределIR (f ) = IR := lim SP,Ξ ∈ R ,p(P )→0т.е.
такое число IR , что∀ε > 0 ∃δ > 0 : (∀P : p(P ) < δ) ∧ ∀Ξ ,→ |SP,Ξ − IR | < ε. (6.5)ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР63Рис. 6.3Замечание 6.1. В определении интеграла по схеме Римана участвует мелкость. Сравните определение (6.5) с критерием (6.3).Лемма 6.5. (необходимое условие интегрируемости по схеме Римана) Если интеграл по схеме Римана (6.5) существует, то функция f ограничена.Доказательство от противного. Возьмем произвольную последовательностьразбиений Pn , мелкость которых pn → 0. На каждом шаге n найдется отрезок[x′n , x′′n ], на котором функция неограничена. Выберем на остальных отрезкахчисла ξi произвольно.
Пусть сумма Римана на всех отрезках, кроме выделен◦ного, равна S Pn ,Ξn . Возьмем такое ξn ∈ [x′n , x′′n ], что|f (ξn )| >n + |ṠPn ,Ξn |.x′′n − x′nТогда|SPn ,Ξn | = |f (ξn )(x′′n − x′n ) + ṠPn ,Ξn | > |n + |ṠPn ,Ξn || − |ṠPn ,Ξn | = n → +∞при n → +∞. Теорема 6.2. Функция f имеет интеграл по схеме Дарбу тогда и т.т.,когда она имеет интеграл по схеме Римана. Если интегралы существуют,то они совпадают и имеют единое обозначение∫ bf (x)dx = ID = IR .aЗамечание 6.2. Из определений сумм Дарбу и определения (6.4) интегральной суммы Римана понятно происхождение обозначения интеграла. Хотя интегралы по схемам Дарбу и Римана совпадают, удобно пользоваться обоимиподходами в зависимости от обстоятельств: для доказательства интегрируемости функции удобнее схема Дарбу, для доказательства интегральных равенстви неравенств – схема Римана.Доказательство.
⇒ В силу определения, для любого разбиения P справедлива двусторонняя оценкаS∗P 6 SP,Ξ 6 SP∗ .(6.6)Устремим мелкость к нулю. Из утверждения 3 теоремы-критерия 6.1 следует,что пределами сумм Дарбу является интеграл ID . Откуда следует, что пределсуммы Римана также равен ID .64Я. М.
ДЫМАРСКИЙ⇐ Если интеграл IR существует, то (лемма 6.5) функция f ограничена. Поэтому для любого разбиения P на каждом отрезке разбиения можно выбратьтакую точку ξi′ , что f (ξi′ ) − mi 6 ε/4(b − a). Получаем для разности суммыРимана и нижней суммы Дарбу оценку сверху:06n∑i=1f (ξi′ )∆xi −n∑mi ∆xi =i=1n∑(f (ξi′ ) − mi )∆xi 6i=1∑εε∆xi = .4(b − a) i=14nНо на каждом отрезке разбиения можно выбрать и такую точку ξi′′ , что Mi −f (ξi′′ ) 6 ε/4(b − a).
Аналогично рассуждая, получаем оценку для разностиверхней суммы Дарбу и суммы Римана:n∑06n∑Mi ∆xi −i=1f (ξi′′ )∆xi 6i=1ε.4Складывая полученные оценки, получаем, чтоε0 6 SP∗ − S∗P = VP 6 |SP,Ξ′′ − SP,Ξ′ | + ,2где Ξ′ = {ξ1′ , ..., ξn′ }, Ξ′′ = {ξ1′′ , ..., ξn′′ }. В силу существования IR , если мелкостьразбиения выбрана достаточна малой, то для любой выборки отличие суммыРимана от интеграла не больше ε/4.
