Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 2
Текст из файла (страница 2)
М. ДЫМАРСКИЙОпределение 1.6. Подмножество X ⊂ Rn называется1. открытым, если все его точки внутренние;2. замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.Понятия открытых и замкнутых подмножеств являются исходными средивсех остальных типов подмножеств. Тому причинойЛемма 1.4. (о фундаментальных свойствах открытых и замкнутых подмножеств)1. Дополнение к открытому (замкнутому) подмножеству замкнуто (открыто).2. Пустое подмножество ∅ и все пространство Rn одновременно открыты и замкнуты.3.
Произвольное объединение (пересечение) открытых (замкнутых) подмножеств открыто (замкнуто).4. Любое конечное пересечение (объединение) открытых (замкнутых) подмножеств открыто (замкнуто).Задача 1.5. Докажите лемму 1.4.Примеры 1.1. открытых и замкнутых подмножеств.1. Открытый n-мерный шар и открытый прямоугольный параллелепипедявляются открытыми подмножествами. (Докажите, опираясь на неравенство треугольника.)2.
Замкнутый n-мерный шар радиуса ε > 0 с центром в точке x0 этоU ε (x0 ) = {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) 6 ε} = Uε (x0 ) ∪ S n−1 (x0 ).Замкнутый прямоугольный параллелепипед этоΠn := [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ⊂ Rn .Замкнутый шар и замкнутый прямоугольный параллелепипед – замкнутые подмножества (докажите).Замечание 1.3. Все понятия, которые мы вводим в данном пункте, опираются только на понятие открытого шара.
Оказывается, взяв утверждениялеммы 1.4 в качестве аксиом открытых множеств, можно построить разделматематики, именуемый топологией.Изучая данное множество X, прежде всего нужно выяснить, насколько оно“отличается” от открытого и замкнутого. С этой целью дадимОпределение 1.7. (типов подмножеств, порожденных X)1. Внутренностью множества X называется подмножество X 0 ⊂ X всехего внутренних точек.2. Границей ∂X множества X называется совокупность всех его граничных точек.3. Замыканием множества X называется объединение X = X ∪ ∂X множества с его границей.
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР7Замечание 1.4. Введенные понятия зависят не только от множества X,но и от объемлющего пространства. Рассмотрим подмножество Qx всех рациональных чисел на оси x в двумерном пространстве R2 . Между Q ⊂ Rи Qx ⊂ R2 существует каноническая биекция Q ∼= Qx , сохраняющая расстояния между точками.
Указанная биекция “продолжается” и на границы:∂Qx = Rx ∼= R = ∂Q. Но если взять границу еще раз, то биективность несохраняется:R2 ⊃ ∂(∂Qx ) = ∂Rx = Rx ̸= ∅, но R ⊃ ∂(∂Q) = ∂R = ∅.Обсуждение 1.2. Исследуя свойства точек по отношению к подмножествуX, во-первых, полезно работать одновременно с X и с его дополнением X C .Во-вторых, удобно применять классификацию множества X, т.е. его разбиение на попарно непересекающиеся подмножества.Обсудим одну из возможных классификаций. Обозначим через Is(X) – подмножество всех изолированных точек. Через Lm(X) ⊂ X обозначим множество всех граничных точек из X, которые не являются изолированными.Последние будем называть межевыми (от англ. landmark).Задача 1.6.
