Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 2 семестр

Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 9

Файл №1187969 Лекции Дымарский 2 семестр (Лекции Дымарский 2 семестр) 9 страницаЛекции Дымарский 2 семестр (1187969) страница 92020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Дифференцируемость отображений. Рассмотрим отображениеf : Rn ⊃ X → Rm , определенное в некоторой окрестности Ux0 ⊂ X. Напомним(2.1), что задание отображения эквивалентно заданию m штук функций fi(i = 1, ..., m) от n переменных.Определение 4.7. (дифференцируемости отображения)1. Отображение f называется дифференцируемым в точке x0 , если существует такая матрица A размером m × n, что−−−−−−−−−→f (x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(|∆x|) при x → x0 ,где o(|∆x|) – некоторое отображение φ : Ux0 → Vm , для которогоlim φ(∆x)|∆x| = 0.∆x→02.

Матрица A называется производной отображения f в точке x0 . Обозначение: A = Df (x0 ) = Df |x=x0 = f ′ (x0 ).3. Дифференциалом отображения f в точке x0 называется линейноеотносительно дифференциала аргумента dx отображениеdf (x0 ) : Vn → Vm ,df (x0 , dx) := Df (x0 )dx. Лемма 4.6. (координатный критерий дифференцируемости) Отображение f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)) дифференцируемо в точке x0 тогда и т.т., когдав этой точке дифференцируемы все координатные функции fi (i = 1, . . . , m).Задача 4.3.

Докажите лемму 4.6.Для дальнейшего развития теории дифференцирования отображений нампонадобитсяОпределение 4.8. Пусть S n−1 – единичная сфера в векторном пространстве Rn . Нормой матрицы A называется||A|| := sup |Aa| = sup |Aa|. |a|=1a∈S n−1Лемма 4.7. (о существовании и свойстве нормы).1. Норма матрицы конечна и достижима, т.е. существует вектор a0 ∈S n−1 , для которого||A|| = |Aa0 | = max |Aa| < +∞.a∈S n−12. Для любого вектора a выполняется оценка |Aa| 6 ||A|| · |a|.Доказательство. Каждая координатная функция a → (Aa)i , будучи линейной, непрерывна на Rn ; поэтому (в силу леммы 3.1) отображение a → Aaнепрерывно.

Следовательно, суперпозиция a → |Aa| – непрерывная функция,достигающая на компактном подмножестве S n−1 своей точной верхней грани.Если a ̸= 0, то a a|Aa| = A · |a| 6 supA · |a| = ||A|| · |a|. |a||a|a̸=042Я. М. ДЫМАРСКИЙЗамечание 4.6. Из п. 1 леммы следует, что норма матрицы – это наибольший коэффициент растяжения длины векторов, к которым применяетсяматрица.Задача 4.4. Пусть α ∈ R – произвольное число , A, B – произвольные матрицы размером m × n, а – матрица p × m. Докажите, что норма матрицы:1) положительно определенная: ||Θ|| = 0 и ||A|| > 0, если A ̸= 0;2) однородная: ||αA|| = |α| · ||A||;3) удовлетворяет неравенству треугольника: ||A + B|| 6 ||A|| + ||B||;4) удовлетворяет условию “субмультипликативности”: ||C · A|| 6 ||C|| · ||A||.Без изменений формулируются и доказываются (с помощью леммы 4.7) всеутверждения п.

4.1: 1) единственность производной отображения, 2) единственность и смысл дифференциала, 3) непрерывность отображения в точке,где оно дифференцируемо. Что касается понятия частной производной, то онобез изменений сохраняется для каждой координатной функции fi . Так мыполучаемОпределение 4.9. Матрицей Якоби (Карл Якоби, 1804-1851) в точке x0отображения f называется матрица размером m × n, составленная из частныхпроизводных координатных функций fi , посчитанных в точке x0 :J(x0 ) = ∂f1 (x0 )∂x1...∂fn (x0 )∂x1.........∂f1 (x0 )∂xn...∂fn (x0 )∂xn.

Заметим, что каждая строка матрицы Якоби есть градиент соответствующей координатной функции. Важными частными случаями матрицы Якобиявляются:1. n = m = 1: f – числовая функция числового аргумента, матрица Якоби“вырождается” в число;2. n = 1, m > 2: f – вектор-функция числового аргумента (кривая),матрица Якоби – столбец длины m;3. n > 2, m = 1: f – числовая функция нескольких переменных, матрицаЯкоби – строка длины n;4.

n = m > 2: f – отображение пространств одинаковой размерности, матрица Якоби квадратная, ее важнейшая характеристика – определитель,называемый якобианом.Обобщением леммы 4.5 являетсяЛемма 4.8. (необходимое условие дифференцируемости отображения) Если отображение f дифференцируемо в точке x0 , то у него в этой точке существуют все частные производные каждой координатной функции fi , которыесовпадают с соответствующими элементами матрицы Df (x0 ). Другимисловами, J(x0 ) = Df (x0 ).Доказательство немедленно следует из лемм 2.4 и 4.5.

Теорему 4.3 обобщаетЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР43Теорема 4.4. (достаточные условия дифференцируемости отображения)Если матрица Якоби существует в некоторой окрестности точки x0 и всеее элементы суть непрерывные в точке x0 функции, то отображение f дифференцируемо в точке x0 .Задача 4.5. Докажите теорему 4.4.Задача 4.6. Пусть f : Rn → Rm – линейное отображение. Докажите, чтооно дифференцируемо в каждой точке и найдите его производную в каждойточке.