Поэтому|SP,Ξ′′ − SP,Ξ′ | 6 |SP,Ξ′′ − IR | + |IR − SP,Ξ′ | 6ε εε+ = .4 42Значит, VP 6 ε для любого разбиения с достаточно малой мелкостью. Изутверждения 3 теоремы 6.1 следует, что существует ID , а из двустороннихоценок (6.6) следует, что ID = IR . 6.3. Свойства определенного интеграла. Поскольку ОИ определяетсяотрезком интегрирования и подынтегральной функцией, некоторые его свойства формулируются отдельно для отрезков интегрирования (при неизменнойподынтегральной функции), отдельно – для подынтегральных функций (принеизменном отрезке интегрирования).Теорема 6.3.
(об отрезках интегрирования) Справедливы утверждения:1. Если функция f интегрируема на [a, c] и на [c, b] (a < c < b), то онаинтегрируема на [a, b].2. Если функция f интегрируема на [a, b], то она интегрируема на любомподотрезке [c, d] ⊂ [a, b].3. Пусть c ∈ [a, b]. Тогда имеет место аддитивность интеграла поотрезкам интегрирования: функция f интегрируема на [a, b] тогда ит.т., когда f интегрируема и на [a, c], и на [c, b], причем∫∫bf (x)dx =a∫cf (x)dx +abf (x)dx.cЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР654.
Если функция f ограничена на [a, b] и для любых a′ , b′ ∈ (a, b) онаинтегрируема на подотрезке [a′ , b′ ] ⊂ [a, b], то она интегрируема на[a, b].Доказательство п. 1. Во-первых, функция ограничена на [a, c] и на [c, b],поэтому она ограничена на [a, b]. Применим утверждение 2 теоремы 6.1. Изинтегрируемости на [a, c] и на [c, b] следует, что для любого ε > 0 существуютразбиения P1 и P2 отрезков [a, c] и [c, b] соответственно, для которых VP1 < ε/2и VP2 < ε/2.
Возьмем на [a, b] разбиение P , порожденное P1 и P2 . ТогдаS∗P = S∗P1 + S∗P2 , SP∗ = SP∗ 1 + SP∗ 2 и, следовательно, VP = VP1 + VP2 < ε.Доказательство п. 2. Так как функция ограничена на [a, b], то она ограничена на [c, d]. В силу интегрируемости f на [a, b], по любому ε > 0 существуетδ > 0 такое, что для любого разбиения P отрезка [a, b] c мелкостью p(P ) < δразность сумм Дарбу VP < ε. Возьмем любое разбиение P0 отрезка [c, d], мелкость которого p0 < δ, и продолжим его до разбиения P всего отрезка [a, b] ссохранением оценки мелкости p(P ) < δ.
Тогда VP0 6 VP < ε.Доказательство п. 3. Равносильность интегрируемости слева и справа доказано в предыдущих пунктах. Рассмотрим последовательность разбиений Pnотрезка [a, b], которые включают точку c, и для которых мелкость p(Pn ) → 0.Каждое такое разбиение состоит из разбиений Pn′ , Pn′′ отрезков [a, c] и [c, b] соответственно. Для сумм Римана получаемSPn ,Ξn = SPn′ ,Ξ′n + SPn′′ ,Ξ′′n .Переходя к пределу при p(Pn ) → 0, получаем утверждение п.
3.Доказательство п. 4. Рассмотрим случай b′ = b. Если f (x) ≡ 0, то функцияинтегрируема. Иначе C := sup[a,b] |f (x)| > 0. Воспользуемся утверждением дваиз теоремы 6.1. По данному ε > 0 подберем подходящее разбиение отрезка [a, b].Выберем a′ = a + ε/(4C) < b. Поскольку f интегрируема на [a′ , b], найдетсяразбиение P ′ отрезка [a′ , b], для которого разность сумм Дарбу VP ′ < ε/2.Рассмотрим разбиение P отрезка [a, b], которое состоит из отрезка [a, a′ ] и всехподотрезков разбиения P ′ . Для негоεεVP = (M ′ − m′ )(a − a′ ) + VP ′ < 2C+ = ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
