Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 2 семестр

Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 2

Файл №1187969 Лекции Дымарский 2 семестр (Лекции Дымарский 2 семестр) 2 страницаЛекции Дымарский 2 семестр (1187969) страница 22020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

М. ДЫМАРСКИЙОпределение 1.6. Подмножество X ⊂ Rn называется1. открытым, если все его точки внутренние;2. замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.Понятия открытых и замкнутых подмножеств являются исходными средивсех остальных типов подмножеств. Тому причинойЛемма 1.4. (о фундаментальных свойствах открытых и замкнутых подмножеств)1. Дополнение к открытому (замкнутому) подмножеству замкнуто (открыто).2. Пустое подмножество ∅ и все пространство Rn одновременно открыты и замкнуты.3.

Произвольное объединение (пересечение) открытых (замкнутых) подмножеств открыто (замкнуто).4. Любое конечное пересечение (объединение) открытых (замкнутых) подмножеств открыто (замкнуто).Задача 1.5. Докажите лемму 1.4.Примеры 1.1. открытых и замкнутых подмножеств.1. Открытый n-мерный шар и открытый прямоугольный параллелепипедявляются открытыми подмножествами. (Докажите, опираясь на неравенство треугольника.)2.

Замкнутый n-мерный шар радиуса ε > 0 с центром в точке x0 этоU ε (x0 ) = {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) 6 ε} = Uε (x0 ) ∪ S n−1 (x0 ).Замкнутый прямоугольный параллелепипед этоΠn := [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ⊂ Rn .Замкнутый шар и замкнутый прямоугольный параллелепипед – замкнутые подмножества (докажите).Замечание 1.3. Все понятия, которые мы вводим в данном пункте, опираются только на понятие открытого шара.

Оказывается, взяв утверждениялеммы 1.4 в качестве аксиом открытых множеств, можно построить разделматематики, именуемый топологией.Изучая данное множество X, прежде всего нужно выяснить, насколько оно“отличается” от открытого и замкнутого. С этой целью дадимОпределение 1.7. (типов подмножеств, порожденных X)1. Внутренностью множества X называется подмножество X 0 ⊂ X всехего внутренних точек.2. Границей ∂X множества X называется совокупность всех его граничных точек.3. Замыканием множества X называется объединение X = X ∪ ∂X множества с его границей.

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР7Замечание 1.4. Введенные понятия зависят не только от множества X,но и от объемлющего пространства. Рассмотрим подмножество Qx всех рациональных чисел на оси x в двумерном пространстве R2 . Между Q ⊂ Rи Qx ⊂ R2 существует каноническая биекция Q ∼= Qx , сохраняющая расстояния между точками.

Указанная биекция “продолжается” и на границы:∂Qx = Rx ∼= R = ∂Q. Но если взять границу еще раз, то биективность несохраняется:R2 ⊃ ∂(∂Qx ) = ∂Rx = Rx ̸= ∅, но R ⊃ ∂(∂Q) = ∂R = ∅.Обсуждение 1.2. Исследуя свойства точек по отношению к подмножествуX, во-первых, полезно работать одновременно с X и с его дополнением X C .Во-вторых, удобно применять классификацию множества X, т.е. его разбиение на попарно непересекающиеся подмножества.Обсудим одну из возможных классификаций. Обозначим через Is(X) – подмножество всех изолированных точек. Через Lm(X) ⊂ X обозначим множество всех граничных точек из X, которые не являются изолированными.Последние будем называть межевыми (от англ. landmark).Задача 1.6.