Чему равно в этом случае отображение φ из п.1 определения 4.7?Дадим обобщение теоремы ??:Теорема 4.5. (о дифференцировании суперпозиции отображений) Пустьданы два подмножества X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm и два отображенияf : X → Y, g : Y → Rp .Пусть x0 ∈ X и y 0 = f (x0 ) ∈ Y – внутренние точки указанных подмножеств.Пусть отображение f дифференцируемо в точке x0 , а отображение g дифференцируемо в точке y 0 .

Тогда суперпозиция отображений h(x) := (g ◦ f )(x) =g(f (x)) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема вней по правилуD(g ◦ f )(x0 ) = Dg(y 0 ) · Df (x0 ),т.е. матрица Якоби отображения h равна произведению матриц Якоби отображений g и f :∂(g ◦ f )i (x0 ) ∑ ∂gi (y 0 ) ∂fk (x0 )=, (i = 1, ..., p, j = 1, ..., n).∂xj∂yk∂xjmk=1Доказательство фактически повторяет доказательство теоремы ??. Мывозьмем приращение отображения h и выделим в нем главную линейную часть.Для упрощения записи мы будем опускать точку вычисления производной (т.е.Df := Df (x0 ), Dg := Dg(y 0 )) и не ставить стрелку вектора над разностью−−−−→точек (например, x − x0 := x − x0 ). Итак:h(x) − h(x0 ) = g(f (x)) − g(f (x0 )) = Dg(f (x) − f (x0 )) + o(|f (x) − f (x0 )|) =Dg(Df (x − x0 ) + o(|x − x0 |)) + o(|Df (x − x0 ) + o(x − x0 )|) = ...Далее мы воспользуемся линейностью действия матрицы и п. 2 леммы 4.7:...

= Dg(Df (x − x0 )) + o(|x − x0 |). Прямым следствием теоремы 4.5 являетсяТеорема 4.6. (инвариантность формы первого дифференциала) Пусть выполнены условия теоремы 4.5. Тогда дифференциалы “внешнего” отображенияu = g(y) и суперпозиции отображений u = g(f (x)) могут быть записаны в одной и той же (инвариантной) форме du = Dg(y 0 )dy, где в первом случае dy– приращение независимой переменной y, а во втором случае dy = Df (x0 )dx– дифференциал зависимой от x переменной y.44Я.

М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. Для внешнего отображения данная формула – определение 4.7 п. 3 его дифференциала. Для суперпозиции g ◦ f из теоремы 4.5получаем:d(g(f (x0 ))) = (Dg(y 0 ) · Df (x0 ))dx = Dg(y 0 )(Df (x0 )dx) = Dg(y 0 )dy. Следствие 4.3. (дифференциал и арифметические операции) Пусть y =f (x1 , ..., xn ), y = g(x1 , ..., xn ) – числовые функции n переменных, которые дифференцируемы в точке x0 ∈ Rn .

Тогда в этой точке дифференцируемы функции f ± g, f g, f /g (в последнем случае g(x0 ) ̸= 0). При этом:( )df · g − f · dgf=,d(f ± g) = df ± dg, d(f g) = df · g + f · dg, dgg2гдеdf =n∑∂f (x0 )i=1∂xidxi , dg =n∑∂g(x0 )i=1∂xidxi .Доказательство. Рассмотрим отображение F : Uε (x0 ) → R2 , где F (x) :=(f (x), g(x)) и функцию двух переменных ψ(y1 , y2 ) := y1 + y2 .

Тогда функцияf + g есть суперпозиция f + g = ψ ◦ F . Остается применить теорему 4.6.Аналогично рассматриваются остальные арифметические операции. Задача 4.7. Выразите градиенты функций f ± g, f g, f /g через градиентыgradf и gradg.4.6. Производная функции комплексной переменной. Комплекснозначную функцию комплексной переменной мы можем трактовать двумя способами: 1) как числовую функцию числовой переменной, используя умножение комплексных чисел, 2) как отображение плоскости в плоскость. Врезультате дифференцирование соединяет в себе возможности классическогоопределения производной с матричным определением 4.7.Определение 4.10.

Пусть функция f : C ⊃ U (z0 ) → C.1. Комплексной производной функции f в точке z0 называется комплексное числоf (z) − f (z0 )f ′ (z0 ) := lim∈ C.(4.5)z→z0z − z02. Функция f называется комплексно дифференцируемой в точке z0 ,если существует такое комплексное число a ∈ C, чтоf (z) = f (z0 ) + a · (z − z0 ) + o(z − z0 ), где limz→z0o(z − z0 )= 0.z − z0(4.6)3.

Дифференциалом функции f в точке z0 называется линейная относительно дифференциала dz функция df (z0 ) := f ′ (z0 ) · dz. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР45Как и для вещественных функций, формулируются и доказываются следующие утверждения:1) единственность производной,2) равносильность определений (4.5) и (4.6) и равенство a = f ′ (z0 ),3) непрерывность функции в точке, где она дифференцируема,4) правила дифференцирования арифметических операций,5) дифференцирование сложной функции.Пример 4.1. Пусть n ∈ N, тогда (z n )′ = n · z n−1Доказательство. Обозначим ∆z := z − z0 .

Применяя бином Ньютона, получаем(z0 + ∆z)n − z0n(z n )′ |z=z0 = lim=∆z→0∆zz0n + n · z0n−1 ∆z + . . . + ∆z n − z0n= n · z0n−1 .∆z→0∆zlimВведем в рассмотрение действительные и комплексные части прообраза z =x + iy и образа f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Рассмотрим функцию f какотображениеfˆ : R2 ⊃ U (x0 , y0 ) → R2 , fˆ(x, y) := (u(x, y), v(x, y))(4.7)плоской области в плоскость.Теорема 4.7. (критерий Коши-Римана комплексного дифференцирования)Функция f имеет в точке z0 комплексную производную f ′ (z0 ) = a1 +ia2 тогдаи т.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,24 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее