Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 31
Текст из файла (страница 31)
14.12). В силу аддитивности и монотонности меры клеточных множеств (пп. 4, 5 теоремы 14.1)получаем:µ(Kext ) − µ(Kint ) < ε ⇔ µ(∆K ⊔ Kext ) − µ(Kint ) < ε ⇔µ(∆K) + µ(Kint ) − µ(Kint ) < ε ⇔ µ(∆K) < ε.Из леммы 14.3 следует, что µ(∂E) = 0.Достаточность. Поскольку µ(∂E) = 0, в силу леммы 14.3, по любому ε > 0найдется такое клеточное множество ∆K, что ∂E ⊂ Int(∆K) и мера µ(∆K) <ε.
Далее, поскольку множества E и ∆K ограничены, существует клетка Π,содержащая оба эти множества: E ∪ (∆K) ⊂ Π. Рассмотрим клеточное множество Π \ Int(∆K) (рис. 14.12). Будучи клеточным, оно состыковано изконечного количества клеток:Π \ (Int(∆K)) =p⊔Πi .i=1Поскольку граница ∂E принадлежит внутренности клеточного множества ∆K,∀i верно: Πi ⊂ Int(E) ∪ Int(E C ), т.е. все клетки принадлежат объединениювнутренностей. Если допустить, что существует клетка Πi , пересекающаясяи с множеством Int(E), и с множеством Int(E C ), то (по лемме 14.4) клеткаΠi пересекается с границей, что невозможно.
Значит каждая клетка Πi илицеликом лежит в Int(E), или целиком лежит в Int(E C ). Возьмем все клетки,целиком принадлежащие Int(E). Их объединение Kint является стыковкой,т.е. образует клеточное множество, причем Kint ⊂ Int(E) ⊂ E. Более того,154Я. М. ДЫМАРСКИЙKint состыковано с клеточным множеством ∆K и, в силу определения Kint ,справедливо вложение E ⊂ E ⊂ Kext := Kint ⊔ ∆K.
Остается заметить, чтоµ(Kext ) − µ(Kint ) = µ(∆K) < ε. 14.3. Свойства измеримых множеств. Измеримые множества наследуют многие свойства клеточных множеств, сформулированные в теореме 14.1Чтобы их доказать нам потребуетсяЛемма 14.5. (граница и теоретико-множественные операции) Для любыхподмножеств E, F ⊂ Rn справедливы включения:∂(E ∪ F ) ⊂ ∂E ∪ ∂F, ∂(E ∩ F ) ⊂ ∂E ∪ ∂F, ∂(E \ F ) ⊂ ∂E ∪ ∂F.Рис. 14.13Рис. 14.14Рис.
14.15Доказательство первого включения. Пусть точка x ∈ ∂(E ∪ F ). По определению, в любой ее окрестности находится точка из E ∪F и точка из дополнения(E ∪ F )C . Значит, выполнено по крайней мере одно из условий: 1) в любой ееокрестности находится точка из E, 2) в любой ее окрестности находится точкаиз F . Поскольку (E ∪F )C ⊂ E C ∩F C , то в первом случае x является граничнойточкой для E, а во втором случае – граничной для F .Остальные включения доказываются аналогично (докажите).
Теорема 14.3. (о теоретико-множественных операциях с измеримымиподмножествами)1. Для произвольных измеримых подмножеств E, F ⊂ Rn , принадлежащих одному и тому же пространству, справедливы свойства:( a) монотонность меры: если E ⊂ F , то µ(E) 6 µ(F );( b) замкнутость измеримых множеств относительно теоретико-множественных операций: подмножества E ∪ F , E ∩ F и E \ F измеримы и мера объединения вычисляется по формуле (см. рис.
14.13и 14.14)µ(E ∪ F ) = µ(E) + µ(F ) − µ(E ∩ F );(14.4)( c) мера множества сосредоточена в его внутренности: Int(E)и E измеримы, причем µ(E) = µ(IntE) = µ(E);( d) полуаддитивность меры: µ(E ∪ F ) 6 µ(E) + µ(F );( e) аддитивность меры: если подмножества E и F не имеют общих внутренних точек, то µ(E ∪ F ) = µ(E) + µ(F );155ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР2. Для произвольных измеримых подмножеств E ⊂ Rn , F ⊂ Rm , принадлежащих разным пространствам, их прямое произведение измеримо имера произведения равна произведению мер сомножителей:µ(E × F ) = µ(E) × µ(F ).(14.5)Доказательство. Будем по-прежнему обозначать через K клеточное множество; индекс intE (extE) указывает, что оно содержится (содержит) множествоE.Доказательство п.
