Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. ,x(n−1) (t0 )òåì ñàìûì, dim U = n.2 Óòâåðæäåíèå â óïðàæíåíèè íå ñëåäóåò ïóòàòü ñî ñëó÷àåì âûáîðà îäíîãî è òîãî æå áàçèñàëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñì. ïàðàãðàô ??.e=fäëÿ§334.. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎIII.2. Ïóñòü V = F(N) = {(f1, f2, . . .) | fi ∈ R} ïðîñòðàíñòâî ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Ôèáîíà÷÷èåâû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîãóò áûòü çàäàíû êàê ÿäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðàφ2 − φ − φ0 , ãäå φ : V → V îïåðàòîð ñäâèãà.§ 4. Ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâîÎïðåäåëåíèåÏðîñòðàíñòâî L(V, Ve ), ãäå Ve = R (èëè C)) íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì (èëè äâîéñòâåííûì) ïðîñòðàíñòâîì äëÿ ïðîñòðàíñòâà V .Òàêèì îáðàçîì, ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà L(V, Ve ),ãäå dim Ve = 1. Ýëåìåíòû ñîïðÿæåííîãî ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíûå ôóíêöèè (ôóíêöèîíàëû), ïîýòîìó ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî òàêæå íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíûõ ôóíêöèé.
Ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî äëÿ ïðîñòðàíñòâà V îáîçíà÷àåòñÿ V ∗.Åñëè dim V = n < ∞, òî dim V ∗ = n.◃ Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 2.2. Âñÿ òåîðèÿ î ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèÿõ ïåðåíîñèòñÿ íà ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà∗V .  ÷àñòíîñòè, åñëè çàôèêñèðîâàòü áàçèñ e = (e1 , e2 , . . . , en ) â ïðîñòðàíñòâå V òîêàæäàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ φ ïîëó÷àåò â ñîîòâåòñòâèå ìàòðèöó 1 × n, òî åñòü ñòðîêó(φ(e1 ), φ(e2 ), . . . , φ(en )). (Çäåñü ìû ñ÷èòàåì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Ve = R (èëè C)) çàôèêñèðîâàí áàçèñ ÷èñëî 1.)Åñëè a ∈ V è φ ∈ V ∗, òî íàðÿäó ñ çàïèñüþ φ(a) áóäåì èñïîëüçîâàòü çàïèñü ⟨a, φ⟩.
Ýòàçàïèñü óäîáíà, òàê êàê èìååòñÿ ëèíåéíîñòü ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, ò.å. ∀ a, a1, a2 ∈ V ; ∀φ, φ1 , φ2 ∈ V ∗ ; ∀λ ∈ R(C) âûïîëíåíî:⟨a1 + a2 , φ⟩ = ⟨a1 , φ⟩ + ⟨a2 , φ⟩, ⟨λa, φ⟩ = λ⟨a, φ⟩;⟨λa, φ1 + φ2 ⟩ = ⟨a, φ1 ⟩ + ⟨a, φ2 ⟩, ⟨a, λφ⟩ = λ⟨a, φ⟩.Ïðåäëîæåíèå 4.1.Âçàèìíûé áàçèñÁàçèñ ℓ = (ℓ1, ℓ2, . .
. , ℓn)ïðîñòðàíñòâà V ∗ íàçûâàåòñÿ âçàèìíûì (èëè áèîðòîãîíàëüíûì, èëè äâîéñòâåííûì) äëÿ áàçèñà e = (e1, e2, . . . , en) ïðîñòðàíñòâà V , åñëè⟨ei , ℓj ⟩ = δij . 3x1.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ℓ âçàèìíûé áàçèñ äëÿ áàçèñà e è a = e .. , òî ⟨a, ℓi ⟩ = xi .xnÏóñòü dim V = n. Òîãäà1. äëÿ ëþáîãî áàçèñà â V ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âçàèìíûé áàçèñ â V ∗;2.
Åñëè áàçèñû e è e′ â V ñâÿçàíû ìàòðèöåé ïåðåõîäàS (òî åñòü e′ = eS ), òî âçàèìíûåáàçèñû ℓ è ℓ′ â V ∗ ñâÿçàíû ìàòðèöåé ïåðåõîäà (S T )−1 (òî åñòü ℓ′ = ℓ(S T )−1).◃ 1. Äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãî j âåêòîð ℓj ∈ V ∗ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî êàê âåêòîð,êîòîðîìó â áàçèñå e ñîîòâåòñòâóåò ñòðîêà Ej = (0 0 .
. . 1 0 . . . 0) (åäèíèöà íà j -ì ìåñòå).Ñòðîêè E1, . . . , En îáðàçóþò áàçèñ â M1×n, ïîýòîìó ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V ∗.2. ÂÛÊËÀÄÊÀ... Ïðåäëîæåíèå 4.2.34Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÏóñòü dim V = n. Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ e = (e1, e2, . . . , en) ïðîñòðàíñòâà V è ñèñòåìà âåêòîðîâ ℓ = (ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn) ïðîñòðàíñòâà V ∗ (àïðèîðè íå èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìû) òàêîâû, ÷òî ⟨ei, ℓj ⟩ = δij äëÿ âñåõ i, j ∈ {1, .
. . , n}.Òîãäà e áàçèñ â V , à ℓ âçàèìíûé áàçèñ äëÿ e.◃ Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû âåêòîðîâ e1 , e2 , . . . , en (ëèíåéíóþ níåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû âåêòîðîâ ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn ìîæíî äîêàçàòü àíàëîãè÷íî).Ïóñòü ∑ λiei = o. Ïðèìåíèâ ê ýòîìó ðàâåíñòâó ℓj ∈ V ∗, èìååì (ñ ó÷åòîì ⟨ei, ℓj ⟩ = δij )i=1λj ⟨ej , ℓj ⟩ = 0 ⇒ λj = 0. Ïðåäëîæåíèå 4.3.ÏðèìåðûIII.1. Ïóñòü⟨g, fe0 ⟩ =∫bV = C[a, b],g(x)f0 (x) dx.èf0 ∈ V .Îïðåäåëèìfe0 ∈ V ∗ : ∀ g ∈ VïîëîæèìÄðóãîé ïðèìåð: δ-ôóíêöèÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ δα ∈ V ∗ òàêàÿ, ÷òî ∀ g ∈ V âûïîëíåíî: ⟨g, δα⟩ = g(α).III.2.
Ïóñòü V = Pn; α0, α1, . . . , αn ðàçëè÷íûå ÷èñëà. Äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ ôóíêíöèé ℓi = δα , i = 0, 1, . . . , n, áèîðòîãîíàëüíîé áóäåò ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâai∏(x − αk )k̸=ipi (x) = ∏(αi − αk ),k̸=ii = 0, 1, . . . , n. Èç ïðåäëîæåíèÿ 4.3 ñëåäóåò, ÷òî (ℓ0 , ℓ1 , . . .
, ℓn ) âçàèìíûéáàçèñà (p0, p1, . . . , pn). Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà p ∈ Pn ïî pi èìååò âèän∑áàçèñ äëÿp(αi )pi .i=0Ýòî òàê íàçûâàåìûé èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîã÷ëåí Ëàãðàíæà.§ 5. Ñòðóêòóðà ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÈíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâàÂàæíóþ èíôîðìàöèþ î ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè φ ∈ L(V, V ) ìîæíî óçíàòü, èçó÷àÿ èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà (òî åñòü èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî φ ïîäìíîæåñòâà V , ÿâëÿþùèåñÿ ïîäïðîñòðàíñòâàìè). Íàïîìíèì, ÷òî U ⊂ V íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíîφ, åñëè φ(U ) ⊂ U , ò.å. åñëè ∀ a ∈ U âûïîëíåíî φ(a) ∈ U .Âñÿêèé ðàç, êîãäà èìååòñÿ èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ∈ L(V, V ) ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 V , ìîæåì ãîâîðèòü î ñóæåíèè φ|U ∈ L(U, U ).Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, U 6 V , U = ⟨a1, . .
. , ak ⟩. ÒîãäàU èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ ∈ L(V, V ) ⇔ φ(a1 ), . . . , φ(ak ) ∈ U .◃ Ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 1.4. Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, è ïîäïðîñòðàíñòâà Ui 6 V ,kk∑∩i = 1, . . . , k , èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî φ ∈ L(V, V ). ÒîãäàUi èUi èíâàðèàíòíûi=1i=1îòíîñèòåëüíî φ.Ïðåäëîæåíèå 5.1.Ïðåäëîæåíèå 5.2.§355.. ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈßTO BE PROVED Ïðåäûäóùåå ïðåäëîæåíèå âåðíî è äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîäìíîæåñòâU1 , U2 , .
. . , Uk ⊂ V .Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, è φ, ψ ∈ L(V, V ) òàêîâû, ÷òîφψ = ψφ. Òîãäà Ker ψ , Im ψ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî φ.◃ TO BE PROVED Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R(C), φ ∈ L(V, V ) èλ ∈ R(C). Ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 V òàêîâî, ÷òî U > Im(φ − λ). Òîãäà U èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ.◃ TO BE PROVED Ïóñòü φ ∈ L(V, V ) èçîìîðôèçì. Ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 Vèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ ∈ L(V, V ) è dim U < ∞. Òîãäà U èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ−1.◃ Ñóæåíèå φ|U : U → U ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé, ïîýòîìó (ñì. òåîðåìó 1.3) ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.
Çíà÷èò(φ|U )−1 : U → U ñóæåíèå φ−1 íà U . Èíîãäà âèä ìàòðèöû ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ãîâîðèò î íàëè÷èè íåêîòîðûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, dim V = n < ∞, èφ ∈ L(V, V ) èìååò â áàçèñå e = (e1 , e2 , . .
. , en ) ìàòðèöó A = (aij ). ÏîäïðîñòðàíñòâîUk = ⟨e1 , e2 , . . . , ek ⟩ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ ⇔ aij = 0 äëÿ âñåõ i =(k + 1,). . . , n,B Cj = 1, 2, . . . , k (òî åñòü ìàòðèöà A èìååò áëî÷íî-òðåóãîëüíûé âèä, ãäåO DO ∈ M(n−k)×k íóëåâàÿ ìàòðèöà).Êðîìå òîãî, â òàêîì ñëó÷àå B ìàòðèöà ñóæåíèÿ φ|U â áàçèñå e1, e2, . .
. , ek ïðîñòðàíñòâà Uk .◃ Ïî îïðåäåëåíèþ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ, aij = 0 äëÿ âñåõ i = k + 1, . . . , n⇔ φ(ej ) ∈ ⟨e1 , e2 , . . . , ek ⟩. Îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì 5.1. Ïóñòü φ ∈ L(V, V ), φ −→e,f A. Òîãäà A âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ⇔ âñå ïîäïðîñòðàíñòâà ⟨e1, . . . , ek ⟩, k = 1, . .
. , n, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî φ.◃Çàìå÷àíèå.Ïðåäëîæåíèå 5.3.Ïðåäëîæåíèå5.4.Ïðåäëîæåíèå 5.5.Ïðåäëîæåíèå5.6.kÑëåäñòâèå.()B O,C DÀíàëîãè÷íî ïîñëåäíåìó ïðåäëîæåíèþ, A èìååò áëî÷íî-òðåóãîëüíûé âèäãäåO ∈ Mk×(n−k) ⇔ ⟨ek+1 , ek+2 , . . . , en ⟩ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ.Ïóñòü φ ∈ L(V, V ), φ −→e,f A, ãäå A áëî÷íî-äèàãîíàëüíûàÿ (ñ êâàäðàòíûìè áëîêàìè ðàçìåðîâ ni × ni ïî äèàãîíàëè). Êàêèå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî φïîäïðîñòðàíñòâà ìîæíî óêàçàòü?Óïðàæíåíèå.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà.Ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ ñâÿçàíû ñ èçó÷åíèåì îäíîìåðíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.36Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÏóñòü φ ∈ L(V, V ) âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R(C). ×èñëî λ0 ∈ R(C) íàçûâàåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ φ, åñëè ∃ a ∈ V òàêîé, ÷òî a ̸= o è φ(a) = λ0a.Åñëè a ̸= o è φ(a) = λ0a, òî âåêòîð a íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ïðåîáðàçîâàíèÿ φ, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ0.Ïóñòü φ ∈ L(V, V ), a ∈ V , a ̸= o.
Âåêòîð a ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ⇔ îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ⟨a⟩ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ.◃ TO BE PROVED Ïóñòü φ ∈ L(V, V ), a ∈ V , a ̸= o. Âåêòîð a ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìâåêòîðîì ïðåîáðàçîâàíèÿ φ, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ0 ⇔ a ∈ Ker(φ − λ0).◃ TO BE PROVED Ïóñòü λ0 ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ∈ L(V, V ). ÏîäïðîñòðàíñòâîKer(φ − λ0 ) íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ φ (îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ0).Ïðåäëîæåíèå 5.7.Ïðåäëîæåíèå 5.8.Ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü Vλ . Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ Vλ = Ker(φ − λ0) ñîäåðæèò âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ λ0, è o.Ïóñòü λ1, λ2, . .
. , λk ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿk∑Vλ ïðÿìàÿ ñóììà.φ ∈ L(V, V ). Òîãäà00Ïðåäëîæåíèå5.9.ii=1◃Ïðåäïîëîæèì, ïðîòèâíîå, è ïóñòü, ñêàæåì, a1 ∈ Vλ1 ∩k∑i=2Vλi , a1 ̸= o(ñì. òåîðåìó 3.1,ãëàâà ). Òîãäà a1 = ∑ ai äëÿ íåêîòîðûõ ai ∈ Vλ . Ïðèìåíèì ê ýòîìó ðàâåíñòâó ïðåîáðàk??ii=2çîâàíèå ψ = ∏ (φ−λi). Òàê êàê (φ−λi)(ai) = o è â ïðîèçâåäåíèè ∏ (φ−λi) ïðåîáðàçîâàíèÿkki=2i=2ïåðåñòàíîâî÷íû, òî ψ(ai) = o äëÿ i = 2, . . . , k.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ψ(a1) = ∏ (λ1 − λi)a1 ̸= o.i=2Ïðîòèâîðå÷èå. kÕàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíÄàëåå â ýòîì ïàðàãðàôå ïîëàãàåì dim V= n < ∞.Ïóñòü ïðåîáðàçîâàíèå φ ∈ L(V, V ) èìååò â íåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöó A. Ôóíêöèÿ|A − λE| ïåðåìåííîé λ íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ïðåîáðàçîâàíèÿφ.Óðàâíåíèå |A−λE| = 0 íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì, à åãî (êîìïëåêñíûå) êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ÷èñëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ φ.§375..
ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈßÎáîçíà÷åíèå äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà: χφ(λ).Ðàñêðûòèå îïðåäåëèòåëÿ |A − λE| ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì, è åãî ñòåïåíü ðàâíà n:χφ (λ) = (−1)n λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + . . . + an−1 λ + an .(2.3)Ïðè ýòîì n(èç ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëÿ |A − λE|) íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî∑a1 = (−1)n−1aii = (−1)n−1 tr A, an = χφ (0) = |A|.i=1Ðàçëîæèì (íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë) ìíîãî÷ëåí χφ(λ) íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè:χφ (λ) = (−1)n (λ − λ1 )s (λ − λ2 )s . .
. (λ − λk )s ,(2.4)ãäå λ1, λ2, . . . , λk ðàçëè÷íûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà, à s1, s2, . . . , sk èõ êðàòíîñòèk(òàê ÷òî ∑ si = n).i=11. Ñóììà (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) âñåõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ÷èñåëðàâíà tr A.2. Ïðîèçâåäåíèå (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) âñåõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ÷èñåë ðàâíà |A|.◃ Äîñòàòî÷íî ïðèðàâíÿòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû â (2.3) è (2.4) (èëè æå âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Âèåòà). Îòìåòèì, ÷òî åñëè ìàòðèöà A âåðõíåòðåóãîëüíàÿ, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà ñîâïàäàþò ñ ÷èñëàìè, ðàñïîëîæåííûìè íà äèàãîíàëè.Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå îáîñíîâûâàåò êîððåêòíîñòü îáîçíà÷åíèÿ χφ(λ).Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ∈ L(V, V ) íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà â V .−→◃ Íóæíîäîêàçàòü,÷òîåñëèφ −→èφ e ,e A′ ,òîe,e A|A − λE|=|A′ − λE|. Ïî òåîðåìå 2.3 A′=S −1 AS , ïîýòîìó12kÏðåäëîæåíèå 5.10.Ïðåäëîæåíèå 5.11.′′|A′ − λE| = |S −1 AS − λE| = |S −1 AS − λS −1 ES| = |S −1 (A − λE)S| = |S −1 | · |A − λE| · |S| == |S −1 | · |S| · |A − λE| = |S −1 S| · |A − λE| = |E| · |A − λE| = |A − λE|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
