Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Докажите лемму 10.3. (Указание: сравните с теоремой 9.10)Теорема 10.10. (обобщенный признак сравнения) Пусть, начиная с некоторого K ∈ N, для всех номеров∑∞ k > K на X справедлива оценка |ak (x)| 6 αk (x)инеотрицательныйФРk=1 αk (x) равномерно сходится на X. Тогда ФР∑∞a(x)равномерноабсолютносходится на X.kk=1Доказательство.Запишем для равномерно сходящегося неотрицательного∑∞ФР k=1 αk (x) критерий Коши:∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N ,→n+p∑αk (x) < ε.k=n+1Без ограничения общности верно K < N .
Поэтому∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ,→n+p∑k=n+1|ak (x)| 6n+p∑αk (x) < ε.k=n+1∑∞Опять же в силу критерия Коши, ФР k=1 |ak (x)| равномерно сходится на X.Учитывая лемму 10.3, получаем требуемое. Следствие 10.5. (достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда) Пусть, начиная с некоторого K ∈ N, для всех номеров k > Kна6 αk ; пусть неотрицательный числовой ряд∑∞X справедлива оценка |ak (x)|∑∞αсходится.ТогдаФРk=1 kk=1 ak (x) равномерно абсолютно сходится наX.Достаточные признаки сходимости Дирихле и Абеля, которые мы сформулировали для несобственных интегралов и числовых рядов, могут быть приспособлены для исследования равномерной сходимости ФР.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР123Теорема 10.11.
(признак Дирихле для ФР) Пусть для функциональныхпоследовательностей {ak (x)} и {bk (x)}, заданных на X, выполнены следующиеусловия:∑n1. последовательность частичных сумм An = k=1 ak (x) равномерно ограничена:∃C > 0 : ∀n ∈ N, ∀x ∈ X ,→ |An (x)| 6 C;2. при любом x ∈ X числовая последовательность {bk (x)} монотонно (вообще говоря, нестрого) убывает;3.
на X последовательность bk (x) ⇒ 0 при k → ∞.∑∞Тогда ряд k=1 ak (x)bk (x) сходится равномерно на X.Доказательство. Дословно повторяя доказательство признака Дирихле длячисловых рядов (теорема 9.8), получим n+p ∑ak (x)bk (x) 6 2Cbn+1 (x) при всех n, p ∈ N и x ∈ X.k=n+1Поскольку bk (x) ⇒ 0 на X при k → ∞, то∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X ,→ 0 6 bn+1 (x) <ε.2CЗначит, n+p ∑ε∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ,→ ak (x)bk (x) < 2C ·= ε.2Ck=n+1Из критерия Коши следует, что ряд∑∞k=1ak (x)bk (x) сходится равномерно. Следствие 10.6.
(признак Лейбница равномерной сходимости ФР) Пустьпри любом x ∈ X числовая последовательность {bk (x)} убывает (вообще говоря,и bk (x) ⇒ 0 на X при k → ∞. Тогда знакочередующийся ФР∑∞ нестрого)k(−1)b(x)сходится равномерно на X.kk=1Задача 10.7. Докажите следствие 10.6.Теорема 10.12. (признак Абеля равномерной сходимости для ФР) Пустьвыполнены условия:∑∞1. ФР k=1 ak (x) сходится равномерно на X;2.
при любом фиксированном x ∈ X числовая последовательность {bk (x)}монотонна (вообще говоря, нестрого и для разных x монотонность может иметь разный характер);3. функциональная последовательность {bk (x)} ограничена:∃C : ∀k ∈ N, ∀x ∈ X ,→ |bk (x)| 6 C.Тогда ФР∑∞k=1ak (x)bk (x) сходится равномерно на X.124Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. В условиях теоремы 11.4 мы не можем свести ее к теореме11.3 аналогично тому, как это было сделано при доказательстве теоремы Абеля9.9 для числовых рядов – мешает разный характер монотонности последовательности bk (x) по k при разных x ∈ X.Запишем∑k дискретное преобразование Абеля (9.2) в терминах “сумм Коши”Akn+1 := i=n+1 ai , где k > n + 1 и Ann+1 := 0:n+p∑ak bk =k=n+1(Akn+1 − Ak−1n+1 )bk =Akn+1 bk −k=n+1n+p−1∑k=n+1n+p∑Akn+1 bk −k=n+1k=n+1n+p∑−n+p∑n+p−1∑n+p∑Ak−1n+1 bk =k=n+1nAkn+1 bk+1 = (An+pn+1 bn+p − An+1 bn+1 )−k=nAkn+1 (bk+1 − bk ) = An+pn+1 bn+p −n+p−1∑Akn+1 (bk+1 − bk )(10.8)k=n+1(обращаем внимание, что в предыдущих выкладках индекс∑∞ k, по которому идетсуммирование, находится наверху).
Поскольку ряд k=1 ak (x) сходится равномерно, то, в силу критерия Коши, n+p ∑ε∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ,→ ak (x) <. 3Ck=n+1∑kЗначит, |Akn+1 | = i=n+1 ai (x) < ε/(3C) при k > n + 1, ∀x ∈ X. Теперь, учитывая (10.8), монотонность по k последовательности bk (x) при фиксированномx и ее равномерную ограниченность, получаем n+pn+p−1)( ∑ ∑ε|bn+p (x)| + ak (x)bk (x) <(bk+1 (x) − bk (x)) 6 3Ck=n+1k=n+1εε(|bn+p (x)| + |bn+p (x) − bn+1 (x)|) 6· 3C = ε.3C3CЧто означает, опять же в силу критерия Коши, равномерную сходимость ФР∑∞k=1 ak (x)bk (x).
§ 11. Интегралы и функциональные ряды комплексных функцийВ теории степенных рядов, которую нам предстоит изучить, невозможнообойтись без теории интегрирования комплекснозначных функций комплексной переменной и теории комплексных функциональных рядов. Поэтому мыизложим основы указанных теорий.11.1.
Интегрирование функций комплексной переменной. Мы знаем первоначальные факты теории дифференцирования функций комплекснойпеременной (см. п. 4.6). В частности, нам известны производные одночлена(z n )′ = nz n−1 (n ∈ N, z ∈ C) и экспоненты (ez )′ = ez . Для наших целей этихпримеров нам достаточно. Ниже через Ω ⊂ C мы будем обозначать область,т.е. открытое линейно связное подмножество.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР125Определение 11.1.
Пусть задана непрерывная функция f : Ω → C. Функция F : Ω → C называется первообразной функции f , если F ′ (z) = f (z) длялюбого z ∈ Ω. Примеры 11.1. 1) На Ω = C первообразной одночлена f (z) = z n (n ∈ N0 )является одночлен F (z) = z n+1 /(n + 1). 2) На C первообразной экспоненты ezявляется она сама.Лемма 11.1. (линейность первообразной) Если на Ω первообразной функции f является функция F , а первообразной функции g является G, то дляпроизвольных чисел α, β ∈ C линейная комбинация αF + βG является первообразной на Ω функции αf + βg.Доказательство немедленно следует из линейности операции дифференцирования.Теорема 11.1.
(о структуре множества первообразных) Пусть функцияF является первообразной функции f на Ω. Тогда любая другая первообразнаяΦ отличается от данной на постоянную величину: Φ(z) = F (z) + C, гдеz ∈ Ω, C ∈ C.Доказательство. В силу леммы 11.1, требуется доказать, что все первообразные нулевой функции исчерпываются константами. Если допустить противное, то существует функция F (z) = F (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) ̸≡ C, длякоторой F ′ (z) ≡ 0 на Ω.
Тогда, согласно теореме 4.7 Коши-Римана, на ΩF ′ (z) =∂u∂v∂v∂u(z) + i (z) =(z) − i (z) ≡ 0 ⇔∂x∂x∂y∂y∂u∂v∂v∂u(x, y) ≡(x, y) ≡(x, y) ≡(x, y) ≡ 0.∂x∂x∂y∂yСледовательно, действительнозначные функции u = u(x, y) ≡ C1 , v = v(x, y) ≡C2 . Поэтому F (z) ≡ C1 + iC2 на Ω. Перейдем к интегрированию:Определение 11.2.
Пусть непрерывная функция f : Ω → C имеет первообразную F . Пусть z1 , z2 ∈ Ω. Интегралом функции f между точками z1 и z2назовем∫ z2f (z) dz := F (z2 ) − F (z1 ).(11.1)z1Функцию f , удовлетворяющую указанным свойствам, назовем интегрируемойна Ω. Примеры 11.2. Из доказанных нами правил дифференцирования степенной функции и экспоненты (примеры 4.1 и 4.2.1) следует, что∫z2z n+1 − z1n+1z dz = 2, (n ∈ N0 ),n+1∫z2nz1ez dz = ez2 − ez1 .z1Теорема 11.2. Основные свойства интеграла:(11.2)126Я. М. ДЫМАРСКИЙ1. Корректность: интеграл не зависит от выбора первообразной.2.
Линейность: если функции f и g интегрируемы на Ω, то для произвольных точек z1 , z2 ∈ Ω и произвольных чисел α, β ∈ C верно∫ z2∫ z2∫ z2(αf (z) + βg(z)) dz = αf (z) dz + βg(z) dz.z1z1z13. Аддитивность: для произвольных точек z1 , z2 , z3 ∈ Ω∫ z3∫ z2∫ z3f (z) dz.f (z) dz +f (z) dz =z2z1z14.
Формула замены переменной: пусть функция f интегрируема наΩ; пусть Ω′ ⊂ C – область, функция φ : Ω′ → Ω дифференцируема наΩ′ . Тогда функция g(w) := f (φ(w)) · φ′ (w) интегрируема на Ω′ и дляпроизвольных точек w1 , w2 ∈ Ω′ верно∫∫φ(w2 )w2f (z) dz =φ(w1 )f (φ(w)) · φ′ (w) dw.w15. Интегрирование по частям: если функции f и g непрерывно дифференцируемы на Ω и одна из функций f ′ (z)g(z) или f (z)g ′ (z) интегрируема на Ω, то интегрируема другая и∫ z2∫ z2′f (z)g(z) dz = f (z2 )g(z2 ) − f (z1 )g(z1 ) −f (z)g ′ (z) dz.z1z1Доказательство сразу следует из определения 11.1.Обсуждение 11.1. Предложенное определение интеграла опирается навесьма жесткое требование существования первообразной у подынтегральнойфункции. В курсе теории функций комплексного переменного интеграл определяют как криволинейный второго рода и лишь затем доказывают его представление через первообразную.11.2.
Ряды функций комплексного переменного. Основные понятияи утверждения теории действительных числовых и функциональных рядов переносятся на комплексный случай без изменения. Комплекснозначнаяпосле∑∞∞довательность {ck }∞k=1 = {ak + ibk }k=1 (ak , bk ∈ R) порождает символk=1 ck ,который называется комплексным числовым рядом (КЧР).
С последним∑∞∑∞мы связываем ряды k=1 ak и k=1 bk из действительных и мнимых частейпоследовательности {ck }∞k=1 . Суммой КЧР называем конечный предел( n)nn∑∑∑limck = limak + ibk = C ∈ Cn→∞k=1n→∞k=1k=1частичных сумм. КЧР сходится (т.е. имеет сумму) только в том∑nслучае, когда сходятся ряды действительных и мнимых частей (limn→∞ k=1 ak = A,∑nlimn→∞ k=1 bk = B), при этом его сумма C = A + B. Для КЧР справедливыЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР127все утверждения, которые не связаны с отношением порядка (на комплекснойпрямой C линейной упорядоченности нет):1) необходимое условие сходимости (стремление общего члена ряда к нулю),2) критерий Коши,3) принцип локализации,4) линейность,∑∞5) достаточные признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда k=1 ak bk остаются в силе при тех же предположениях, если ak ∈ C, а bk ∈ R.∑∞КЧР называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд k=1 |ck |.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