1(a). Поскольку данные множества измеримы, их мерысовпадают с верхними и нижними мерами. Воспользовавшись монотонностьюмеры клеточных множеств (п. 6 теоремы 14.1), получаемKintE ⊂ E ⊂ F ⊂ KextF ⇒ µ(E) = sup µ(KintE ) 6 inf µ(KextF ) = µ(F ).KintEKextFДоказательство п. 1(b). Во-первых, названные множества ограничены.Во-вторых, из леммы 14.5, задачи 14.2 и п.
1(a) теоремы следует, что мераих границ равна нулю. Значит, все названные множества измеримы.Из п. 1(a) получаем:KintE ∪ KintF ⊂ E ∪ F ⊂ KextE ∪ KextF ⇒µ(KintE ∪ KintF ) 6 µ(E ∪ F ) 6 µ(KextE ∪ KextF ).Воспользуемся формулой (14.2) меры объединения клеточных множеств:µ(KintE ) + µ(KintF ) − µ(KintE ∩ KintF ) 6 µ(E ∪ F ) 6µ(KextE ) + µ(KextF ) − µ(KextE ∩ KextF ).Поскольку KintE ∩ KintF ⊂ Kext(E∩F ) и KextE ∩ KextF ⊃ Kint(E∩F ) , тоµ(KintE ) + µ(KintF ) − µ(Kext(E∩F ) ) 6 µ(E ∪ F ) 6µ(KextE ) + µ(KextF ) − µ(Kint(E∩F ) ).Полученная двусторонняя оценка справедлива для любых названных клеточных множеств, поэтому она переносится на точные грани:(µ(KintE ) + µ(KintF ) − µ(Kext(E∩F ) )) 6 µ(E ∪ F ) 6supKintE ,KintF ,Kext(E∩F )infKextE ,KextF ,Kint(E∩F )(µ(KextE ) + µ(KextF ) − µ(Kint(E∩F ) )).(14.6)Так как все названные клеточные множества определяются независимо другот друга, тоsup(µ(KintE ) + µ(KintF ) − µ(Kext(E∩F ) )) =KintE ,KintF ,Kext(E∩F )sup µ(KintE )+ sup µ(KintF )−KintEKintFinfKext(E∩F )µ(Kext(E∩F ) ) = µ(E)+µ(F )−µ(E ∩F ).156Я.
М. ДЫМАРСКИЙАналогично устанавливается, чтоinfKextE ,KextF ,Kint(E∩F )(µ(KextE )+µ(KextF )−µ(Kint(E∩F ) )) = µ(E)+µ(F )−µ(E∩F ).Теперь из двусторонней оценки (14.6) следует равенство (14.4).Доказательство п. 1(c). Во-первых, ∂(IntE) ⊂ ∂E, поскольку точки из IntEи IntE C не могут принадлежать границе ∂(IntE). Значит, µ(∂(IntE)) = 0и внутренность IntE является измеримым множеством. Теперь утверждениеследует из соотношенийE = IntE ∪ ∂E, IntE ∩ ∂E = ∅, Int(E) ⊂ E ⊂ E,равенства µ(∂E) = 0, монотонности меры (п. 1(a) теоремы) и формулы (14.4).Доказательство пп.
1(d ) и 1(e) следует из формулы (14.4) и леммы 14.1.Докажем п. 2. Из включенийKintE ⊂ E ⊂ KextE ,KintF ⊂ F ⊂ KextFследуют включенияKintE × KintF ⊂ E × F ⊂ KextE × KextF .Согласно п. 1(a) и формуле (14.3),µ(KintE ×KintF ) = µ(KintE )·µ(KintF ) 6 µ(KextE )·µ(KextF ) = µ(KextE ×KextF ).Полученная двусторонняя оценка справедлива для любых названных клеточных множеств, поэтому она переносится на точные грани:(µ(KintE ) · µ(KintF )) 6supKintE ,KintEinfKextE ,KextE(µ(KextE ) · µ(KextF )).Так как все названные клеточные множества определяются независимо другот друга, тоsup(µ(KintE ) · µ(KintF )) = sup µ(KintE ) · sup µ(KintF ) = µ(E) · µ(F ).KintE ,KintEKintEKintEАналогичноinfKextE ,KextE(µ(KextE ) · µ(KextF )) = µ(E) · µ(F ).Ноsup µ(KintE × KintF ) 6 sup µ(Kint(E×F ) ) = µ∗ (E × F )поскольку множество клеточных подмножеств {Kint(E×F ) } шире, чем множество клеточных модмножеств {KintE × KintF }.
Аналогичноinf µ(KextE × KextF ) > inf µ(Kext(E×F ) ) = µ∗ (E × F ).Значит, нижняя и верхняя меры множества E × F совпадают и вычисляютсяпо формуле (14.5). Из п. 1(e) вытекает157ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРСледствие 14.1. Конечная аддитивность меры Жордана: если любые два измеримых подмножества Ei и Ej из конечной совокупности подмножеств Ei ⊂ Rn (i = 1, ..., k) не имеютвнутренних точек, то мера(∪ общих) ∑kkих объединения равна сумме мер: µi=1 Ei =i=1 µ(Ei ).Задача 14.4. Воспользовавшись индукцией, докажите следствие 14.1.Пусть E ⊂ Rn – произвольное подмножество, а [a, b] ⊂ R – отрезок. Напомним, что цилиндрическим множеством (цилиндром) с основанием E мыназываем прямое произведение CylE := E × [a, b] ⊂ Rn+1 .
В теории многомерного интегрирования нам понадобится вытекающее из п. 2 теоремы 14.3Следствие 14.2. Цилиндр с измеримым основанием E измерим и его мераравна произведению меры основания на “высоту”: µ(CylE ) = µ(E) · (b − a).14.4. Примеры измеримых множеств.
В нашем распоряжении поканет измеримых множеств, кроме клеточных. Чтобы получить достаточно широкий класс измеримых множеств, нам потребуетсяЛемма 14.6. (о мере графика непрерывной функции) Пусть непрерывнаяфункция f : E → R определена на измеримом замкнутом множестве E ⊂ Rn .Тогда ее график Gr(f ) ⊂ Rn+1 имеет нулевую (n + 1)-мерную меру.Доказательство. Пусть E = Π – клетка, диаметр которой равен d. Будучи ограниченной и замкнутой, клетка компактна. Согласно теореме Кантора, непрерывная на Π функция равномерно непрерывна. По ϵ > 0 выберемтакое δ > 0, чтобы |f (x1 ) − f (x2 )| < (ϵ/µ(Π)) как только ρ(x1 , x2 ) < δ. Разобьемкаждое ребро клетки на N равных отрезков.
В результате клетка Π разбивается на N n равных “малых” клеток Πi,N , диаметр которых равен d/N (докажитесамостоятельно). Следовательно, для всех достаточно больших N ∈ N выполняется оценка: |f (x1 ) − f (x2 )| < ϵ как только x1 , x2 ∈ Πi,N . Обозначимчерез fi,min := minx∈Πi,N f (x), fi,max := maxx∈Πi,N f (x). График принадлежитстыковке цилиндров над малыми клетками (рис. 14.16):Gr(f ) ⊂nN⊔(Πi,N × [fi,min , fi,max ]).i=1В силу выбранного N , мера полученного клеточного множества допускает оценкуµ(nN⊔i=1N∑n(Πi,N × [fi,min , fi,max ])) < ϵi=1µ(Πi,N ) =ϵ· µ(Π) = ϵ.µ(Π)(14.7)Пусть E – произвольное измеримое замкнутое множество.
Поскольку E компактно, то |f (x)| < C = const для всех x ∈ E. Рассуждая как в доказательстведостаточности теоремы 14.2, по любому ε > 0:1) возьмем клеточное множество ∆K, мера которого меньше ε/(4C) и которое158Я. М. ДЫМАРСКИЙсодержит границу E; 2) ∆K порождает клеточное множество Kint , содержащееся в E и состыкованное с ∆K; 3) клеточное множество Kext = Kint ⊔ ∆Kсодержит E:∀ε > 0 ∃∆K ∧ ∃Kint :ε∧ ∂E ⊂ ∆K ∧ Kint ⊂ E ∧ E ⊂ Kext = Kint ⊔ ∆K.µ(∆K) <4Клеточное множество Kint состоит из конечного количества клеток, пусть ихk. График сужения функции f на каждую клетку принадлежит клеточномумножеству, мера которого удовлетворяет оценке (14.7), где возьмем ϵ = ε/(2k).Значит, график сужения f на Kint принадлежит клеточному множеству, меракоторого меньше, чем ε/2.
График сужения функции f на E ∩∆K содерждитсяв цилиндре ∆K ×[−C, C]. Мера последнего µ(∆K ×[−C, C]) < ε/(4C)·2C = ε/2.Следовательно, график функции f содержится в клеточном множестве, меракоторого меньше произвольного ε. Рис. 14.17Рис. 14.16Теперь мы можем описать класс измеримых множеств, которые понадобятсяв интегрировании:Теорема 14.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
