Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 29
Текст из файла (страница 29)
13.3 порядок n = 4).Чтобы воспользоваться леммой 13.1, полезно иметь в запасе разные способы представления остатка. Форма Пеано остатка для наших целей не подходит, поскольку оценивает его при условии x → x0 . Кроме формы остатка поЛагранжу, нам понадобятся еще две.Теорема 13.3. (интегральная форма остаточного члена) Если функция fна интервале (x0 −δ, x0 +δ) имеет непрерывные производные до порядка (n+1)включительно, то остаточный член формулы Тейлора равен∫1 xrn (x) =(x − t)n f (n+1) (t) dt для любого x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).(13.5)n! x0ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР143Доказательство индукцией. При n = 0 получаем:∫ x∫1 xr0 (x) := f (x) − f (x0 ) =f ′ (t)dt =(x − t)0 f (0+1) (t) dt,0!x0x0т.е.
утверждение справедливо.Пусть теорема справедлива для n, т.е. верно тождество (13.5). Предполагаясуществование производной порядка n + 2 и интегрируя по частям, получаем()∫1 x (n+1)−1rn (x) =f(t)d((x − t)n+1 ) =n! x0n+1∫ xx11(n+1)n+1 −f(t)(x − t)(x − t)n+1 f (n+2) (t) dt = +(n + 1)!x0 (n + 1)! x0∫ x11(n+1)n+1f(x0 )(x − x0 )+(x − t)n+1 f (n+2) (t) dt.(n + 1)!(n + 1)! x0Но, по определению,rn (x) =1f (n+1) (x0 )(x − x0 )n+1 + rn+1 (x).(n + 1)!Поэтомуrn+1 (x) =1(n + 1)!∫x(x − t)n+1 f (n+2) (t) dt. x0Следствие 13.1.
(остаточный член в форме Коши) В условиях теоремы13.3 для x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) справедливо тождество:rn (x) =1 (n+1)f(x0 + θ∆x) · (1 − θ)n ∆xn+1 ,n!(13.6)где ∆x = x − x0 , θ = θ(n, x) ∈ (0, 1).Доказательство. Применим к интегралу (13.5) теорему о среднем, взяв вкачестве первого сомножителя α(x) всё подынтегральное выражение, а в качестве второго (знакопостоянного!) сомножителя функцию β(x) ≡ 1:∫1 x1rn (x) =((x − t)n f (n+1) (t)) · 1 · dt = f (n+1) (x0 + θ∆x) · (∆x − θ∆x)n ∆x.n! x0n!Остается вынести в предпоследней скобке общий множитель ∆x. Задача 13.3. Из формулы (13.5) получите форму остаточного члена в форме Лагранжа1rn (x) =f (n+1) (x0 + θ∆x)∆xn+1 .(n + 1)!Замечание 13.3. При оценке сверху форма Коши “проигрывает” формеЛагранжа в первом сомножителе: 1/(n + 1)! : 1/n! = 1/(n + 1).
Но “выигрывает” за счет сомножителя (1 − θ)n .144Я. М. ДЫМАРСКИЙ13.3. Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций.Мы уже умеем раскладывать по формуле Тейлора основные элементарныефункции до любого конечного порядка. Поэтому записать ряд Тейлора этихфункций не составляет труда. Но возникает принципиальный вопрос: где этиряды сходятся к исходной функции? Мы ответим на него, оценивая остатокrn (x) с помощью теоремы 13.2 и следствия 13.1.Теорема 13.4. Ряды Маклорена функций ex , ch x, sh x, cos x, sin x сходятсяк этим функциям на всей числовой прямой: для любого x ∈ R справедливоex =∞∑xkk=0ch x =(13.8)k=0∞∑(−1)k x2kk=0(13.7),∞∞∑∑x2kx2k+1, sh x =,(2k)!(2k + 1)!k=0cos x =k!(2k)!, sin x =∞∑(−1)k x2k+1k=0(2k + 1)!.(13.9)Доказательство.
Поскольку для любого x ∈ (−δ, δ) и произвольного n ∈ Nсправедлива оценка |(ex )(n) | = ex < eδ := M , то для функции y = ex выполненодостаточное условие регулярности в точке x0 = 0 на произвольном интервале(−δ, δ) (теорема 13.2). Что доказывает тождество (13.7) на R.Аналогично доказываются тождества (13.8) и (13.9). Теорема 13.5. Ряд Маклорена степенной функции f (x) = (1 + x)α , гдеα ∈ R ∧ α ̸= 0, 1, 2..., сходится к ней на интервале x ∈ (−1, 1):α(1 + x) =∞∑Cαk xk , ∀x ∈ (−1, 1),(13.10)k=01где Cα0 = 1, Cαk = k!α(α − 1)...(α − k + 1), k ∈ N.При α = 0, 1, 2... разложение (13.10) вырождается в конечный многочленстепени n (бином Ньютона):n(1 + x) =n∑Cnk xk , x ∈ R.k=0Доказательство.
