Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2.4 биекция изображена для случая P = O, φ0 = 0.Рис. 2.4Обозначим fe(ρ, φ) := f (x(ρ, φ), y(ρ, φ))Определение 2.7. Пусть функция f (x, y) определена в некоторой проколотой окрестности точки (x0 , y0 ). Пределом по направлению, определяемомууглом φ0 = const, называется предел функции одной переменной ρ:lim f (x0 + ρ cos φ0 , y0 + ρ sin φ0 ) = lim fe(ρ, φ0 ). ρ→+0ρ→+016Я. М. ДЫМАРСКИЙДля удобства будем вместо термина “предел” использовать термин двойнойпредел. К сожалению, система обозначений несовершенна, поэтому в каждомконкретном случае нужно определяться, какой предел вы ищете: двойной илипо направлению.Очевидно, что двойной предел “сильнее” предела по направлению:Лемма 2.1.
Если существует двойной пределlim(x,y)→(x0 ,y0 )f (x, y) = t0 , топредел по любому направлению φ0 существует и равен t0 .Задача 2.1. Докажите лемму 2.1Из леммы получаем полезное утверждение, позволяющее доказывать отсутствие предела:Следствие 2.1. Если отсутствует предел по какому-либо направлению,или пределы по двум разным направлениям различны, то двойной предел несуществует.Замечание 2.2. Мы знаем (лемма 1.14.1), что существование предела вектор-функции равносильно существованию покоординатных пределов. Однако (это принципиальный момент!) существование и совпадение пределов повсем направлениям в общем случае не влечет за собой существование двойногопредела.
Различие ситуаций в том, что в первом случае область определенияодномерная, а во втором случае область определения многомерная. Рассмотрим на примерах описанные ситуации.Пример 2.1. Существует ли двойной предел функции f (x, y) = (x+y)2 /(x2 +y ) при (x, y) → (0, 0)? Воспользуемся полярными координатами:2(ρ cos φ + ρ sin φ)2fe(ρ, φ) = 2= (cos φ + sin φ)2 .ρ cos2 φ + ρ2 sin2 φПри φ = π/4 предел по направлению равен 2, при φ = −π/4 – равен 0. Следовательно, двойной предел отсутствует.Пример 2.2. Существует ли двойной предел функции f (x, y) = x2 y/(x4 +y 2 )при (x, y) → (0, 0)?fe(ρ, φ) =ρ4ρ2 cos2 φ sin φρ cos2 φ sin φ= 2.242cos φ + ρ sin φρ cos4 φ + sin2 φЕсли sin φ = 0, то числитель тождественно равен нулю.
Если sin φ ̸= 0, то прификсированном φ имеем ρ cos2 φ sin φ ρ cos2 φ| sin φ|ρ cos2 φ=→ 0 при ρ → 0.2 ρ2 cos4 φ + sin2 φ 6| sin φ|sin φСледовательно, предел функции по любому направлению равен нулю. Теперь будем приближаться к началу координат по параболе y = x2 . Посколькуf (x, x2 ) ≡ 1/2, то предел по параболе равен 1/2. Следовательно, двойной предел отсутствует.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР17Чтобы разобраться, почему так происходит, исследуем так называемые линии уровня функции f , т.е. множество всех решений уравнения с двумянеизвестными f (x, y) = c, где c = const – “уровень”. (Терминология навеяна географическими картами.) Построить линию уровня можно следующимобразом: пересечь график Gr(f ) горизонтальной плоскостью z = c и спроектировать полученное подмножество на плоскость (x, y).Примеры 2.3. 1) Линиями уровня x2 + y 2 = c квадратичной функции z =x + y 2 являются: при c < 0 – пустое множество, при c = 0 – точка, при√c > 0 – окружность радиуса c (рис.
2.5). 2) Линиями уровня x2 − y 2 = cквадратичной функции z = x2 − y 2 являются: при c ̸= 0 – гипербола, при c = 0– объединение двух пересекающихся прямых (рис. 2.6).2Поскольку |x2 y/(x4 + y 2 )| 6 1/2, параметр c ∈ [−1/2, 1/2]. Решая уравнениеx y/(x4 + y 2 ) = c относительно неизвестного y получаем√1 ± 1 − (2c)2 2y=x .2c2Следовательно, каждая линия уровня, кроме c ̸= 0 и c = ±1/2, представляетсобой две параболы: если c > 0 (< 0) – в верхней (нижней) полуплоскости.Линия уровня c = ±1/2 – одна парабола в верхней (нижней) полуплоскости.Линия уровня c = 0 – объединение осей координат {x = 0} ∪ {y = 0} (рис.
2.7)Поскольку линии уровня, отличные от c = 0, это параболы, которые касаютсяоси x, то любой луч, выходящий из начала координат (кроме осей координат),пересекает или все параболы выше оси x, или все параболы ниже оси x. Возьмем произвольный луч выше оси x: двигаясь по нему к началу координат избесконечности, мы сначала будем подниматься до уровня 1/2, а потом опускаться до нуля. Вот по этой причине предел по любому направлению равеннулю. Но при этом к началу координат подходят линии разных уровней, поэтому двойного предела нет. На графике функции f (x, y) = x2 y/(x4 + y 2 ) (рис.2.8, 2.9) видна “горная гряда” параболической формы, отвечающая максимальному уровню c = 1/2.
При стремлении по гряде к точке (0, 0, 1/2) ее ширинасужается до нуля, а в самой точке возникает “точечное ущелье” высотой 1/2 –функция терпит разрыв!Рис. 2.5Рис. 2.618Я. М. ДЫМАРСКИЙРис. 2.7Рис. 2.8Рис. 2.9Замечание 2.3. Попутно мы поняли, что если к точке (x0 , y0 ) на плоскости неограниченно приближаются линии разных уровней, в этой точке пределфункции отсутствует.Как гарантировать себя от ситуации, рассмотренной в примере 2.2? На этотвопрос отвечаетЛемма 2.2. (критерий существования двойного предела) Конечный двойной пределlimf (x, y) = t0 ∈ R существует тогда и т.т., когда суще(x,y)→(x0 ,y0 )ствует такая неотрицательная функция F (ρ), что|fe(ρ, φ) − t0 | 6 F (ρ), где F (ρ) → 0 при ρ → +0.Задача 2.2.
Докажите лемму 2.2.На практике поиск функции F (ρ) сводится к доказательству неравенства|fe(ρ, φ) − t0 | =: Fe(ρ, φ) 6 F (ρ), в правой части которого отсутствует φ.Пример 2.3. Существует ли двойной предел функции f (x, y) = x2 y/(x2 +y 2 )при (x, y) → (0, 0)? Справедлива оценка ρ3 cos2 φ sin φ e = ρ cos2 φ| sin φ| 6 ρ.|f (ρ, φ)| = 2ρ (cos2 φ + sin2 φ) Следовательно, предел существует и равен нулю. Заметим, из того, чтоlim (ρ cos2 φ| sin φ|) = 0, еще не следует, чтоlimf (x, y) = 0!ρ→+0(x,y)→(0,0)Рассмотрим случай высоких размерностей n > 3Определение 2.8. Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 ∈ Rn .
Пределом по направлению единичноговектора e (|e| = 1) называется предел функции одной переменной ρ:lim f (x0 + ρe). ρ→+0При n = 2 получим определение 2.7.Задача 2.3. Сформулируйте и докажите аналог леммы 2.1 об n-арном пределе и пределе по направлению.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР19Координаты вектора e = (e1 , ..., en ) определяют положение точки на единичной (n − 1)-мерной сфере. Хотя координат n, но независимых среди них(n − 1).
Для наших целей удобно ввести новую “криволинейную” систему из nкоординат, среди которых одна координата – полярный радиус ρ, а остальныеопределяют точку на единичной сфере. В трехмерном случае можно воспользоваться сферической системой координат: x = x0 + ρ cos θ cos φ,y = y0 + ρ cos θ sin φ,z = z0 + ρ sin θ,где θ ∈ [−π/2, π/2] – “географическая широта”, а φ ∈ [−π, π] – “долгота” (см.рис.
2.10).Рис. 2.10Рис. 2.11Рис. 2.12Замечание 2.4. Как и в случае полярных координат, между сферическимии декартовыми координатами отсутствует биекция.Задача 2.4. Выразите полярные координаты через декартовы (для простоты возьмите x0 = y0 = z0 = 0).Задача 2.5. Сформулируйте аналог леммы 2.2 для сферической системыкоординат.2.3. Предел по множеству и повторный предел. Предел по множеству является достаточно общей конструкцией, включающей в себя различныеслучаи вычисления пределов.Определение 2.9.
Пусть E ⊂ Def (f ) ⊂ Rn – подмножество области определения функции f . Пусть x0 – предельная точка подмножества E. Точкаy0 ∈ R (RP 1 ) называется пределом функции f по множеству E при x → x0 ,◦если ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε): ∀x ∈ U δ (x0 ) ∩ E ,→ f (x) ∈ Uε (y0 ). Обозначение:limx→x0 ,x∈Ef (x) = y0 . Примеры 2.4. пределов по множеству: 1) односторонние пределы функции одной переменной (E = (x0 , x0 + δ)); 2) предел по направлению функциинескольких переменных (E – интервал, выходящий из точки x0 ); 3) пределпо дуге кривой, выходящей из точки x0 (пример 2.2); 4) предел по областиопределения, которая не содержит целиком проколотую малую δ-окрестностьточки x0 (“дырчатая” окрестность).20Я.
М. ДЫМАРСКИЙПример 2.4. нахождения предела по нетривиальной области определения.Найти пределlimh(x, y) =lim|xy|xy . Хотя о множестве E ничего(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)не сказано, но область определения Def (h) = {x ̸= 0, y ̸= 0} такова, что влюбой проколотой окрестности точки (0, 0) найдутся точки, которые не принадлежат E := Def (h). Будем рассматривать данную функцию как сложную:f (x, y) = xy, g(u) = |u|u , h(x, y) = g(f (x, y)) = |xy|xy .Предел “внутренней” функции равен нулю, поскольку0 6 |xy| = ρ2 | cos φ sin φ| 6 ρ2 → 0 при ρ → +0.Причем f (x, y) ̸= 0 при (x, y) ∈ D(h).
Предел “внешней” функции lim |u|u = 1.u→0Доказательство основано на потенцировании и применении правила Лопиталя.Все условия теоремы 4.5 выполнены, поэтомуlim(x,y)→(0,0)|xy|xy =limg(f (x, y)) = 1.(x,y)→(0,0)Для функции нескольких переменных существует еще один способ переходак пределу функции одной переменной: он состоит в последовательном применении предельных переходов по каждой координате в отдельности.
Рассмотримдвумерный случай.Определение 2.10. Пусть дана функция двух переменных f (x, y), опреде◦ленная в некоторой проколотой прямоугольной окрестности Πε (x0 , y0 ) ⊂ Def (f )точки (x0 , y0 ). Пусть для каждого числа y, удовлетворяющего условию 0 < |y −y0 | < ε, существует конечный предел функции одной переменной lim f (x, y) =:x→x0φ(y). Тогдаlim φ(y) = lim lim f (x, y)y→y0y→y0 x→x0называется повторным пределом функции f в точке (x0 , y0 ).
Аналогичноопределяется повторный предел lim lim f (x, y). x→x0 y→y0Связи между повторными и двойным пределами не тривиальны. В общемслучае: 1) из существования повторных пределов не следует существованиедвойного, 2) повторный предел, в общем случае, зависит от его порядка; 3) изсуществования двойного предела не следует существование повторных. Рассмотрим два примера.Пример 2.5. f (x, y) = x2 y/(x4 + y 2 ).
Повторные пределы существуют и обаравны нулю. Двойной предел, как показано выше, отсутствует.Пример 2.6.{f (x, y) =(x + y) sin x1 cos y1 , xy ̸= 00,xy = 0Двойной предел существует и равен нулю. При фиксированном y отсутствует предел lim f (x, y), при фиксированном x отсутствует предел lim f (x, y).x→x0Значит, повторные пределы отсутствуют.y→y0ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР21Замечание 2.5. Интерес представляют как раз случаи, когда n-арный предел можно заменить “цепочкой” повторных. Мы познакомимся с такими конструкциями в теории интегрирования.Задача 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
