Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4C2Мы рассматривали интеграл при условии, что верхний предел выше нижнего. Удобно снять это ограничение.Определение 6.4. Для произвольной функции f положим∫ af (x)dx := 0.aЕсли функция f интегрируема на отрезке [a, b], положим∫ a∫ bf (x)dx := −f (x)dx. baСледствие 6.2. Если функция f интегрируема на отрезке, содержащемточки a, b, c, то при любом их расположении справедливо равенство∫ b∫ c∫ bf (x)dx =f (x)dx +f (x)dx.(6.7)aac66Я. М.
ДЫМАРСКИЙДоказательство. Рассмотрим случай c < a < b. Из теоремы 6.3 следует∫ b∫ a∫ bf (x)dx =f (x)dx +f (x)dx ⇔∫bcca∫∫∫abf (x)dx −f (x)dx =ca∫cf (x)dx =bf (x)dx. f (x)dx +cacТеперь обсудим свойства ОИ, связанные с подынтегральной функцией.Теорема 6.4. (линейность интеграла) Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то для любых чисел α, β ∈ R линейная комбинацияфункций αf + βg интегрируема на [a, b], причем∫ b∫ b∫ b(αf (x) + βg(x))dx = αf (x)dx + βg(x)dx.aaaДоказательство. Воспользуемся определением Римана.
Заметим, что сумма Римана линейна относительно подынтегральной функции:SP,Ξ (αf + βg) = αSP,Ξ (f ) + βSP,Ξ (g).Остается перейти к пределу и воспользоваться линейностью предельногоперехода (доказательство которого оставляем в виде упражнения):∫ b(αf (x) + βg(x))dx = lim SP,Ξ (αf + βg) =p(P )→0a∫p(P )→0p(P )→0∫bα lim SP,Ξ (f ) + β lim SP,Ξ (g) = αbg(x)dx. f (x)dx + βaaЗамечание 6.3. Утверждение теоремы 6.4 означает, что множество R[a, b]всех функций, интегрируемых по Риману на фиксированном отрезке [a, b], образует линейное пространство (заметим, функциональное), а определенный интеграл на нем является линейным оператором (см.
п. 5.2), точнее – линейнымфункционалом, поскольку действует в R:∫ bl : R[a, b] → R, l(f ) :=f (x)dx.aСледствие 6.3. (переопределение подынтегральной функции) Изменениезначений функции в конечном количестве точек не влияет на интегрируемость. Если же функция интегрируема, то значение интеграла не изменится.Доказательство. Пусть функция g тождественно равна нулю всюду на отрезке, кроме конечного количества точек. Функция g интегрируема и ее интеграл равен нулю (докажите!). Поэтому интегрируемость функции f + g равносильная интегрируемости f , а интеграл суммы равен интегралу от f . Теорема 6.5. (интегрируемость произведения) Если функции f и g интегрируемы на [a, b], то их произведение h(x) = f (x)g(x) интегрируемо на [a, b].ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР67Доказательство. Воспользуемся утверждением два теоремы 6.1.
Посколькусомножители ограничены, то |f (x)| < C, |g(x)| < C. Пусть P = {[xi−1 , xi ]} –произвольное разбиение [a, b], ξ, η ∈ [xi−1 , xi ] – произвольные точки. Оценимколебание vi (h) функции h на [xi−1 , xi ]:|h(ξ) − h(η)| = |f (ξ)(g(ξ) − g(η)) + g(η)(f (ξ) − f (η))| 6C(|g(ξ) − g(η)| + |f (ξ) − f (η)|) 6 C(vi (g) + vi (f ))В полученном неравенстве правая часть вообще не зависит от точек ξ, η ∈[xi−1 , xi ]. Поэтомуvi (h) = Mi (h) − mi (h) 6 C(vi (g) + vi (f )) ⇒ VP (h) 6 C(VP (g) + VP (f )).Существует разбиение P1 , для которого VP1 (f ) 6 ε/(2C) и разбиение P2 , длякоторого VP2 (g) 6 ε/(2C).
Возьмем P = P1 ⊔ P2 . В силу следствия 6.1, приизмельчении разность сумм Дарбу не увеличивается, поэтомуVP (h) 6 C(VP (f ) + VP (g)) 6 C(VP1 (f ) + VP2 (g)) 6 ε. Теорема 6.6. (об интегрируемости модуля) Если функция f интегрируема на [a, b], то и функция |f | интегрируема на [a, b].Доказательство. Для любых точек ξ, η ∈ [xi−1 , xi ] (обозначения из доказательства теоремы 6.5) справедлива оценка||f (ξ)| − |f (η)|| 6 |f (ξ) − f (η)|.Поэтому vi (|f |) 6 vi (f ) и VP (|f |) 6 VP (f ). Остается сослаться на второй пункттеоремы 6.1.
Замечание 6.4. Из интегрируемости функции |f | не следует интегрируемость f . Пример: функция f (x) = −1 для рациональных точек и f (x) = 1 дляиррациональных не интегрируема; ее модуль |f (x)| ≡ 1 интегрируем.6.4. Классы интегрируемых функций. Пока остается открытым вопрос: какие именно функции интегрируемы? Здесь мы опишем наиболее важные классы интегрируемых функций.Теорема 6.7. Непрерывная на отрезке [a, b] функция f интегрируема.Доказательство. По теореме Вейерштрасса функция равномерно ограничена на [a, b], поэтому можно применить п. 3 теоремы 6.1. В силу теоремыКантора о равномерной непрерывности, по любому ε > 0 найдется δ > 0 такое,что при |x′ −x′′ | < δ следует |f (x′ )−f (x′′ )| < ε/(b−a). Возьмем мелкость разбиения меньше δ. В силу непрерывности, на каждом отрезке разбиения функциядостигает минимума и максимума.
Поэтому разность сумм ДарбуVP =nn∑∑(Mi − mi )∆xi =(f (x′i ) − f (x′′i ))∆xi <i=1n∑i=1i=1εε ∑∆xi =∆xi = ε. b−ab − a i=1n68Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 6.8. Монотонная на отрезке [a, b] функция f интегрируема.Доказательство. Пусть, для определенности, функция не убывает. Тогдадля любого x ∈ [a, b] верно f (a) 6 f (x) 6 f (b). Значит, функция ограничена.
Применим п. 3 теоремы 6.1. Если f (a) = f (b), то функция постоянна иинтегрируема. Пусть f (a) < f (b). Возьмем δ = ε/(f (b) − f (a)). Пусть P –произвольное разбиение мелкости меньшей δ. В силу монотонности, колебаниена i-м отрезке разбиения равно vi = f (xi ) − f (xi−1 ). ПоэтомуVP =nn∑∑(f (xi ) − f (xi−1 )) =(f (xi ) − f (xi−1 ))∆xi < δi=1i=1ε(f (b) − f (a)) = ε. f (b) − f (a)Замечание 6.5.
Если функция монотонна на интервале, то она может небыть интегрируемой. Пример: y = 1/x, дополненная условием y(0) = 0, неинтегрируема на [0, 1].Теорема 6.9. Если функция f ограничена на отрезке [a, b] и имеет на немконечное количество точек разрыва, то она интегрируема на [a, b].Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] на конечное количество подотрезков, концами которых являются точки разрыва. На каждом таком отрезке [ξj−1 , ξj ] функция ограничена и непрерывна внутри отрезка. Следо′вательно, она интегрируема на любом подотрезке [ξj−1, ξj′ ] ⊂ [ξj−1 , ξj ], где′′ξj−1 < ξj−1 < ξj < ξj .
Из п. 4 теоремы 6.3 следует, что f интегрируема на[ξj−1 , ξj ]. А из п. 3 теоремы 6.3 – интегрируема на объединении всех подотрезков [ξj−1 , ξj ], т.е. интегрируема на [a, b]. Примеры 6.1. 1) Функция f (x) = sign(x) имеет единственную точку разрыва первого рода – она интегрируема на любом отрезке; 2) функция f (x) :=sin(1/x) при x ̸= 0 и f (0) := 0 ограничена и имеет единственную точку разрывавторого рода, поэтому она интегрируема на любом отрезке.Напомним, что функция f называется кусочно-непрерывной на [a, b], еслиона имеет на отрезке не более, чем конечное количество точек разрыва первогорода. Из теоремы 6.9 получаемСледствие 6.4.
Кусочно-непрерывные функции интегрируемы на [a, b].Замечание 6.6. Класс кусочно-непрерывных функций шире класса непрерывных функций. К нему относятся, например, кусочно постоянные (ступенчатые) функции, которые мы уже применяли. Этот класс удобен для конструирования функций с наперед заданными свойствами.Замечание 6.7. Критерий интегрируемости функции можно дать толькос помощью “меры Лебега”. Говорят, что множество N ⊂ R имеет лебеговумеру ноль, если для любого ε > 0 существует конечное или счетное множествоинтервалов, объединение которых, во-первых, содержит N и, во-вторых, суммадлин всех интервалов меньше ε (самостоятельно дайте определение суммы длинсчетного множества интервалов).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР69Теорема 6.10. (критерий интегрируемости) Ограниченная функция f интегрируема на [a, b] только в том случае, когда множество ее точек разрываимеет лебегову меру ноль.6.5.
Интегральные неравенства. Как правило, вычислить интеграл невозможно, поэтому первостепенную роль играют интегральные оценки. Особенно они важны в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и вуравнениях математической физики.Теорема 6.11. (интегрирование неравенств) Если функции f и g интегрируемы на [a, b] и g(x) 6 f (x) на этом отрезке, то∫ b∫ bg(x)dx 6f (x)dx.aaДоказательство. Для любого разбиения P и любой ей подчиненной выборки Ξ для сумм Римана справедливо SP,Ξ (g) 6 SP,Ξ (f ). Откуда предельнымпереходом получаем утверждение теоремы. Следствие 6.5.
Если функция f интегрируема на [a, b], то∫ ∫ bbf (x)dx 6|f (x)|dx. aaДоказательство. Из теоремы 6.6 следует, что интеграл справа существует.Из двусторонней оценки−|f (x)| 6 f (x) 6 |f (x)|и теоремы 6.11 следует, что∫ b∫−|f (x)|dx 6a∫bbf (x)dx 6a|f (x)|dx. aТеорему 6.11 можно усилить:Теорема 6.12. (интегрирование неравенств при условии непрерывности)Если функции f и g интегрируемы на [a, b], g(x) 6 f (x) на этом отрезке иg(x0 ) < f (x0 ) в некоторой точке x0 ∈ [a, b], в которой обе функции непрерывны, то∫ b∫ bg(x)dx <f (x)dx.aaДоказательство.
Надо доказать, что для неотрицательной интегрируемойфункции φ(x) := f (x) − g(x) > 0, у которой φ(x0 ) > 0, причем φ непрерывна в∫bточке x0 , справедлива оценка: a φ(x)dx > 0.В силу непрерывности в точке x0 , существует окрестность Uδ (x0 ), в которойφ(x) > φ(x0 )/2 > 0. Поэтому∫ b∫ x0 +δ∫ x0 +δφ(x0 )φ(x0 )φ(x)dx >φ(x)dx >dx =2δ > 0. 22ax0 −δx0 −δ70Я.
М. ДЫМАРСКИЙЗамечание 6.8. Отказаться от условия непрерывности нельзя – функцияφ может иметь “точечный всплеск”, который не повлияет на интеграл. Придумайте пример такой функции.Теорема 6.13. (о среднем) Если функции f и g интегрируемы на [a, b],причем функция g сохраняет знак (т.е. g(x) > 0 или g(x) 6 0 на [a, b]), то:1. существует такое µ ∈ [m, M ], где m := inf [a,b] f (x) 6 sup[a,b] f (x) =: M ,что∫∫bbf (x)g(x)dx = µag(x)dx;a2. если функция f непрерывна на [a, b], то существует такое ξ ∈ [a, b],что∫ b∫ bf (x)g(x)dx = f (ξ)g(x)dx.(6.8)aaДоказательство.
Пусть g(x) > 0, тогдаm 6 f (x) 6 M ⇒ mg(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x) ⇒∫∫bg(x)dx 6ma∫bf (x)g(x)dx 6 Mbg(x)dx.aa∫b∫bЕсли a g(x)dx = 0, то a f (x)g(x)dx = 0 и число µ можно взять любым. Если∫bже a g(x)dx > 0, тоm6∫b∫baaf (x)g(x)dx6 M ⇔ m 6 µ :=∫bg(x)dxaf (x)g(x)dx6 M.∫bg(x)dxaЕсли функция f непрерывна, то она принимает все промежуточные значенияна [m, M ], поэтому существует такое ξ ∈ [a, b], что f (ξ) = µ.
Замечание 6.9. Теорема 6.13 верна для случая b < a. Проверьте.6.6. Определенный интеграл как функция верхнего предела и формула Ньютона-Лейбница. Определение интеграла Римана по схеме Дарбу “неконструктивно”. Схема Римана требует нахождения сложного пределаинтегральных сумм. Оба определения не указывают на связи определенногоинтеграла с другими понятиями МА. Эти пробелы ликвидирует знаменитаяформула Ньютона-Лейбница. Чтобы ее получить, рассмотрим специальнуюфункцию, порожденную определенным интегралом.Определение 6.5. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b]; пустьx0 ∈ [a, b] – произвольная фиксированная точка. Функция∫ xF : [a, b] → R, F (x) :=f (t)dt(6.9)x0называется функцией верхнего предела интегрирования.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР71Теорема 6.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