Применяя к ряду (13.10) признак Даламбера, убеждаемся,что он сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1. Докажем, что он сходитсяименно к функции f (x) = (1 + x)α . Запишем остаточный член в форме Коши:rn (x) =α(α − 1)...(α − n)(1 + θx)α−n−1 (1 − θ)n xn+1 .n!Поскольку |x| < 1, а 0 < θ < 1, то 0 < 1 − θ < 1 + θx. Поэтому|rn (x)| 6|α(α − 1)...(α − n)| n+1 α−1|α(α − 1)...(α − n)|(1 + θx)α−1 |x|n+1 6|x|·2.n!n!ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР1451Рассмотрим последовательность dn := n!|α(α − 1)...(α − n)| · |x|n+1 .
Оценимотношение ее соседних членов:()dn+1|α − n − 1|α=|x| = 1 −|x| < |x| < 1dnn+1n+1для всех достаточно больших n. Значит, при любом фиксированном x ∈ (−1, 1)остаточный член стремится к нулю быстрее убывающей геометрической прогрессии с коэффициентом |x| < 1. Выпишем наиболее часто встречающиеся случаи формулы (13.10).∞a)∑1=(−1)k xk ,1+xk=0∞(b)∑1=xk ,1−x(13.11)k=0∞∞∑ (−1)k (2k − 1)!!∑ (2k − 1)!!11==a) √xk , b) √xk .k2 k!1 + x k=01 − x k=0 2k k!(13.12)Из формулы (13.11) п.
а) и теоремы 12.1 п. 1 о почленном интегрированииследует, что∫ x∞∞∑∑dtxk+1xkln(1 + x) ==(−1)k=(−1)k−1 , x ∈ (−1, 1).k+1k0 1+tk=0k=1В формулу (13.11) п. а) подставим x2 вместо x, получим разложение∞∑1=(−1)k x2k .21+x(13.13)k=0Ряд Маклорена функции f (x) = (1 + x)−1 сходится к f (x) при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, поэтому ряд Маклорена функции g(x) := f (x2 ) = (1 + x2 )−1сходится к g(x) при |x2 | < 1 и расходится при |x2 | > 1.
Значит, радиус сходимости ряда Маклорена остался прежним – он равен 1. Интегрируя разложение(13.13) и применяя п. 1 теоремы 13.1, получаем:∫ x∞2k+1∑dtk x=(−1), x ∈ (−1, 1).arctg x =22k + 10 1+tk=0Наконец, из формулы (13.12) п. b) после подстановки x = t2 и интегрированияполучаем∫ x∞∑dt(2k − 1)!! x2k+1√arcsin x ==, x ∈ (−1, 1).2k k! 2k + 11 − t20k=0Замечание 13.4.
Еще раз подчеркнем, что свойства степенного ряда, в томчисле и ряда Тейлора, раскрываются только на комплексной прямой. Глядя награфик функции (1 + x2 )−1 , непонятно, почему ее ряд Маклорена имеет радиуссходимости 1. Все объясняет разложение (1 + z 2 )−1 = (1 + iz)−1 · (1 − iz)−1 .√Задача 13.4. Найдите ряд Маклорена функций f± (x) = 1 ± x146Я. М. ДЫМАРСКИЙ13.4. Разложение в степенной ряд комплекснозначной функции ez .Пусть комплексное число z = x+iy, где x, y ∈ R. Согласно данному ранее определению экспоненты, ez = ex (cos y + i sin y). С другой стороны, нами полученыряды Маклорена для ex , cos x, sin x, которые естественно распространить навсю комплексную прямую.Теорема 13.6.
(о ряде Маклорена комплексной экспоненты) Для любогоz ∈ C справедливо равенствоez =∞∑zkk=0k!(13.14).Доказательство. Из теоремы 13.4 следует, что радиус сходимости ряда∑∞kk=0 (z /k!) равен бесконечности (обоснуйте). Поэтому этот ряд для любого z ∈ C сходится абсолютно.
Рассмотрим сумму исследуемого рядаf (z) :=∞∑zkk=0k!(13.15).Требуется доказать, что f (z) = ez , что равносильно равенству f (x + iy) =ex (cos y + i sin y)Сначала покажем, что для формулы (13.15) выполняется групповое свойство экспоненты:f (z1 + z2 ) = f (z1 )f (z2 ),т.е. сложение аргументов (показателей) приводит к перемножению функций(степеней). Из теоремы 9.13 о перемножении абсолютно сходящихся рядов следует, что∞∞∞∑∑z1k ∑ z2nz1ki z2nif (z1 )f (z2 ) =·=,k! n=0 n!k ! ni !i=0 ik=0где {(ki , ni )} – произвольная последовательность пар номеров, порожденнаябиекцией между множеством N натуральных чисел i и множеством (N ∪ {0})2упорядоченных пар (k, n) неотрицательных целых чисел.
Определим биекцию“методом диагоналей” (рис. 13.4). Т.е. первый элемент – это пара (0, 0). Затемидут две пары (1, 0), (0, 1), у которых сумма элементов равна единице. Затемидут три пары (2, 0), (1, 1), (0, 2), у которых сумма элементов равна двум. И т.д.При таком пересчете мы группируем слагаемые с фиксированной суммойРис. 13.4элементов: ki + ni = m = const. Теперь ряд можно переписать так:f (z1 )f (z2 ) =∞∞ ∑m∞m∑∑∑z1k z2m−kz1ki z2ni1 ∑m!==z1k z2m−k .n!n!k!(m−k)!m!k!(m−k)!iim=0m=0i=0k=0k=0147ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРМы получили бином Ньютона, поэтому∞∑1(z1 + z2 )m = f (z1 + z2 ).m!m=0f (z1 )f (z2 ) =Применяя доказанное свойство и формулу (13.15), имеем:f (z) = f (x + iy) = f (x) · f (iy) =∞∞∑xk ∑ (iy)k·=k!k!k=0(ex∞∑k−четн.∞∑(iy)k(iy)k+k!k!)=ek−неч.k=0(x∞∞∑∑(−1)n y 2n(−1)n y 2n+1+i(2n)!(2n + 1)!n=0n=0)=ex (cos y + i sin y) = ex+iy = ez .
По аналогии с доказанной формулой (13.14) определим тригонометрические и гиперболические функции для комплексной переменной с помощьюранее полученных вещественных рядов (13.8) и (13.9): для любого z ∈ C положим∞∞∑∑z 2kz 2k+1ch z :=, sh z :=,(2k)!(2k + 1)!k=0cos z :=∞∑k=0k=0∞∑ (−1)k z 2k+1(−1)k z 2k, sin z :=.(2k)!(2k + 1)!k=0Из теоремы 13.4 следует, во-первых, что радиус сходимости этих рядов равен+∞. Во-вторых, для действительных z определенные выше функции совпадают с тригонометрическими и гиперболическими функциями действительногоаргумента; т.е. выполнен принцип преемственности. Более того, сохраняютсяСледствие 13.2.
(формулы Эйлера для произвольного комплексного аргумента) Для любого z ∈ C справедливы равенстваeiz = cos z + i sin z,ez + e−zez − e−z, sh z =,22eiz + e−izeiz − e−izcos z =, sh z =.22iДоказательство. Из (13.14), подставив iz вместо z, получаем:ch z =eiz =∞∑(iz)kk=0k!=∞∞∑(iz)2n ∑ (iz)2n+1+=(2n)!(2n + 1)!n=0n=0∞∞∑(−1)n z 2n ∑ (−1)n z 2n+1+= cos z + i sin z. (2n)!(2n + 1)!n=0n=0Задача 13.5. Опираясь на доказанную формулу, докажите остальные формулы из следствия 13.2.148Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 14. Мера ЖорданаМера Жордана (МЖ) – обобщение понятия длины отрезка на прямой, площади плоской фигуры и объема пространственного тела. Понятие МЖ связано с основными теоретико-множественными понятиями (объединение, пересечение, дополнение), с топологическими понятиями (внутренность, замыкание,граница) и метрическим понятием (длина отрезка). Понятие МЖ лежит воснове интеграла Римана функции многих переменных.14.1.
Клеточные множества. Напомним, точечно-векторным (или аффинным) пространством мы называем пару пространств (Rn , Vn ), связанныхточечно-векторными операциями (см. определение ??). Для нас важно, чтов точечном пространстве Rn присутствуют геометрические понятия: отрезок,угол, многогранник, длина отрезка и величина угла.
Для пары пространств Rnи Rm и их подмножеств X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm определена операция прямого произведения X × Y ⊂ Rn × Rm , которая является основополагающей в определениимеры (см. в конце п. 1.1).Определение 14.1. Клеткой (точнее, n-мерной клеткой) в пространствеRn называют n-мерный замкнутый прямоугольный параллелепипед, т.е. прямое произведение отрезков:Πn = Π := {x = (x1 , ..., xn ) : ak 6 xk 6 bk , k = 1, ..., n} = [a1 , b1 ] × ... × [an , bn ].Мерой клетки (точнее, n-мерной мерой) называется неотрицательное числоµ(Π) := (b1 − a1 ) · ... · (bn − an ), т.е. произведение длин сторон параллелепипеда.Граница клетки ∂Π представляет собой объединение всех точек, у которыххотя бы одна координата равна концу отрезка (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
