Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 7
Текст из файла (страница 7)
m→∞Следствие 3.2. Функция f одной переменной, непрерывная на отрезке [a, b],РН на нем.Следующая теорема связывает РН с операциями в образе.Теорема 3.9. Пусть функции f и g РН на множестве X. Тогда:1. их линейная комбинация αf + βg также РН на X;2. если дополнительно функции ограничены на X, то их произведение f gтакже РН на X.Задача 3.5. Докажите теорему 3.9.Замечание 3.4. Если в утверждении п.
2 теоремы 3.9 отказаться от ограниченности хотя бы одного сомножителя, теорема перестает быть верной. ЧтоподтверждаетПример 3.1. Функции f (x) = x и g(x) = sin x РН непрерывны на R. Однакоих произведение f (x)g(x) = x sin x НЕ является РН на R (рис. 3.6).Задача 3.6. Докажите, что функция x sin x не является РН на [0, +∞).Для функций одной переменной получены “тонкие” результаты о РН. Докажем некоторые из них.Теорема 3.10. (критерий РН на конечном интервале) Функция, непрерывная на конечном интервале (a, b), РН на нем тогда и т.т., когда существуют конечные односторонние пределы f (a + 0), f (b − 0) ∈ R.Доказательство. ⇐ Доопределим функцию в концах интервала:f (a) := f (a + 0), f (b) := f (b − 0).Получили функцию, непрерывную на отрезке.
Из теоремы Кантора следует,что она РН на [a, b]. Следовательно, f РН на (a, b)ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР31⇒ Если для функции f выполнено условие РН на всем интервале (a, b), тооно тем более выполнено в правой полуокрестности точки a:∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀x, x̂ ∈ (a, a + δ) ,→ |f (x) − f (x̂)| < ε.Но это есть условие (критерий) Коши существования конечного предела:lim f (x) = f (a + 0). Аналогично с точкой b.
x→a+0Для бесконечного интервала имеют место только достаточные условия РН.Например, такое:Теорема 3.11. (достаточное условие РН на луче) Если функция f непрерывна на луче [a, +∞) и имеет конечный предел f (+∞) ∈ R, то она РН на[a, +∞).Доказательство. Идея доказательства в том, что значения функции f (x)попадают в малую окрестность числа f (+∞) для всех “далеких” значений x, адля “близких” значений аргумента работает теорема Кантора.Возьмем произвольное ε > 0 и найдем по нему δ > 0, подходящее под определение (3.2). Во-первых, из критерия Коши существования конечного пределаследует, что∀ε > 0 ∃∆ > 0 : ∀x, x̂ > ∆ ,→ |f (x) − f (x̂)| <ε.2(3.4)Во-вторых, по Кантору, на отрезке [a, ∆] функция РН, поэтому∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x, x̂ ∈ [a, ∆] ∧ |x − x̂| < δ ,→ |f (x) − f (x̂)| <ε.2(3.5)Теперь покажем, что число δ искомое, т.е.∀x, x̂ ∈ [a, +∞) ∧ |x − x̂| < δ ,→ |f (x) − f (x̂)| < ε.(3.6)Возможны три случая.
Если x, x̂ ∈ [a, ∆], то (3.6) следует из (3.5). Еслиx, x̂ ∈ [∆, +∞], то (3.6) следует из (3.4). Наконец, если x ∈ [a, ∆], x̂ ∈ [∆, +∞],тоε ε|f (x) − f (x̂)| 6 |f (x) − f (∆)| + |f (∆) − f (x̂)| < + = ε. 2 2Теорема 3.12. (о стыковке области определения) Если функция f является РН на промежутках ⟨a, b] и [b, c⟩, то она РН на ⟨a, c⟩.Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.11.Задачи 3.1.1.
Докажите теорему 3.12.2. С помощью теорем 3.11 и 3.12 докажите РН функций из примеров 3.2пп. 3 и 5.3. Приведите пример функции, которая РН на промежутках [a, b] и (b, ] вотдельности, но не является РН на их объединении [a, c].4. Докажите, что непрерывная периодическая функция, определенная навсей числовой оси, является РН (см. пример 3.2 (2)).Производная является мощным инструментом исследования равномернойнепрерывности.32Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 3.13. (достаточное условие РН через производную) Если функция f непрерывна на промежутке и имеет равномерно ограниченную производную внутри него, то она РН на этом промежутке.Доказательство.
Пусть существует такое M.0, что для любого x из внутренности промежутка верно неравенство |f ′ (x)| < M . Тогда из теоремы Лагранжао среднем для любых x, x̂ из промежутка справедливо|f (x) − f (x̂)| 6 M |x − x̂|.Следовательно, по ε > 0 нужно брать δ = ε/M , чтобы удовлетворить условию(3.2). Задача 3.7. Докажите РН функции из примера 3.2 (4).Теорема 3.14. (достаточное условие отсутствия РН на луче через производную) Если функция f непрерывна на луче [a, +∞), дифференцируемана нем и lim f ′ (x) = +∞, то f не является РН на [a, +∞).x→+∞Доказательство.
Возьмем ε = 1. Берем произвольное (малое) число δ > 0.Поскольку lim f ′ (x) = +∞, существует такое ∆, что для всех x > ∆ выполx→+∞няется f ′ (x) > 2/δ. Теперь возьмем два числа: произвольное число x > ∆ иx̂ = x + δ/2. Выполняется условие |x − x̂| = δ/2 < δ. Для этих значений аргумента справедлива (теорема Лагранжа о среднем!) оценка снизу для функции:f (x̂) − f (x) = f ′ (ξ)(x̂ − x) >2δ= 1. δ2Задача 3.8.
Докажите отсутствие РН функции из контрпримера 3.3(3).33ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР§ 4. Производная отображения конечномерных пространствВ этой лекции мы изучим понятие дифференцируемости для функций многих переменных и отображений конечномерных пространств. Мы будем использовать возможности векторного пространства: алгебраические операции,модуль вектора, угол между векторами, в частности, понятие ортогональности.4.1. Основные определения и понятия. Пусть функция f определена внекоторой окрестности Uδ (x0 ) ⊂ Rn точки x0 . Пусть x ∈ Uδ (x0 ) – произвольная−−−−→точка, принадлежащая δ-окрестности; разность точек ∆x := x − x0 мы называем приращением аргумента в т.
x0 . Если же точка x ∈ Rn произвольная,то разность−−−−→dx := x − x0 = (x1 − x01 , . . . , xn − x0n )T ∈ Vnмы называем дифференциалом аргумента.Определение 4.1. (дифференцируемости)1. Функция называется дифференцируемой в точке x0 , если существуеттакая матрица-строка A = (1 × n) = (a1 , ..., an ), чтоf (x) = f (x0 ) + A · ∆x + o(|∆x|) =f (x0 ) + a1 (x1 − x01 ) + . . . + an (xn − x0n ) + o(|∆x|) при x → x0 ,где o(|∆x|) – некоторая функция φ(∆x), для которойlim φ(∆x)∆x→0 |∆x|(4.1)= 0.2. Матрица-строка A = (a1 , ..., an ) называется производной функции f вточке x0 .3.
Вектор gradf (x0 ) := (a1 , ..., an )T называется градиентом функции f вточке x0 .4. Дифференциалом функции f в точке x0 называется функция, которая линейна относительно дифференциала аргумента dx, т.е. линейныйфункционалdf (x0 ) : Vn → R, df (x0 , dx) := A · dx = a1 (x1 − x01 ) + . . . + an (xn − x0n ). ОчевиднаЛемма 4.1. (геометрическая интерпретация производной) Представление(4.1) функции и ее дифференциал можно записать, используя градиент и скалярное произведение:f (x) = f (x0 ) + (gradf (x0 ), ∆x) + o(|∆x|) при x → x0 ,df (x0 , dx) = (gradf (x0 ), dx).(4.2)Обсуждение 4.1.
При n = 1 данное определение совпадает с определением 1.9.2 производной и определением 1.9.4 дифференциала функции однойпеременной. Воспользоваться определением 1.9.1 производной невозможно, поскольку нет операции деления на вектор. Заметим, что функция f определенана подмножестве точечного пространства Rn , а дифференциал df (x0 ) –34Я. М. ДЫМАРСКИЙна всем векторном пространстве Vn . Если функция f дифференцируемана некоторой области X ⊂ Rn , то дифференциал мы понимаем как функциюdf : X × Vn → R, df (x, dx) = A(x) · dx,которая линейна по второму аргументу.Теорема 4.1. (единственность производной) Если производная существует, то она единственна.Доказательство.
В противном случае существует вектор b, для которогоf (x) = f (x0 ) + (b, ∆x) + o(|∆x|) при x → x0 .Сравнивая оба представления функции f , получаем что для любых ∆x таких,что |∆x| < δ верно: (b − gradf (x0 ), ∆x) = o(|∆x|). Возьмем специальноеприращение аргумента ∆x = t(b − gradf (x0 )), где 0 < t < δ/|a − gradf (x0 )|, иподелим обе части равенства на t.
Получим:|b − gradf (x0 )|2 =t|b − gradf (x0 )| ≡o(t|b − gradf (x0 )|)⇔to(t|b − gradf (x0 )|)→ 0 при t → 0.t|b − gradf (x0 )|Значит, |b − gradf (x0 )| = 0 ⇔ b = gradf (x0 ). Следствие 4.1. (аналитический смысл дифференциала) Дифференциал –единственная функция, линейная относительно приращения аргумента, которая отличается от приращения данной функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем приращение аргумента:∆f (x0 ) := f (x) − f (x0 ) = df (x0 ) + o(|∆x|).(4.3)Доказательство. Равенство (4.3) следует из определения 4.1. Единственность дифференциала – из теоремы 4.1.Условие дифференцируемости сильнее, чем непрерывность:Лемма 4.2.
(первое необходимое условие дифференцируемости) Если функция f дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.Доказательство немедленно следует из определения 4.1 дифференциала иформулы приращения (4.3):ρ(f (x), f (x0 )) = |(gradf (x0 ), ∆x) + o(|∆x|)| 6|gradf (x0 )| · |∆x| + |o(|∆x|)| → 0 при x → x0 ⇒ lim0 f (x) = f (x0 ).
x→xЗамечание 4.1. Из непрерывности в общем случае не следует дифференцируемость (достаточно вспомнить функцию f (x) = |x| в точке x0 = 0).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР354.2. Производная по направлению и частные производные. Сейчасмы дадим аналоги определения 1.9.1 для функции нескольких переменных.Пусть e – произвольный единичный (|e| = 1) вектор.Определение 4.2. Производной функции f в точке x0 по направлениюe называется предел∂f 0f (x0 + te) − f (x0 )(x ) := lim.t→+0∂etЛемма 4.3.
(второе необходимое условие дифференцируемости) Если функция f дифференцируема в точке x0 , то у нее в этой точке существует производная по любому направлению, равная проекции градиента на выбранноенаправление:∂f 0(x ) = (gradf (x0 ), e).∂eДоказательство. Подставим в формулу (4.3) точку x = x0 + te:f (x0 + te) − f (x0 ) = (gradf (x0 ), te) + o(t).Следовательноf (x0 + te) − f (x0 )(gradf (x0 ), te) + o(t)= lim=t→+0t→+0ttlimo(t)= (gradf (x0 ), e). tЗамечание 4.2. Из существования производных в точке x0 по всем направлениям вовсе не следует, что функция дифференцируема в x0 .
Рассмотримфункцию двух переменных{1, если y = x2 ̸= 0f (x, y) =0, если y ̸= x2 или (x, y) = (0, 0).(gradf (x0 ), e) + limt→+0В точке (0, 0) производная функции f по любому направлению существует иравна нулю. Между тем в точке (0, 0) функция разрывна.Задача 4.1. Докажите названные выше свойства функции f (x, y). Что собой представляет график этой функции?Замечание 4.3. Если в точке x0 существуют производные по всем направлениям, то по переменной e определена функция∂f(x0 ) : S n−1 → R, где S n−1 = {e : |e| = 1} − сфера размерности n − 1.∂eОпределение 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