Найдите внутренность, замыкание, все межевые точки и границу множеств X и X C из задачи 1.3.Лемма 1.5. (классификация множества X) Произвольное множество Xсостоит из внутренних, изолированных и межевых точек, причем указанныеподмножества попарно не пересекаются:X 0 ∩ Is(X) = X 0 ∩ Lm(X) = Is(X) ∩ Lm(X) = ∅, X = X 0 ∪ Is(X) ∪ Lm(X).Задача 1.7. Докажите лемму 1.5.Теперь у нас естьЛемма 1.6. Полная классификация точек пространства относительно подмножества X:∪∪Rn = XX C = (X 0 ∪ Is(X) ∪ Lm(X)) ((X C )0 ∪ Is(X C ) ∪ Lm(X C )). (1.2)Граница множества X и его дополнения X C совпадают и в общем случаесодержит как точки из X, так и точки из дополнения X C :∂X = Is(X) ∪ Lm(X) ∪ Lm(X C ) ∪ Is(X C ) = ∂(X C ).Классификации (1.2) и (1.3) изображены на схемеIs(X)Lm(X)Rn = X 0(X C )0Lm(X C )Is(X C )Задача 1.8.

Докажите лемму 1.6.(1.3)8Я. М. ДЫМАРСКИЙВ заключение пункта ответим на вопрос, как данное множество отличаетсяот открытого и замкнутого.Лемма 1.7. (свойства подмножеств, порожденных X)1.( a) Внутренность X 0 множества X есть наибольшее открытое подмножество, содержащееся в X. Т.е.: 1) X 0 ⊂ Rn – открытоеподмножество, 2) X 0 ⊂ X, 3) для любого открытого подмножества X0 ⊂ X верно, что X0 ⊂ X 0 .( b) Множество открыто тогда и т.т., когда оно совпадает со своейвнутренностью.( c) (X 0 )0 = X 0 .2.( a) Замыкание X множества X есть наименьшее замкнутое множество, содержащее X. Т.е.: 1) X ⊂ Rn – замкнутое подмножество,e ⊃ X верно,2) X ⊂ X, 3) для любого замкнутого подмножества Xeчто X ⊂ X.( b) Множество замкнуто тогда и т.т., когда оно совпадает со своимзамыканием.( c) X = X.3.( a) Границы множества X и его дополнения X C совпадают: ∂X =∂X C .( b) Граница есть замыкание минус внутренность: ∂X = X \ X 0 .( c) ∂(∂X) ⊂ ∂X, ∂(∂(∂X)) = ∂(∂X).Замечание 1.5.

Операции внутренности и замыкания стабилизируются напервом шаге, а граница в общем случае стабилизируется на втором шаге.Пример 1.1. ∂(Uε (x0 )) = S n−1 (x0 ), ∂S n−1 (x0 ) = S n−1 (x0 ). Но, как былопоказано выше, на числовой прямой ∂Q = R, а ∂R = ∅.Задача 1.9. Докажите лемму 1.7. Указания: 1) примените классификации(1.2) и (1.3), 2) граница ∂X может содержать внутренние точки, которые невойдут во множество ∂(∂X).1.3. Предел последовательности точек в Rn . Здесь мы построим теорию пределов последовательностей в многомерном пространстве, аналогичнуютеории пределов числовых последовательностей.Определение 1.8.

Последовательностью точек в Rn называется отображение из множества натуральных чисел N в пространство Rn . Определение 1.9. Точка x0 = (x01 , ..., x0n ) ∈ Rn называется пределом последовательности {xk = (xk1 , ..., xkn )}, если lim ρ(xk , x0 ) = 0. Последовательk→∞ность, имеющая предел, называется сходящейся. Замечание 1.6. Предел последовательности в Rn можно определить наязыке “ε−k”, но мы свели его к старому понятию – пределу числовой последоnвательности {ρ(xk , x0 )}∞k=1 . В R мы не будем вводить аналогов бесконечностей1±∞ ∈ R, ∞ ∈ RP , т.е. предел в Rn всегда конечен.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР9Лемма 1.8.