Найдите внутренность, замыкание, все межевые точки и границу множеств X и X C из задачи 1.3.Лемма 1.5. (классификация множества X) Произвольное множество Xсостоит из внутренних, изолированных и межевых точек, причем указанныеподмножества попарно не пересекаются:X 0 ∩ Is(X) = X 0 ∩ Lm(X) = Is(X) ∩ Lm(X) = ∅, X = X 0 ∪ Is(X) ∪ Lm(X).Задача 1.7. Докажите лемму 1.5.Теперь у нас естьЛемма 1.6. Полная классификация точек пространства относительно подмножества X:∪∪Rn = XX C = (X 0 ∪ Is(X) ∪ Lm(X)) ((X C )0 ∪ Is(X C ) ∪ Lm(X C )). (1.2)Граница множества X и его дополнения X C совпадают и в общем случаесодержит как точки из X, так и точки из дополнения X C :∂X = Is(X) ∪ Lm(X) ∪ Lm(X C ) ∪ Is(X C ) = ∂(X C ).Классификации (1.2) и (1.3) изображены на схемеIs(X)Lm(X)Rn = X 0(X C )0Lm(X C )Is(X C )Задача 1.8.
Докажите лемму 1.6.(1.3)8Я. М. ДЫМАРСКИЙВ заключение пункта ответим на вопрос, как данное множество отличаетсяот открытого и замкнутого.Лемма 1.7. (свойства подмножеств, порожденных X)1.( a) Внутренность X 0 множества X есть наибольшее открытое подмножество, содержащееся в X. Т.е.: 1) X 0 ⊂ Rn – открытоеподмножество, 2) X 0 ⊂ X, 3) для любого открытого подмножества X0 ⊂ X верно, что X0 ⊂ X 0 .( b) Множество открыто тогда и т.т., когда оно совпадает со своейвнутренностью.( c) (X 0 )0 = X 0 .2.( a) Замыкание X множества X есть наименьшее замкнутое множество, содержащее X. Т.е.: 1) X ⊂ Rn – замкнутое подмножество,e ⊃ X верно,2) X ⊂ X, 3) для любого замкнутого подмножества Xeчто X ⊂ X.( b) Множество замкнуто тогда и т.т., когда оно совпадает со своимзамыканием.( c) X = X.3.( a) Границы множества X и его дополнения X C совпадают: ∂X =∂X C .( b) Граница есть замыкание минус внутренность: ∂X = X \ X 0 .( c) ∂(∂X) ⊂ ∂X, ∂(∂(∂X)) = ∂(∂X).Замечание 1.5.
Операции внутренности и замыкания стабилизируются напервом шаге, а граница в общем случае стабилизируется на втором шаге.Пример 1.1. ∂(Uε (x0 )) = S n−1 (x0 ), ∂S n−1 (x0 ) = S n−1 (x0 ). Но, как былопоказано выше, на числовой прямой ∂Q = R, а ∂R = ∅.Задача 1.9. Докажите лемму 1.7. Указания: 1) примените классификации(1.2) и (1.3), 2) граница ∂X может содержать внутренние точки, которые невойдут во множество ∂(∂X).1.3. Предел последовательности точек в Rn . Здесь мы построим теорию пределов последовательностей в многомерном пространстве, аналогичнуютеории пределов числовых последовательностей.Определение 1.8.
Последовательностью точек в Rn называется отображение из множества натуральных чисел N в пространство Rn . Определение 1.9. Точка x0 = (x01 , ..., x0n ) ∈ Rn называется пределом последовательности {xk = (xk1 , ..., xkn )}, если lim ρ(xk , x0 ) = 0. Последовательk→∞ность, имеющая предел, называется сходящейся. Замечание 1.6. Предел последовательности в Rn можно определить наязыке “ε−k”, но мы свели его к старому понятию – пределу числовой последоnвательности {ρ(xk , x0 )}∞k=1 . В R мы не будем вводить аналогов бесконечностей1±∞ ∈ R, ∞ ∈ RP , т.е. предел в Rn всегда конечен.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР9Лемма 1.8.
(критерии сходимости) Последовательность сходится к точке x0 тогда и т.т., когда:1. геометрический критерий: в любой окрестности точки x0 содержатсяпочти все элементы последовательности, кроме конечного их количества;2. координатный критерий: ∀i = 1, ..., n ,→ lim xki = x0i .k→∞Доказательство п. 2. ⇒ очевидно, поскольку |xki − x0i | 6 ρ(xki , x0i ) → 0.⇐ Для каждой координаты i = 1, ..., n существует номер Ki такой, что ∀k >√Ki выполняется оценка |xki − x0i | < ε/ n. Следовательно, эта оценка верна∀k > K = maxi {Ki }. Поэтому ∀k > K = maxi {Ki } справедливо неравенствоρ(xk , x0 ) < ε. (В доказательстве принципиально, что количество координатконечно.) Определение 1.10. Последовательность xk называется фундаментальной,если∀ε > 0 ∃k0 = k0 (ε) ∈ N : ∀k > k0 ∀m ∈ N ,→ ρ(xk , xk+m ) < ε.
Теорема 1.1. (критерий Коши сходимости последовательности) Последовательность {xk } ⊂ Rn сходится тогда и т.т., когда она фундаментальна.Доказательство. Последовательность в многомерном пространстве сходится тогда и т.т., когда сходятся координатные последовательности (п. 2 леммы1.8). Каждая координатная последовательность сходится тогда и т.т., когдаона фундаментальна (критерий Коши для числовой последовательности). Наконец, последовательность в многомерном пространстве фундаментальна тогдаи т.т., когда фундаментальна каждая координатная последовательность (доказательство осуществляется так же, как доказательство координатного критерия сходимости – докажите). 1.4.
Ограниченные и компактные подмножества.Определение 1.11.1. Подмножество X ⊂ Rn называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре;2. последовательность называется ограниченной, если ограничено множество ее значений. Лемма 1.9. (необходимое условие сходимости) Если последовательностьсходится, то она ограничена.Задача 1.10. . Докажите лемму 1.9.Определение 1.12.
Подмножество X ⊂ Rn называется компактным еслионо ограничено и замкнуто. Ценность компактности раскрываетТеорема 1.2. Следующие два условия равносильны компактности:1. X секвенциально компактно, т.е. из любой последовательности{xk } ⊂ X можно выбрать подпоследовательность {xki }, которая схоi→∞дится в X: xki → x0 ∈ X.10Я. М. ДЫМАРСКИЙ2.
Из любого открытого покрытия X можно выбрать конечное подпокрытие. Точнее: пусть множество X ⊂ ∪α Oα принадлежит произвольному объединению открытых подмножеств Oα ; тогда существует конечное объединение подмножеств ∪pi=1 Oαi ⊃ X, содержащее X.Обсуждение 1.3. Понятие секвенциальной компактности применяется вфункциональном анализе, дифференциальных уравнениях и уравнениях математической физики для доказательства существования решений бесконечномерных уравнений: строят последовательность приближенных решений, азатем доказывают существование предельной точки. В геометрии и топологиивторой критерий компактности применяют для получения глобальных объектов с заранее заданными свойствами: сначала доказывают локальное существование объекта в произвольной точке множества, после чего “склеивают” объектиз конечного количества окрестностей.
Заметим, что в топологии и функциональном анализе второй критерий берут в качестве определения. Данное намиопределение компактности удобно только в конечномерном пространстве, но вдругих случаях оно не работает.Доказательство. Ограничимся доказательством равносильности определения 1.11 и секвенциальной компактности.⇒ Пусть последовательность {xk } ⊂ X. Поскольку множество X ограниченное, то и последовательность ограниченная (определение 1.11). Нам предстоит доказать теорему Больцано-Вейерштрасса в Rn : существует сходящаясяподпоследовательность {xki } (k1 < k2 < . .
. < ki < . . . , N ∋ i → ∞). Поскольку последовательность ограничена, то каждая координатная последовательность {xkj } (j = 1, ..., n) тем более ограничена. Возьмем первую координатнуюпоследовательность. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса, из нее выберемсходящуюся подпоследовательность с номерами k1 , k2 , .... Теперь оставляемво второй координатной последовательности подпоследовательность именно сэтими номерами: xk21 , xk22 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
