Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Дифференцируемость отображений. Рассмотрим отображениеf : Rn ⊃ X → Rm , определенное в некоторой окрестности Ux0 ⊂ X. Напомним(2.1), что задание отображения эквивалентно заданию m штук функций fi(i = 1, ..., m) от n переменных.Определение 4.7. (дифференцируемости отображения)1. Отображение f называется дифференцируемым в точке x0 , если существует такая матрица A размером m × n, что−−−−−−−−−→f (x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(|∆x|) при x → x0 ,где o(|∆x|) – некоторое отображение φ : Ux0 → Vm , для которогоlim φ(∆x)|∆x| = 0.∆x→02.

Матрица A называется производной отображения f в точке x0 . Обозначение: A = Df (x0 ) = Df |x=x0 = f ′ (x0 ).3. Дифференциалом отображения f в точке x0 называется линейноеотносительно дифференциала аргумента dx отображениеdf (x0 ) : Vn → Vm ,df (x0 , dx) := Df (x0 )dx. Лемма 4.6. (координатный критерий дифференцируемости) Отображение f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)) дифференцируемо в точке x0 тогда и т.т., когдав этой точке дифференцируемы все координатные функции fi (i = 1, . . . , m).Задача 4.3.

Докажите лемму 4.6.Для дальнейшего развития теории дифференцирования отображений нампонадобитсяОпределение 4.8. Пусть S n−1 – единичная сфера в векторном пространстве Rn . Нормой матрицы A называется||A|| := sup |Aa| = sup |Aa|. |a|=1a∈S n−1Лемма 4.7. (о существовании и свойстве нормы).1. Норма матрицы конечна и достижима, т.е. существует вектор a0 ∈S n−1 , для которого||A|| = |Aa0 | = max |Aa| < +∞.a∈S n−12. Для любого вектора a выполняется оценка |Aa| 6 ||A|| · |a|.Доказательство. Каждая координатная функция a → (Aa)i , будучи линейной, непрерывна на Rn ; поэтому (в силу леммы 3.1) отображение a → Aaнепрерывно.

Следовательно, суперпозиция a → |Aa| – непрерывная функция,достигающая на компактном подмножестве S n−1 своей точной верхней грани.Если a ̸= 0, то a a|Aa| = A · |a| 6 supA · |a| = ||A|| · |a|. |a||a|a̸=042Я. М. ДЫМАРСКИЙЗамечание 4.6. Из п. 1 леммы следует, что норма матрицы – это наибольший коэффициент растяжения длины векторов, к которым применяетсяматрица.Задача 4.4. Пусть α ∈ R – произвольное число , A, B – произвольные матрицы размером m × n, а – матрица p × m. Докажите, что норма матрицы:1) положительно определенная: ||Θ|| = 0 и ||A|| > 0, если A ̸= 0;2) однородная: ||αA|| = |α| · ||A||;3) удовлетворяет неравенству треугольника: ||A + B|| 6 ||A|| + ||B||;4) удовлетворяет условию “субмультипликативности”: ||C · A|| 6 ||C|| · ||A||.Без изменений формулируются и доказываются (с помощью леммы 4.7) всеутверждения п.

4.1: 1) единственность производной отображения, 2) единственность и смысл дифференциала, 3) непрерывность отображения в точке,где оно дифференцируемо. Что касается понятия частной производной, то онобез изменений сохраняется для каждой координатной функции fi . Так мыполучаемОпределение 4.9. Матрицей Якоби (Карл Якоби, 1804-1851) в точке x0отображения f называется матрица размером m × n, составленная из частныхпроизводных координатных функций fi , посчитанных в точке x0 :J(x0 ) = ∂f1 (x0 )∂x1...∂fn (x0 )∂x1.........∂f1 (x0 )∂xn...∂fn (x0 )∂xn.

Заметим, что каждая строка матрицы Якоби есть градиент соответствующей координатной функции. Важными частными случаями матрицы Якобиявляются:1. n = m = 1: f – числовая функция числового аргумента, матрица Якоби“вырождается” в число;2. n = 1, m > 2: f – вектор-функция числового аргумента (кривая),матрица Якоби – столбец длины m;3. n > 2, m = 1: f – числовая функция нескольких переменных, матрицаЯкоби – строка длины n;4.

n = m > 2: f – отображение пространств одинаковой размерности, матрица Якоби квадратная, ее важнейшая характеристика – определитель,называемый якобианом.Обобщением леммы 4.5 являетсяЛемма 4.8. (необходимое условие дифференцируемости отображения) Если отображение f дифференцируемо в точке x0 , то у него в этой точке существуют все частные производные каждой координатной функции fi , которыесовпадают с соответствующими элементами матрицы Df (x0 ). Другимисловами, J(x0 ) = Df (x0 ).Доказательство немедленно следует из лемм 2.4 и 4.5.

Теорему 4.3 обобщаетЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР43Теорема 4.4. (достаточные условия дифференцируемости отображения)Если матрица Якоби существует в некоторой окрестности точки x0 и всеее элементы суть непрерывные в точке x0 функции, то отображение f дифференцируемо в точке x0 .Задача 4.5. Докажите теорему 4.4.Задача 4.6. Пусть f : Rn → Rm – линейное отображение. Докажите, чтооно дифференцируемо в каждой точке и найдите его производную в каждойточке.

Чему равно в этом случае отображение φ из п.1 определения 4.7?Дадим обобщение теоремы ??:Теорема 4.5. (о дифференцировании суперпозиции отображений) Пустьданы два подмножества X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm и два отображенияf : X → Y, g : Y → Rp .Пусть x0 ∈ X и y 0 = f (x0 ) ∈ Y – внутренние точки указанных подмножеств.Пусть отображение f дифференцируемо в точке x0 , а отображение g дифференцируемо в точке y 0 .

Тогда суперпозиция отображений h(x) := (g ◦ f )(x) =g(f (x)) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема вней по правилуD(g ◦ f )(x0 ) = Dg(y 0 ) · Df (x0 ),т.е. матрица Якоби отображения h равна произведению матриц Якоби отображений g и f :∂(g ◦ f )i (x0 ) ∑ ∂gi (y 0 ) ∂fk (x0 )=, (i = 1, ..., p, j = 1, ..., n).∂xj∂yk∂xjmk=1Доказательство фактически повторяет доказательство теоремы ??. Мывозьмем приращение отображения h и выделим в нем главную линейную часть.Для упрощения записи мы будем опускать точку вычисления производной (т.е.Df := Df (x0 ), Dg := Dg(y 0 )) и не ставить стрелку вектора над разностью−−−−→точек (например, x − x0 := x − x0 ). Итак:h(x) − h(x0 ) = g(f (x)) − g(f (x0 )) = Dg(f (x) − f (x0 )) + o(|f (x) − f (x0 )|) =Dg(Df (x − x0 ) + o(|x − x0 |)) + o(|Df (x − x0 ) + o(x − x0 )|) = ...Далее мы воспользуемся линейностью действия матрицы и п. 2 леммы 4.7:...

= Dg(Df (x − x0 )) + o(|x − x0 |). Прямым следствием теоремы 4.5 являетсяТеорема 4.6. (инвариантность формы первого дифференциала) Пусть выполнены условия теоремы 4.5. Тогда дифференциалы “внешнего” отображенияu = g(y) и суперпозиции отображений u = g(f (x)) могут быть записаны в одной и той же (инвариантной) форме du = Dg(y 0 )dy, где в первом случае dy– приращение независимой переменной y, а во втором случае dy = Df (x0 )dx– дифференциал зависимой от x переменной y.44Я.

М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. Для внешнего отображения данная формула – определение 4.7 п. 3 его дифференциала. Для суперпозиции g ◦ f из теоремы 4.5получаем:d(g(f (x0 ))) = (Dg(y 0 ) · Df (x0 ))dx = Dg(y 0 )(Df (x0 )dx) = Dg(y 0 )dy. Следствие 4.3. (дифференциал и арифметические операции) Пусть y =f (x1 , ..., xn ), y = g(x1 , ..., xn ) – числовые функции n переменных, которые дифференцируемы в точке x0 ∈ Rn .

Тогда в этой точке дифференцируемы функции f ± g, f g, f /g (в последнем случае g(x0 ) ̸= 0). При этом:( )df · g − f · dgf=,d(f ± g) = df ± dg, d(f g) = df · g + f · dg, dgg2гдеdf =n∑∂f (x0 )i=1∂xidxi , dg =n∑∂g(x0 )i=1∂xidxi .Доказательство. Рассмотрим отображение F : Uε (x0 ) → R2 , где F (x) :=(f (x), g(x)) и функцию двух переменных ψ(y1 , y2 ) := y1 + y2 .

Тогда функцияf + g есть суперпозиция f + g = ψ ◦ F . Остается применить теорему 4.6.Аналогично рассматриваются остальные арифметические операции. Задача 4.7. Выразите градиенты функций f ± g, f g, f /g через градиентыgradf и gradg.4.6. Производная функции комплексной переменной. Комплекснозначную функцию комплексной переменной мы можем трактовать двумя способами: 1) как числовую функцию числовой переменной, используя умножение комплексных чисел, 2) как отображение плоскости в плоскость. Врезультате дифференцирование соединяет в себе возможности классическогоопределения производной с матричным определением 4.7.Определение 4.10.

Пусть функция f : C ⊃ U (z0 ) → C.1. Комплексной производной функции f в точке z0 называется комплексное числоf (z) − f (z0 )f ′ (z0 ) := lim∈ C.(4.5)z→z0z − z02. Функция f называется комплексно дифференцируемой в точке z0 ,если существует такое комплексное число a ∈ C, чтоf (z) = f (z0 ) + a · (z − z0 ) + o(z − z0 ), где limz→z0o(z − z0 )= 0.z − z0(4.6)3.

Дифференциалом функции f в точке z0 называется линейная относительно дифференциала dz функция df (z0 ) := f ′ (z0 ) · dz. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР45Как и для вещественных функций, формулируются и доказываются следующие утверждения:1) единственность производной,2) равносильность определений (4.5) и (4.6) и равенство a = f ′ (z0 ),3) непрерывность функции в точке, где она дифференцируема,4) правила дифференцирования арифметических операций,5) дифференцирование сложной функции.Пример 4.1. Пусть n ∈ N, тогда (z n )′ = n · z n−1Доказательство. Обозначим ∆z := z − z0 .

Применяя бином Ньютона, получаем(z0 + ∆z)n − z0n(z n )′ |z=z0 = lim=∆z→0∆zz0n + n · z0n−1 ∆z + . . . + ∆z n − z0n= n · z0n−1 .∆z→0∆zlimВведем в рассмотрение действительные и комплексные части прообраза z =x + iy и образа f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Рассмотрим функцию f какотображениеfˆ : R2 ⊃ U (x0 , y0 ) → R2 , fˆ(x, y) := (u(x, y), v(x, y))(4.7)плоской области в плоскость.Теорема 4.7. (критерий Коши-Римана комплексного дифференцирования)Функция f имеет в точке z0 комплексную производную f ′ (z0 ) = a1 +ia2 тогдаи т.

Характеристики

Список файлов лекций