Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть: 1) в точке (x0 , y0 ) существует двойной предел функции◦f (x, y); 2) при каждом фиксированном y ∈ U ε существует предел lim f (x, y),x→x0◦3) при каждом фиксированном x ∈ U ε существует предел lim f (x, y). Докаy→y0жите, что при таких условиях оба повторных предела существуют и равныдвойному.2.4.
Отображение конечномерных пространств. Пространства Rn иV мы будем называть просто конечномерными, если нас не интересует конкретное значение размерности n.nОпределение 2.11. Пусть X ⊂ Rn . Мы говорим, что на X задано отображение конечномерных точечных пространств f : X → Rm , если каждойточке x ∈ X поставлена в соответствие единственная точка f (x) ∈ Rm .Справедлива очевиднаяЛемма 2.3. Задание отображения эквивалентно заданию m координатных функций от n переменных: y1 = f1 (x1 , ..., xn ),f : Rn ⊃ X → Rm ⇔...(2.1)ym = fm (x1 , ..., xn ).Частными случаями отображения точечных пространств являются:1) числовая функция одного переменного, т.е. n = m = 1;2) кривая, т.е.
n = 1, m > 2;3) числовая функция нескольких переменных, т.е. n > 2, m = 1. Числовую функцию нескольких переменных f : R2 , R3 ⊃ X → R в физике называют скалярным полем. Примерами скалярных полей являются температура,электростатический потенциал и др.Задача 2.7. Опишите область определения поля температур в следующихслучаях: 1) на поверхности земли в фиксированный момент времени, 2) наповерхности земли в течение дня.Аналогично определению 2.11 определяется отображение конечномерных векторных пространств.
Заметим, что в координатах оно имеет тот же вид (2.1).Понятие радиус-вектора позволяет переходить от отображений точечных пространств к отображениям векторных и наоборот. Оказывается, в математике ив физике интересен смешанный случай отображения f : Rn ⊃ X → Vn точечного пространства в векторное той же размерности; его называют векторнымполем.
Удобно представлять это отображение именно как “поле” – откладывать вектор-образ из точки-прообраза (рис. 2.11). Векторные поля являютсяосновным объектом исследования в теории обыкновенных дифференциальных22Я. М. ДЫМАРСКИЙуравнений. Примеры физических векторных полей: напряженность электростатического поля, поле скоростей течения жидкости или газа.Обсудим понятие предела для отображения точечных пространств (для векторных пространств определения и утверждения те же). Для простоты считаем, что область определения Def (f ) = X является областью в Rn .
Понятие окрестности позволяет без изменений сформулировать понятие пределаlim f (x) = y0 для отображения f .x→x0Определение 2.12. (по Коши) Точка y 0 ∈ Rm называется пределом отображения f при x → x0 , если◦∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀x ∈ U δ (x0 ) ,→ f (x) ∈ Uε (y 0 ). Определение 2.13. (по Гейне) Точка y 0 ∈ Rm называется пределом отображения f при x → x0 , если для любой последовательности Гейне xk → x0(k → ∞) справедливо: lim f (xk ) = y 0 . k→∞Для отображений общего вида, т.е. m > 2, остаются справедливыми те понятия и утверждения о пределах, которые не используют порядок на числовойпрямой в образе:1. теорема 4.1: эквивалентность двух определений пределов;2. теорема 4.3: критерий Коши существования предела;3. теорема 4.5: замена переменной под знаком предела, точнее, предел суперпозиции отображений: пусть◦f : Rn ⊃ U ε (x0 ) → Def (g) ⊂ Rm , g : Def (g) → Rp ;◦lim0 f (x) = y 0 ∧ f (x) ̸= y 0 при x ∈ U ε (x0 ),x→xlim g(y) = u0 ;y→y 0тогдаlim (g · f )(x) = u0 .x→x04.
предел по множеству (в частности, предел по направлению – определение(2.8)), повторные пределы.Задача 2.8. Докажите теорему о пределе суперпозиции отображений, применив определение 2.13 предела по Гейне.0)Лемма 2.4. (покоординатный критерий предела) Точка y 0 = (y10 , ..., ymявляется пределом отображения (2.1) при x → x0 тогда и т.т., когда длякаждой координатной функции fi (x) число yi0 является пределом при x → x0(i = 1, ..., m).Доказательство можно осуществить пользуясь определением предела поГейне: рассмотреть последовательность f (xk ), где xk → x0 при k → ∞, и сослаться на п.
2 леммы 1.8 (координатный критерий сходимости последовательности). Однако полезно увидеть геометрический смысл утверждения. С однойстороны, m-мерный шар радиуса ε вписан в m-мерный куб с ребром a = 2ε. Поэтому проекцией шара Uε (y 0 ) на i-ю координатную ось является ε-окрестностьЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР23числа yi0 .
Значит, |fi (x) − yi0 | 6 ρ(f (x), y 0 ), откуда вытекает необходимостьутверждения. С другой стороны, в силу m-мерной теоремы Пифагора, откры√тый m-мерный куб с ребром b = 2ε/ m вписан в шаровую ε-окрестности точкиy 0 (рис. 2.12):εεεε00(y10 − √ , y10 + √ ) × ... × (ym− √ , ym+ √ ) ⊂ Uε (y 0 ).mmmmОткуда следует достаточность утверждения. Заметим, что размерность пространства-образа находится в знаменателе, поэтому предельный переход приm → ∞ исключен. Наконец, аналогично лемме 2.1 формулируется и доказываетсяЛемма 2.5. (необходимое условие существования предела) Если существует предел lim0 f (x) = y 0 , то предел по любому направлению существует иx→xравен y 0 . В обратную сторону утверждение в общем случае неверно.Замечание 2.6. Возвращаясь к замечанию 2.2, еще раз подчеркнем, чтов пространстве-образе сходимость равносильна покоординатный сходимости(лемма 2.4), но в пространстве-прообразе сходимость является только достаточным условием покоординатной сходимости (лемма 2.5).Задача.
Докажите лемму 2.5.24Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 3. Непрерывность отображения конечномерных пространствВ этой лекции мы обсудим специфику понятия непрерывности отображений конечномерных пространств. Также мы исследуем понятие равномернойнепрерывности.3.1. Непрерывность отображения в точке.Определение 3.1. Отображение f : Rn ⊃ Def (f ) =: X → Rm называетсянепрерывным в точке x0 ∈ X, если:1. или x0 является изолированной точкой подмножества X;2. или x0 является предельной точкой подмножества X иlimx→x0 ,x∈Xf (x) = f (x0 ). Определение можно сформулировать на языке ε − δ по Коши или на языкепоследовательностей по Гейне как это сделано для понятия предела. Но теперь нужно пользоваться не проколотой, а обычной окрестностью точки x0 ,поскольку отображение в этой точке определено.Лемма 3.1.
(покоординатный критерий непрерывности в точке) Отображение f непрерывно в точке x0 тогда и т.т., когда каждая координатнаяфункция fi (x) (i = 1, ..., m) (см. (2.1)) непрерывна в точке x0 .Доказательство сразу следует из леммы 2.4.Понятие предела по направлению порождает понятие непрерывности по выделенной переменной.Определение 3.2. Отображение f называется непрерывным по переменной xi в точке x0 = (x01 , ..., x0i , ..., x0n ), если функция одной переменнойφ(xi ) := f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n )непрерывна в точке x0i .Терминология 3.1. Если точка x0 является внутренней для множества X,то непрерывность по определению 1 еще называют непрерывностью по совокупности переменных в точке x0 .Лемма 3.2.
(необходимое условие непрерывности) Если отображение f непрерывно по совокупности переменных в точке x0 , то оно непрерывно по каждой переменной в отдельности. В обратную сторону утверждение в общемслучае неверно.Доказательство необходимости очевидно. Для обоснования второго утверждения достаточно привести пример 2.2 функции, которая непрерывна по каждой переменной в точке (0, 0), но разрывна в этой точке поскольку в ней отсутствует предел.
Замечание 3.1. В пространстве-образе Rm непрерывность равносильна покоординатный непрерывности (лемма 3.1), в пространстве-прообразе Rn непрерывность является только достаточным условием покоординатной непрерывности (лемма 3.2). (Сравните с замечанием 2.6.)ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР25Если пространство-образ Vm векторное, то справедливаЛемма 3.3. (о непрерывности операций) Пусть даны два отображения f ,g с общей областью определения X ⊂ Rn , которые действуют в векторноепространство Vm . Пусть эти отображения непрерывны в точке x0 . Тогда:1.
их линейная комбинация αf + βg также непрерывна в точке x0 ;2. если m = 1 (т.е. даны числовые функции нескольких переменных),то произведение функций f (x)g(x) и их частное f (x)/g(x) (g(x0 ) ̸= 0!)непрерывны в точке x0 .Доказательство немедленно вытекает из утверждений об арифметическихдействиях с пределами.Задача 3.1. Пусть выполнены условия леммы 3.3; пусть α(x) и β(x) – числовые функции, которые непрерывны в точке x0 . Докажите, что отображениеx → α(x)f (x) + β(x)g(x) непрерывно в точке x0 .Аналогично случаю числовых функций числового аргумента формулируетсяи доказываетсяЛемма 3.4.
(о непрерывности в точке суперпозиции отображений) Еслиотображение f : Rn ⊃ Uε (x0 ) → Rm непрерывно в точке x0 , а отображениеg : Rm ⊃ Uδ (y 0 ) → Rp непрерывно в точке y 0 = f (x0 ), то суперпозиция отображений h = g · f , заведомо определенная в некоторой окрестности точки x0 ,непрерывна в этой точке.3.2.
Непрерывность отображения на множестве.Определение 3.3. Отображение f : Rn ⊃ X → Rm называется непрерывным на X, если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X. Ниже даются пять базовых утверждения, которые справедливы для отображений пространств произвольной размерности.Теорема 3.1. (о непрерывности операций на подмножестве) Пусть даны два отображения f , g с общей областью определения X ⊂ Rn , которыедействуют в векторное пространство Vm .
Пусть эти отображения непрерывны на X. Тогда:1. их линейная комбинация αf + βg также непрерывна на X;2. если m = 1 (т.е. даны числовые функции нескольких переменных), топроизведение функций f (x)g(x) непрерывно на X, и при дополнительном условии ∀x ∈ X ,→ g(x) ̸= 0 их частное f (x)/g(x) также непрерывно на X.Доказательство немедленно следует из леммы 3.3.Теорема 3.2.
(о непрерывности на подмножестве суперпозиции отображений) Если отображение f : Rn ⊃ X → Rm непрерывно на подмножестве X, отображение g : Rm ⊃ Y → Rp непрерывно на подмножестве Y , иf (X) ⊂ Y , то суперпозиция отображений h = g · f : X → Rp непрерывна наX.26Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
