Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 30
Текст из файла (страница 30)
14.1):∂Π = {x ∈ Π : ∀x ∃k ∈ {1, ..., n} : xk = ak ∨ xk = bk }.(14.1)Задачи 14.1. 1) Проверьте справедливость равенства (14.1)2) Дайте определение вершины, ребра, грани, m-мерной грани n-мернойклетки (m = 0, ..., n − 1). Укажите, какой координатной оси параллельно каждое ребро.3) Докажите, что граница клетки есть объединение всех (n − 1)-мерных граней.4) Докажите, что прямое произведение клеток есть клетка, размерность которой равна сумме размерностей сомножителей: Πn × Πm = Πn+m , а мерапрямого произведения клеток равна произведению мер сомножителей:µ(Πn × Πm ) = µ(Πn ) · µ(Πm ).5) Докажите, что граница произведения клеток удовлетворяет правилу Лейбница:∪∂(Πn × Πm ) = (∂Πn × Πm ) (Πn × ∂Πm ).149ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРРис. 14.1Рис.
14.2Рис. 14.3Определение 14.2. Подмножество K ⊂ Rn называется клеточным, еслионо допускает конечное разбиение на клетки. Т.е. существует конечнаясовокупность P := {Π1 , ..., ΠN } клеток, которые попарно не пересекаются повнутренним точкам, а их объединение образует данное множество:K := ∪Ni=1 Πi = K, причем ∀i ̸= j ,→ IntΠi ∩ IntΠj = ∅.Клетки, входящие в разбиение,назовем состыкованными.
Обозначение кле⊔Nточного разбиения K = i=1 Πi .Мерой клеточного подмножества называют сумму мер состыкованныхклеток:(N)N⊔∑µΠi :=µ(Πi ).i=1i=1Пустое множество по определению считаем клеточным с нулевой мерой. Обсуждение 14.1. Клеточное множество может быть состыковано бесконечным количеством способов (рис. 14.2). Объединение двух клеточных множеств K1 и K2 назовем их стыковкой K1 ⊔ K2 , если эти множества не пересекаются по внутренним точкам.
Спецификой клеток и клеточных множествявляется их жесткая привязка к координатным осям: каждое ребро клеткипараллельно соответствующей координатной оси. Но повернутая клетка, будучи прямоугольным параллелепипедом, равным исходному, уже не являетсяклеткой (рис. 14.3).СформулируемТеорема 14.1. (основные свойства клеточных множеств)1.
Клеточное множество замкнуто: K = K.2. Пусть K1 , K2 ⊂ Rn – произвольные клеточные подмножества. Тогдаих пересечение K1 ∩ K2 , замкнутая разность K2 \ (IntK1 ) (разностьK2 \ K1 в общем случае НЕ является замкнутым подмножеством),объединение K1 ∪ K2 являются клеточными подмножествами. Т.е.множество всех клеточных подмножеств замкнуто относительноосновных теоретико-множественных операций.3. Мера клеточного множества не зависит от способа его разбиения, чтоозначает корректность определения меры клеточного множества.4. Для произвольных клеточных подмножеств K1 , K2 ⊂ Rn верна формула меры объединения:µ(K1 ∪ K2 ) = µ(K1 ) + µ(K2 ) − µ(K1 ∩ K2 ).(14.2)150Я.
М. ДЫМАРСКИЙ5. Аддитивность меры при стыковке: µ(K1 ⊔ K2 ) = µ(K1 ) + µ(K2 ).6. Монотонность меры: если K1 ⊂ K2 , то µ(K1 ) 6 µ(K2 ).7. Если существует общая внутренняя точка клеточных подмножеств,то имеет место полуаддитивность:K10 ∩ K20 ̸= ∅ ,→ µ(K1 ∪ K2 ) < µ(K1 ) + µ(K2 ).8. Пусть K1 ⊂ Rn и K2 ⊂ Rm – клеточные множества соответствующих размерностей. Тогда их прямое произведение K1 × K2 ⊂ Rn × Rm =Rn+m является клеточным (n+m)-мерным множеством, причем мерапрямого произведения равна произведению мер сомножителей:µ(K1 × K2 ) = µ(K1 ) · µ(K2 ).(14.3)Доказательство (набросок).
П. 1 следует из замкнутости клеток и конечности их количества.Доказательство всех свойств, перечисленных в п. 2, сводится к случаю пересечения двух клеток (см. рис. 14.4-14.6).Рис. 14.5Рис. 14.4Рис. 14.6П. 3 доказывается измельчением двух данных разбиений (рис. 14.7):K=N⊔Π′i =i=1M⊔j=1Π′′j =N,M⊔Πij , где Πij = Π′i ∩ Π′′j .i,j=1П. 4, аналогично п. 2, сводится к случаю пересечения двух клеток.Пп. 5-7 следуют из формулы (14.2).Доказательство п. 8 основано на том, что клеточное разбиение сомножителей порождает клеточное разбиение прямого произведения:(N) MN,M⊔⊔⊔K1 × K2 =Π1,i × Π2,j =(Π1,i × Π2,j ).i=1j=1i,j=1(На рис.
14.8 изображено прямое произведение двумерного клеточного множества на одномерную клетку. Разбейте первое множество на клетки и убедитесь,что это разбиение порождает разбиение прямого произведения.) Рис. 14.7Рис. 14.8Рис. 14.9ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР15114.2. Измеримые множества.Определение 14.3. (измеримого множества; Мари Энмон Камиль Жордан, 1838-1922) Нижней мерой Жордана µ∗ (E) подмножества E ⊂ Rn называется супремум мер клеточных множеств Kint , которые содержатся в E;верхней мерой Жордана µ∗ (E) подмножества E ⊂ Rn называется инфимуммер клеточных множеств Kext , которые содержат E (рис.
14.9):µ∗ (E) :=sup µ(K), µ∗ (E) :=Kint ⊂EinfKext ⊃Eµ(K).Множество E называется измеримым по Жордану, если его нижняя и верхняя меры конечны и совпадают: µ∗ (E) = µ∗ (E) < +∞. Число µ(E) := µ∗ (E) =µ∗ (E) называют мерой Жордана множества E. Замечания 14.1. 1) В отличие от понятий длины, площади и объема, мера множества зависит не только от самого множества, но и от объемлющегопространства. Так мера отрезка Π1 = [0, 1] ⊂ R1 , принадлежащего прямой,равна единице.
Но мера “отрезка” Π2 = {(x, y) : 0 6 x 6 1, y = 0} ⊂ R2 ,принадлежащего плоскости, равна нулю: Π2 – вырожденный прямоугольник.2) Очевидна аналогия между определениями нижнего и верхнего интеграловДарбу (определение 6.1) и интеграла Римана по схеме Дарбу (определение 6.2)с определениями нижней и верхней мер Жордана и меры Жордана.
Нижебудет установлено, что, с определенными оговорками, эти понятия совпадают.Из определений вытекают следующие утверждения:Лемма 14.1. (необходимое свойство измеримости) Если подмножествоE измеримо, то оно ограничено.Лемма 14.2. (критерий измеримости на языке ε-приближений) Подмножество E измеримо тогда и т.т., когда для любого ε > 0 существуют вписанное клеточное множеств Kint ⊂ E и описанное клеточное множествоKext ⊃ E, меры которых различаются на ε, т.е. µ(Kext ) − µ(Kint ) < ε.Пример 14.1. Множество E = [0, 1] ∩ Q рациональных точек отрезка неизмеримо, поскольку его нижняя мера равна нулю, а верхняя единице (докажите).Задача 14.1.
Дайте пример ограниченного неизмеримого плоского подмножества.Среди всех измеримых подмножеств важную роль играют подмножества нулевой меры, поскольку к ним сводится, как будет показано ниже, исследованиеизмеримости произвольного подмножества.Лемма 14.3. Множество E имеет нулевую меру тогда и т.т., когда онопринадлежит клеточному множеству K сколь угодно малой меры. Болеетого, множество K можно выбрать таким, чтобы E принадлежало еговнутренности, т.е.µ(E) = 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃K : E ⊂ Int(K) ∧ µ(K) < ε.152Я.
М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. По договоренности пустое множество ∅ = K1 ⊂ E является клеточным и имеет меру ноль. Поэтому достаточность сразу следует излеммы 14.2.b дляНеобходимость. В силу леммы 14.2 существует клеточное множество K,N bbbbкоторого E ⊂ K и µ(K) < ε/2. Пусть K = ⊔i=1 Πi .
Применим к каждой√b i гомотетию с центром в центре клетки и коэффициентом k = n 2 > 1клетке Πb i ) (докажите). Объединение(рис. 14.10). Получим клетки Πi меры k n µ(ΠpK := ∪i=1 Πi не является стыковкой клеток, однако оно является клеточныммножеством (п. 2 теоремы 14.1), а его мера оценивается сверху (п. 6 теоремы14.1):N∑b i ) = k n µ(K)b < 2 · ε = ε.k n µ(Πµ(K) = µ(∪NΠ)6i=1 i2i=1b i ⊂ Int(Πi ), то Kb ⊂ Int(K).
Следовательно E ⊂ Int(K). МножеПоскольку Πство K – искомое. Задача 14.2. Докажите, что конечное объединение множеств нулевой мерыимеет меру ноль (конечная аддитивность множеств нулевой меры).Для доказательства основного утверждения об измеримости нам потребуетсяЛемма 14.4. (о пересечении с границей) Если клетка Π пересекает подмножество E и его дополнение E C := Rn \ E, то она пересекает границу ∂Eподмножества E.Доказательство. Пусть x ∈ Π ∩ E, а y ∈ Π ∩ E C . Поскольку клетка выпуклое множество, то отрезок [x, y] ⊂ Π ⊂ Rn (рис.
14.11). Параметризуем [x, y]числовым отрезком [0, 1]: рассмотрим непрерывное отображение−→−→f : [0, 1] → [x, y], f (t) := O + (1 − t)x + ty, где O = (0, ..., 0), x = Ox, y = Oy.По условию f (0) = x ∈ E. Поэтому существует t∂ = sup{t ∈ [0, 1] : f (t) ∈ E}.Покажем, что z = f (t∂ ) ∈ ∂E. Если t∂ = 0, то для всех t > 0 выполняетсяf (t) ∈ E C . Значит, в силу непрерывности f , в любой окрестности точки x ∈ Eимеются точки из дополнения. Следовательно x ∈ ∂E. Аналогично рассматривается случай t∂ = 1. Если 0 < t∂ < 1, то сколь угодно близко существуютчисла t < t∂ , для которых f (t) ∈ E, а для всех t > t∂ верно f (t) ∈ E C . Опятьже, в силу непрерывности f , в любой окрестности точки z = f (t∂ ) имеютсяточки из E и точки из дополнения E C . Рис. 14.10Рис. 14.11Рис.
14.12ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР153Задача 14.3. Докажите лемму 14.4 методом половинного деления отрезка.Заметим, что точки границы, полученные разными доказательствами, могутотличаться.Перейдем к основному утверждениюТеорема 14.2. (критерий измеримости в терминах границы множества)Подмножество E ⊂ Rn измеримо тогда и т.т., когда оно ограничено и егограница имеет меру нуль.Замечание 14.1. В сформулированном утверждении проявляется связь между топологическим понятием граница множества и измеримостью. Эта связьуточняется ниже в теореме 14.3.Доказательство.
Необходимость. Из леммы 14.1 следует ограниченность E.Покажем, что µ(∂E) = 0. Из леммы 14.2 следует, что для произвольного ε > 0существуют клеточные множества Kint , Kext , для которых Kint ⊂ E ⊂ Kext иµ(Kext ) − µ(Kint ) < ε. Поскольку клеточные множества замкнуты (п. 1 теоремы 14.1), то замыкание E ⊂ Kext . Поэтому ∂E ⊂ E ⊂ Kext . Рассмотримразность ∆K := Kext \ (IntKint ), которая является клеточным множеством (п.2 теоремы 14.1). Поскольку из Kext удалены только внутренние точки множества Kint ⊂ E, то разность ∆K, как и Kext , содержит целиком границу ∂E:∂E ⊂ ∆K. Теперь заметим, что клеточные множества ∆K и Kint состыкованы(по определению ∆K), поэтому Kext = ∆K ⊔ Kint (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
