Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Что доказывает теорему. Следствие 5.2. (теорема Лагранжа для функции нескольких переменных)Пусть функция f ∈ C 1 (Uδ (x0 )). Тогда для любой точки x ∈ Uδ (x0 ) справедлива формула Лагранжа:f (x) = f (x0 ) + df (x0 + θ∆x) = f (x0 ) +∂f (x0 + θ∆x)∂f (x0 + θ∆x)dx1 + ... +dxn ,∂x1∂xnгде число θ = θ(x0 , ∆x) ∈ (0, 1) определяется в общем случае неоднозначно.Доказательство. Это утверждение теоремы 5.6 при k = 1.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР57Задача 5.8. Пусть функция f ∈ C 1 (X), где подмножество X ⊂ Rn выпукло. Докажите справедливость для нее формулы Лагранжа.Замечание 5.7. Таким образом, для числовой функции, заданной на выпуклом множестве, теорема о среднем Лагранжа справедлива независимо отколичества переменных.
Для вектор-функции (т.е. отображения в многомерное пространство) теорема в общем случае неверна (см. теоремы 1.11.3 и1.16.1).Теорема 5.7. (формула Тейлора в форме Пеано) Пусть функция f ∈C k (Uδ (x0 )). Тогда для любой точки x ∈ Uδ (x0 ) справедлива формула Тейлорас остаточным членом в форме Пеано:f (x) = f (x0 ) +k∑1 md f (x0 ) + o(|∆x|) при ∆x = x − x0 → 0.m!m=1Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора в форме Лагранжа:f (x) = f (x0 ) +k−1∑1 m1d f (x0 ) + dk f (x0 + θ∆x),m!k!m=1где 0 < θ < 1. Добавим к сумме недостающее слагаемое и вычтем его:f (x) = f (x0 ) +k∑11 md f (x0 ) + (dk f (x0 + θ∆x) − dk f (x0 )).m!k!m=1Оценим разность в скобках.
Воспользуемся непрерывностью производных k-гопорядка, теоремой (5.2) и формулой (5.5):|dk f (x0 + θ∆x) − dk f (x0 )|6|∆x|kn ∑∂kf∂kf00 |∆xik |...|∆xi1 |...6 ∂xi ...∂xi (x + θ∆x) − ∂xi ...∂xi (x )|∆x|k11kkik =1i1 =1∂kf∂kf00 k(x + θ∆x) −(x ) → 0nmax∂xik ...∂xi1i1 ,...ik ∈{1,...,n} ∂xik ...∂xi1n∑при |∆x| → 0. 58Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 6.
Определенный интеграл РиманаПонятие определенного интеграла (ОИ) является ключевым в математическом анализе. Оно постоянно применяется в дифференциальной геометрии,теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в уравнениях математической физики, в функциональном анализе, в теории вероятностей и математической статистике и других разделах математики.
Понятие восходит к“методу исчерпывания” Евдокса Книдского (ок. 408 г. - ок. 355 г. до н.э.),усовершенствованный Архимедом из Сиракуз (287 - 212 до н.э.).6.1. Интеграл по Дарбу. Нам потребуется новый понятий аппарат.1. На отрезке [a, b] ⊂ R (a < b) выберем произвольное конечное упорядоченное множество точек, включая концы:a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.Выбранные точки порождают разбиениеP = {[xi−1 , xi ]}ni=1 данного∪nотрезка на его подотрезки: [a, b] = i=1 [xi−1 , xi ].
Длины подотрезковразбиения обозначим ∆xi = xi − xi−1 .2. Наибольшую из длин отрезков называют мелкостью разбиенияp(P ) := max ∆xi .i=1,...,n3. Пусть f : [a, b] → R – ограниченная функция. ОбозначимMi (f ) = Mi :=sup f (x) < +∞,mi (f ) = mi :=[xi−1 ,xi ]inf[xi−1 ,xi ]f (x) > −∞,vi (f ) = vi := Mi − mi > 0, i = 1, ..., n;величина vi называется колебанием функции f на отрезке [xi−1 , xi ].4. Определимверхнюю сумму Дарбу SP∗ (f ) = SP∗ :=n∑Mi ∆xi < +∞,i=1нижнюю сумму Дарбу S∗P (f ) = S∗P :=n∑mi ∆xi > −∞,i=1разность сумм ДарбуVP := SP∗ − S∗P =nn∑∑(Mi − mi )∆xi =vi ∆xi > 0.i=1i=15. Разбиение P ′ называют измельчением разбиения P , если каждый изотрезков разбиения P ′ содержится в некотором отрезке из разбиения P :P ≺ P ′ .