(критерии сходимости) Последовательность сходится к точке x0 тогда и т.т., когда:1. геометрический критерий: в любой окрестности точки x0 содержатсяпочти все элементы последовательности, кроме конечного их количества;2. координатный критерий: ∀i = 1, ..., n ,→ lim xki = x0i .k→∞Доказательство п. 2. ⇒ очевидно, поскольку |xki − x0i | 6 ρ(xki , x0i ) → 0.⇐ Для каждой координаты i = 1, ..., n существует номер Ki такой, что ∀k >√Ki выполняется оценка |xki − x0i | < ε/ n. Следовательно, эта оценка верна∀k > K = maxi {Ki }. Поэтому ∀k > K = maxi {Ki } справедливо неравенствоρ(xk , x0 ) < ε. (В доказательстве принципиально, что количество координатконечно.) Определение 1.10. Последовательность xk называется фундаментальной,если∀ε > 0 ∃k0 = k0 (ε) ∈ N : ∀k > k0 ∀m ∈ N ,→ ρ(xk , xk+m ) < ε.

Теорема 1.1. (критерий Коши сходимости последовательности) Последовательность {xk } ⊂ Rn сходится тогда и т.т., когда она фундаментальна.Доказательство. Последовательность в многомерном пространстве сходится тогда и т.т., когда сходятся координатные последовательности (п. 2 леммы1.8). Каждая координатная последовательность сходится тогда и т.т., когдаона фундаментальна (критерий Коши для числовой последовательности). Наконец, последовательность в многомерном пространстве фундаментальна тогдаи т.т., когда фундаментальна каждая координатная последовательность (доказательство осуществляется так же, как доказательство координатного критерия сходимости – докажите). 1.4.

Ограниченные и компактные подмножества.Определение 1.11.1. Подмножество X ⊂ Rn называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре;2. последовательность называется ограниченной, если ограничено множество ее значений. Лемма 1.9. (необходимое условие сходимости) Если последовательностьсходится, то она ограничена.Задача 1.10. . Докажите лемму 1.9.Определение 1.12.

Подмножество X ⊂ Rn называется компактным еслионо ограничено и замкнуто. Ценность компактности раскрываетТеорема 1.2. Следующие два условия равносильны компактности:1. X секвенциально компактно, т.е. из любой последовательности{xk } ⊂ X можно выбрать подпоследовательность {xki }, которая схоi→∞дится в X: xki → x0 ∈ X.10Я. М. ДЫМАРСКИЙ2.

Из любого открытого покрытия X можно выбрать конечное подпокрытие. Точнее: пусть множество X ⊂ ∪α Oα принадлежит произвольному объединению открытых подмножеств Oα ; тогда существует конечное объединение подмножеств ∪pi=1 Oαi ⊃ X, содержащее X.Обсуждение 1.3. Понятие секвенциальной компактности применяется вфункциональном анализе, дифференциальных уравнениях и уравнениях математической физики для доказательства существования решений бесконечномерных уравнений: строят последовательность приближенных решений, азатем доказывают существование предельной точки. В геометрии и топологиивторой критерий компактности применяют для получения глобальных объектов с заранее заданными свойствами: сначала доказывают локальное существование объекта в произвольной точке множества, после чего “склеивают” объектиз конечного количества окрестностей.

Заметим, что в топологии и функциональном анализе второй критерий берут в качестве определения. Данное намиопределение компактности удобно только в конечномерном пространстве, но вдругих случаях оно не работает.Доказательство. Ограничимся доказательством равносильности определения 1.11 и секвенциальной компактности.⇒ Пусть последовательность {xk } ⊂ X. Поскольку множество X ограниченное, то и последовательность ограниченная (определение 1.11). Нам предстоит доказать теорему Больцано-Вейерштрасса в Rn : существует сходящаясяподпоследовательность {xki } (k1 < k2 < . .

. < ki < . . . , N ∋ i → ∞). Поскольку последовательность ограничена, то каждая координатная последовательность {xkj } (j = 1, ..., n) тем более ограничена. Возьмем первую координатнуюпоследовательность. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса, из нее выберемсходящуюся подпоследовательность с номерами k1 , k2 , .... Теперь оставляемво второй координатной последовательности подпоследовательность именно сэтими номерами: xk21 , xk22 , . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,24 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее