Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Заметим, что в данной конструкции мы рассматриваем эту производную не вфиксированной точке (как это было в п. 4.2), а на всей области определенияX, т.е. оператор Ae каждой функции f ∈ C k (X) ставит в соответствие функk−1цию ∂f(X), которая в каждой точке x ∈ X равна производной от f по∂e ∈ Cвыбранному фиксированному направлению e.2) Для произвольного фиксированного вектора a = (a1 , ..., an )T ∈ Vn определим линейный оператор Aa : C k (X) → C k−1 (X), действующий аналогично:()∂∂Aa (f (x)) = a1+ ...
+ an(f (x)) = (gradf (x), a).(5.2)∂x1∂xnВ определении (5.2) можно фиксировать функцию f ∈ C k (X) и точку x = x0 ∈X, а в качестве аргумента взять вектор a ∈ Vn . При такой трактовке та жеформула (5.2) определяет, согласно (4.2), дифференциал функции f в точке x0 :Aa (f (x0 )) : Vn → R, Aa (f (x0 )) = (gradf (x0 ), a) = df (x0 , a).(5.3)Указанной трактовкой мы воспользуемся для получения формулы Тейлора.52Я. М. ДЫМАРСКИЙЗадача 5.4. Дайте определение линейного пространства L(L1 , L2 ) всех линейных операторов, действующих из L1 в L2 .
Какой оператор является “нулевым вектором” в пространстве L(L1 , L2 )? Какая оператор является “противоположным вектором” к оператору A?Для линейных операторов определена суперпозиция, как для отображений.Важно, что сохраняется линейность.Определение 5.6. Пусть A : L1 → L2 , B : L2 → L3 – линейные операторы.Произведением (суперпозицией) называется линейный операторBA : L1 → L3 , (BA)a := B(A(a)). Задача 5.5. Докажите, что определение корректно, т.е.
отображение BAявляется линейным оператором.Примеры 5.2. Суперпозиция операторов частных производных:∂∂: C k (X) → C k−1 (X),: C k−1 (X) → C k−2 (X) ⇒∂xi∂xj∂2: C k (X) → C k−2 (X).∂xj ∂xiЗамечание 5.3. Из теоремы 5.1 следует, что на пространствах C k (X) операторы частных производных перестановочны. В общем случае перестановка AB операторов является бессмысленной. Если A – матрица (m × n), а B –матрица (p × m) и n ̸= p, то перемножать их можно только в порядке B · A.
Нодаже в случае допустимости перестановки, изменение порядка приводит к другому результату. Так, в общем случае для квадратных матриц одного размераA · B ̸= B · A.5.3. Дифференциалы высших порядков.Определение 5.7. Пусть функция f ∈ C k (X) (k ∈ N). Дифференциал k-гопорядка определяется по индукции:dk f (x) = d(dk−1 f )(x).(5.4)В этом определении дифференциалы независимых переменных понимаютсякак постоянные множители.
Теорема 5.4. (выражение дифференциала через частные производные)Пусть f ∈ C k (X). Тогда дифференциал k-го порядка существует в каждойточке x ∈ X и равенdk f (x) =n∑ik =1...n∑i1∂kf(x) dxi1 ...dxik .∂xik ...∂xi1=1(5.5)53ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРДоказательство по индукции. Выпишем первый дифференциал (4.4) и применим к нему определение: каждую первую частную производную ∂f (x)/∂xiбудем дифференцировать по каждой переменной xj .
Получим:d2 f (x) =n ∑n∑j=1 i=1∂2f(x)dxj dxi .∂xj ∂xiОстается переобозначить индексы i := i1 , j := i2 и применить этот метод доk-го порядка. Замечание 5.4. В сумме (5.5) nk слагаемых. Однако среди них есть повторяющиеся. В частности, при k = 2 получаем симметрическую матрицу( 2)∂ f(n × n) =(x) , i, j = 1, . . . , n∂xj ∂xiчастных производных второго порядка, которая называется матрицей Гессе(Людвиг Гессе’, 1811-1874), а ее определитель гессианом. Матрица, как будетпоказано, применяется для локального исследования поведения функции.Теперь мы запишем дифференциал высокого порядка в операторном виде.Теорема 5.5.
Пусть f ∈ C k (X), тогда в каждой точке x ∈ X()k∂∂kd f = dx1+ ... + dxnf = (Adx )k f.∂x1∂xn(5.6)Доказательство следует из определения (5.4) и формул (5.2) и (5.3). Замечание 5.5. В условиях теоремы 5.5 справедлива теорема 5.2 о совпадении смешанных производных, поэтому вычисление степени дифференциального оператора подчиняется тем же правилам, что и возведение в степеньлинейного выражения (a1 + ... + an )k . Это наблюдение облегчает нахождениедифференциалов высоких порядков.В частности, получаемСледствие 5.1.
(дифференциал функции двух переменных) Пусть в условиях теоремы 5.5 количество переменных n = 2, тогда дифференциал вычисляется по формуле бинома Ньютона:dk f =k∑i=0Cki∂kfk!dxk−i dy i , где Cki =.k−ii∂ x∂ y(k − i)! i!Для дифференциала второго порядка функции двух переменных получаемформулу, аналогичную “школьной” формуле квадрата суммы двух слагаемых:′′′′′′d2 f = fxxdx2 + 2fxydxdy + fyydy 2 .(5.7)При конкретном вычислении дифференциала можно: 1) либо действоватьпо определению (5.4), 2) либо находить все частные производные и применять54Я. М. ДЫМАРСКИЙформулу (5.5), 3) либо возводить в k-ю степень дифференциальный операторпо формуле (5.6). В любом случае мы получаем однородную форму порядкаk относительно независимых переменных dxi (i = 1, .
. . , n).Пример 5.2. Найти d2 f (3, −1), где f (x, y) = ln(x2 + y).Преимущество вычисления по формуле (5.4) в том, что на каждом этапе мынаходим первый дифференциал и можем воспользоваться инвариантностьюего формы. Итак, первый дифференциал в произвольной точкеdf =2xdx + dy.x2 + yВторой дифференциал в произвольной точке:d2 f = d(df ) =(x2 + y)2dx2 − (2xdx + dy)(2xdx + dy).(x2 + y)2Второй дифференциал в данной точкеd2 f (3, −1) =20dx2 + 12dxdy + dy 216dx2 − (6dx + dy)2=−.6464Второй способ.
Найдем все частные производные до 2-го порядка включительно в произвольной точке:fx′ =′′=2fxx2x1, fy′ = 2,x2 + yx +yy − x2x1′′′′=2 2= 2, fxy, fyy.222(x + y)(x + y)(x + y)2Теперь найдем производные второго порядка в точке A(3 − 1):′′fxx(3 − 1) = −2061′′′′, fxy(3 − 1) = − , fyy(3 − 1) = − .646464Поэтому d2 f (3, −1) = −(1/64)(20dx2 + 12dxdy + dy 2 ).Задача 5.6. Найдите d2 f (3, −1) с помощью формулы (5.6).Замечание 5.6. Если найден дифференциал k-го порядка, то из него можно получить значения всех производных k-го порядка.В заключение пункта обсудим нахождение дифференциалов высокого порядка сложной функции.
Здесь нужно воспользоваться определением (5.4) иинвариантностью формы первого дифференциала. Пусть функция f (u, v) ∈ C 2зависит (для простоты) от двух “внешних” переменных, а каждая переменнаяu = φ(x) = φ(x(1) , ..., x(n) ), v = ψ(x) = ψ(x(1) , ..., x(n) ) в свою очередь зависитот n “внутренних” переменных. Нас интересует второй дифференциал по nвнутренним переменным сложной функции g(x) := f (φ(x), ψ(x)). Воспользовавшись инвариантностью формы первого дифференциала, получаемd2 g = d(dg) = d(fu′ du + fv′ dv), где du = (gradφ, dx), dv = (gradψ, dx).55ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРПоскольку du и dv зависят от переменной x, то d(du) = d2 u ̸= 0, d(dv) = d2 v ̸= 0.Поэтомуd2 g = d(fu′ du + fv′ dv) = d(fu′ ) · du + fu′ · d2 u + d(fv′ ) · dv + fv′ · d2 v.Еще раз воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала, теперь для частных производных fu′ , fv′ :′′′′′′′′d2 g = (fuudu + fuvdv) · du + fu′ · d2 u + (fvudu + fvvdv) · dv + fv′ · d2 v.Поскольку смешанные производные равны, окончательно получаем′′′′′′d2 g = d2 f (u, v) = fuudu2 + 2fuvdudv + fvvdv 2 + fu′ · d2 u + fv′ · d2 v,(5.8)где вторые дифференциалы d2 u = d2 φ(x), d2 v = d2 ψ(x) определяются по формуле (5.6) с k = 2.
Заметим, что мы записали второй дифференциал сложнойфункции в терминах только внешних переменных u и v, помня, что они выражаются через внутренние переменные.Сравним формулу (5.8) второго дифференциала сложной функции с формулой (5.7) второго дифференциала функции от двух независимых переменных.Мы видим появление дополнительных слагаемых fu′ · d2 u + fv′ · d2 v, которые обнуляются в случае, если u и v – независимые переменные. Их присутствиеозначает, что второй дифференциал НЕ имеет инвариантной формы при замене переменных.Задача 5.7. Найдите второй дифференциал d2 f (3, −1), где f (x, y) = ln(x2 +y) (см. пример 5.2), четвертым способом – как дифференциал сложной функции.5.4. Формула Тейлора.
Сейчас мы получим разложения функции f (x)многих переменных в окрестности исследуемой точки x0 , аналогичные тем,которые были получены для функции одной переменной. Поскольку мы невводили понятия производной высокого порядка, а запись в терминах частныхпроизводных весьма громоздкая, мы запишем формулы Тейлора через дифференциалы. Оказывается форма записи через дифференциалы инвариантнаотносительно количества переменных и совпадает с формулой (??).
Так какаргумент x локализован в некоторой окрестности точки x0 , мы будем вместо−−−−→независимого дифференциала dx писать знак приращения ∆x = x − x0 (см. п.4.1).Теорема 5.6. (формула Тейлора в форме Лагранжа) Пусть функция f ∈C k+1 (Uδ (x0 )). Тогда для любой точки x ∈ Uδ (x0 ) справедлива формула Тейлорас остаточным членом в форме Лагранжа:f (x) = f (x0 ) +k∑1 m1d f (x0 ) +dk+1 f (x0 + θ∆x),m!(k+1)!m=1где число θ = θ(x0 , ∆x) ∈ (0, 1) определяется в общем случае неоднозначно.56Я.
М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. Идея: свести задачу к одномерной, двигаясь по лучу отx0 к x. Определим функцию φ(t) := f (x0 + t∆x), где t ∈ (0, 1 + ε) c ε > 0настолько малым, чтобы точка x0 + (1 + ε)∆x ∈ Uδ (x0 ) (т.е. (1 + ε)|∆x| < δ).Когда t меняется от нуля до единицы, точка x0 + t∆x пробегает отрезок от x0до x. Функция φ есть суперпозицияt → x0 + t∆x ∈ X ⊂ Rn → f (x0 + t∆x) ∈ R.Найдем ее производную с помощью теоремы 4.5 о дифференцировании суперпозиции отображений:φ′ (t) =∂f∂f(x0 + t∆x) · ∆x1 + ...
+(x0 + t∆x) · ∆xn =∂x1∂xn(5.9)(A∆x f )(x0 + t∆x) = df (x0 + t∆x, ∆x)(мы воспользовались формулой (5.3); выражение x0 +t∆x – это точка, в которойберется значение функции A∆x f ). Вывод: найден фиксированный линейныйоператор A∆x , действие которого на произвольную функцию f в точкеx0 + t∆x есть производная φ′ (t) сложной функции φ(t) := f (x0 + t∆x) в точкеt. Но функция φ′ (t) также есть сложная функцияt → x0 + t∆x ∈ X ⊂ Rn → (A∆x f )(x0 + t∆x),где на месте функции f в формуле (5.9) стоит функция A∆x f .
Следовательно,вторая производная функции φ равнаφ′′ (t) = (A∆x (A∆x f ))(x0 + t∆x) = (A2∆x f )(x0 + t∆x).Значит, для m = 1, . . . , k + 1 производные φ(m) (t) = (Am∆x f )(x0 + t∆x).Формула Маклорена для функции φ при t = ∆t = dt = 1 имеет видφ(1) = φ(0) +f (x) = f (x0 ) +k∑1 (m)1φ (0) +φ(m+1) (θ) ⇔m!(m+1)!m=1k∑1100(Am(Ak+1∆x f )(x ) +∆x f )(x + θ∆x),m!(k+1)!m=1где 0 < θ < 1. Но из формулы (5.6) следует, что (A∆x )m f = dm f .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