Иначе говоря, к точкам, которые породили P , добавляют новые.Через P1 ⊔ P2 обозначим разбиение, порожденное объединением точек,которые породили P1 и P2 . Очевидно, что P1 ⊔P2 является измельчениеми для P1 , и для P2 .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР59Рис. 6.1Геометрический смысл сумм Дарбу: если функция f неотрицательна инепрерывна, то суммы Дарбу суть площади вписанной и описанной ступенчатых фигур (см. рис. 6.1).Определение 6.1. (интегралы Дарбу) Нижним интегралом Дарбу называется I∗ (f ) = I∗ := supP S∗P , верхним интегралом Дарбу называетсяI ∗ (f ) = I ∗ := inf P SP∗ . Нас интересует, как измельчение и мелкость связаны с суммами и интегралами Дарбу.Лемма 6.1.
(о монотонности сумм Дарбу при измельчении). При измельчении нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается:если P ≺ P ′ ⇒ S∗P 6 S∗P ′ , SP∗ > SP∗ ′ .Доказательство основано на простом принципе “расширяющихся возможностей”: если [a2 , b2 ] ⊂ [a1 , b1 ], то sup[a2 ,b2 ] f (x) 6 sup[a1 ,b1 ] f (x), а inf [a2 ,b2 ] f (x) >inf [a1 ,b1 ] f (x). Поскольку при измельчении добавляется конечное количествоновых точек, достаточно рассмотреть случай добавления к P одной точкиx′ ∈ (xi−1 , xi ).
В этом случае все слагаемые нижней суммы S∗P не изменятся,кроме слагаемого с номером i: слагаемое mi (xi − xi−1 ) заменится на два слагаемых m′′i (xi − x′ ) + m′i (x′ − xi−1 ), где m′i = inf [xi−1 ,x′ ] f (x) и m′′i = inf [x′ ,xi ] f (x).Но m′i , m′′i > mi поскольку [xi−1 , x′ ], [x′ , xi ] ⊂ [xi−1 , xi ].
Поэтому (рис. 6.1)m′i (xi − x′ ) + m′′i (x′ − xi−1 ) > mi (xi − x′ ) + mi (x′ − xi−1 ) = mi (xi − xi−1 ). Следствие 6.1. При измельчении разность сумм Дарбу не увеличивается:если P ≺ P ′ ⇒ 0 6 VP ′ 6 VP .Из следствия вытекает, что измельчая разбиение мы сближаем нижнюю иверхнюю суммы Дарбу.
Наша цель выяснить, могут ли суммы различатьсясколь угодно мало, т.е. могут ли совпасть верхний и нижний интегралы Дарбу.Лемма 6.2. (сравнение нижних и верхних сумм Дарбу) Любая нижняясумма Дарбу не больше любой верхней суммы Дарбу:∀P1 ∀P2 ,→ S∗P1 6 SP∗ 260Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. Возьмем разбиение P = P1 ⊔ P2 . Поскольку P являетсяизмельчением и P1 , и P2 , то, в силу определения сумм Дарбу и леммы 6.1,получаемS∗P1 6 S∗P 6 SP∗ 6 SP∗ 2 . Лемма 6.3. (упорядоченность сумм и интегралов Дарбу) Для любых разбиений P1 и P2 справедливы оценки−∞ < S∗P1 6 I∗ 6 I ∗ 6 SP∗ 2 < +∞.Доказательство.
сразу следует из леммы 6.2 и теоремы 1.1.5 о разделениидвух множеств Лемма 6.4. (о влиянии мелкости на приближение к интегралам Дарбу)При стремлении мелкости к нулю нижние суммы Дарбу стремятся снизук нижнему интегралу Дарбу, а верхние суммы Дарбу стремятся сверху кверхнему интегралу Дарбу. В кванторах утверждение имеет вид:∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 : (∀P : p(P ) < δ) ,→ 0 6 I∗ −S∗P < ε ∧ 0 6 SP∗ −I ∗ < ε.
(6.1)Доказательство. Достаточно доказать первую оценку. По определениюточной верхней грани существует разбиение P0 , для которого I∗ − S∗P0 < ε/2.Покажем, что существует такое δ, что для всех разбиений P с мелкостьюp(P ) < δ справедлива оценка S∗P0 − S∗P 6 ε/2. Тогда будет выполнено искомое неравенство0 6 I∗ − S∗P = (I∗ − S∗P0 ) + (S∗P0 − S∗P ) 6 ε.Идея доказательства: отрезки разбиения P , принадлежащие отрезкам разбиения P0 , не уменьшают сумму S∗P по сравнению с суммой S∗P0 , а отрезкиразбиения P , пересекающие соседние отрезки разбиения P0 , мы выберем стольмалой длины, чтобы их вклад не существенно повлиял на сумму S∗P .Пусть n0 – количество отрезков разбиения P0 , p0 – мелкость P0 , а M =sup[a,b] |f (x)| < +∞.
Возьмем δ = min(p0 , 8Mεn0 ). Пусть p(P ) 6 δ; p(P ) небольше, чем p0 и p(P ) → 0 при ε → 0. Рассмотрим разбиение P0 ⊔ P . Каж⊔дый отрезок [x⊔j−1 , xj ], порожденный разбиением P0 ⊔ P , принадлежит целиком какому-то одному отрезку [x0i−1 , x0i ], порожденному P0 , и какому-то од⊔ному отрезку [xk−1 , xk ], порожденному P . Сопоставим отрезку [x⊔j−1 , xj ] те00два значения mi и mk , которые порождены указанными отрезками [xi−1 , x0i ]и [xk−1 , xk ] соответственно.
В силу разбиения P0 ⊔ P нижние суммы Дарбуразбиваются каждая на две суммы:S∗P0 = Σ′∗P0 + Σ′′∗P0 , S∗P = Σ′∗P + Σ′′∗P ,где первая сумма берется по всем отрезкам из P , целиком принадлежащимвнутренностям отрезков из разбиения P0 , а вторая сумма берется по всемоставшимся отрезкам из P0 ⊔ P ; в сумме S∗P0 слагаемые имеют вид m0i · ∆x⊔j,⊔а в сумме S∗P имеют вид mk · ∆xj (см.
рис. 6.2). Поскольку в суммах с⊔000одним штрихом [x⊔j−1 , xj ] = [xk−1 , xk ] ⊂ (xi−1 , xi ), то mi 6 mk ; следовательно,′′Σ∗P0 − Σ∗P 6 0.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР61Рис. 6.2Остается оценить модуль разности |Σ′′∗P0 − Σ′′∗P |.
Оценивать будем опираясьна мелкость δ и то обстоятельство, что количество n0 отрезков разбиения P0фиксировано. Оставшиеся отрезки обязательно имеют хотя бы одним концомточку x0i из разбиения P0 (на рис. 6.2 отмечены дугами). Поэтому их не более,чем 2n0 штук. Каждый такой отрезок мельче, чем δ. Поэтому|Σ′′∗P0 − Σ′′∗P | 6 |Σ′′∗P0 | + |Σ′′∗P | 6 4n0 Mεε=8M n02(“грубая” оценка через количество слагаемых).
Окончательно получаем: ε() ()S∗P0 − S∗P = Σ′∗P0 − Σ′∗P + Σ′′∗P0 − Σ′′∗P 6 0 + Σ′′∗P0 − Σ′′∗P 6 . 2Обсуждение 6.1. Утверждение леммы 6.4 означает, что, устремляя мелкость разбиения к нулю, можно добиться стремления сумм Дарбу к соответствующим интегралам Дарбу. Это утверждение можно записать такlim S∗P = I∗ ,p(P )→0lim SP∗ = I ∗ ,(6.2)p(P )→0где записанный предел не есть ни предел последовательности, ни предел функции.
Это новый тип предела, определенный на языке “ε − δ” и сформулированный специально для интегральных сумм (см. (6.1)). Такого рода пределы мыбудем постоянно применять в теории интегрирования. Он обладает многими(но не всеми!) свойствами предела функции, в частности, единственностью.Теперь мы можем дать основноеОпределение 6.2. (интеграл Римана по Дарбу) Если I∗ (f ) = I ∗ (f ), тоограниченная функция f называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], а общее значение ID (f ) = I ∗ = I∗ называется интегралом Риманапо схеме Дарбу на отрезке [a, b]. Геометрический смысл интеграла Римана: если функция f неотрицательна и непрерывна, то интеграл Римана – это площадь “криволинейнойтрапеции”, расположенной между графиком и осью Ox.В общем случае функция f не интегрируема:Пример 6.1. Функция Дирихле D неинтегрируема на любом отрезке [a, b],т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
