Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Òàê êàê φ(a) = λ0a, òî (λ0a, a) = (a, λ0a), îòêóäàλ0 (a, a) = λ0 (a, a) ⇒ λ0 = λ0 ⇒ λ0 ∈ R.2) Ïîêàæåì, êàê ñëó÷àé åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà (íàä R) ñâåñòè ê ðàçîáðàííîìó. Ñ ó÷åòîìòåîðåìû 3.3 ïîëó÷àåì, ÷òî â ï.1) äîêàçàíî, ÷òî äëÿ êàæäîé ýðìèòîâî-ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A óðàâíåíèå |A − λE| = 0 èìååò ëèøü âåùåñòâåííûå êîðíè. Ýòîãî äîñòàòî÷íî, òàê êàêφ â ëþáîì ÎÍÁ èìååò ñèììåòðè÷íóþ ìàòðèöó.
(÷àñòíûé ñëó÷àé ýðìèòîâî-ñèììåòðè÷íîé).Ïóñòü φ ∈ L(E, E) ñàìîñîïðÿæåííîå ïðåîáðàçîâàíèå, λi ̸= λj åãîðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà Vλ ⊥ VλÏðåäëîæåíèå 3.2.ij◃ Ïóñòü ai ∈ Vλi è aj ∈ Vλj . Òîãäà (φ(ai ), aj ) = (ai , φ(aj )) ⇒ (λi ai , aj ) = (ai , λj aj ) ⇒λi (ai , aj ) = λj (ai , aj ).
Îòñþäà ñ ó÷åòîì λi ̸= λj ïîëó÷àåì (ai , aj ) = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü. (Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñàìîñîïðÿæåííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ) Ïóñòü dim E < ∞.Äëÿ ñàìîñïîðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ∈ L(E, E) ñóùåñòâóåò ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Òåîðåìà 3.5.Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî dim E .
Áàçà dim E = 1 î÷åâèäíà.Ïóñòü dim E = n è ïðåäïîëîæèì, äëÿ ðàçìåðíîñòè n − 1 óòâåðæäåíèå òåîðåìû âåðíî. Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííûé âåêòîð è íîðìèðóåì åãî, ïîëó÷èì en òàêîé, ÷òî |en| = 1 èφ(en ) = λn en . Ïîäïðîñòðàíñòâî ⟨en ⟩ ðàçìåðíîñòè 1 èíâàðèàíòíî, çíà÷èò U = ⟨en ⟩⊥ (n − 1)-ìåðíîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Êàê ìû çàìå÷àëè, ñóæåíèå φ íà U ñàìîñîïðÿæåííîå, è ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè â U ñóùåñòâóåò ÎÍÁ e1, . . . , en−1 èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Íî en ⊥ ei äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n − 1, ïîýòîìó e1, . . . , en−1, en èñêîìûé ÎÍÁâ E.
Ïîñëåäíÿÿ òåîðåìà ôàêòè÷åñêè óñèëèâàåò ïðåäëîæåíèå 3.2: ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ E = Vλ ⊕ Vλ ⊕ . . . ⊕ Vλ , ãäå Vλ , i = 1, . . . , k, ïîïàðíîîðòîãîíàëüíûå ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà.Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïîñëåäíåé òåîðåìû: ñàìîñîïðÿæåííîå ïðåîáðàçîâàíèå êîìïîçèöèÿ <îáîáùåííûõ ðàñòÿæåíèé¿ (ò.å. ñ ëþáûì âåùåñòâåííûì êîýôôèöèåíòîì)âäîëü îðòîãîíàëüíûõ îñåé.  ÷àñòíîñòè, îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòèðîâàíèÿ è îòðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè.◃12ki58Ãëàâà 4.ÅÂÊËÈÄÎÂÛ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ§ 4. Èçîìîðôèçì.
Îðòîãîíàëüíûå è óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿÈçîìîðôèçì åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâÏóñòü äàíû äâà åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâà E1 è E2.Îòîáðàæåíèå φ : E1 → E2 íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâ, åñëè φ èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì:∀ a, b ∈ E1 âûïîëíåíî (φ(a), φ(b)) = (a, b).Èòàê, èçîìîðôèçì åêâëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ ýòî îáû÷íûé èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, êîòîðûé âäîáàâîê ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.Äâà åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâà E1 è E2 íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëèñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì φ : E1 → E2.Îáîçíà÷åíèå ∼= (êàê è â ñëó÷àå îáû÷íîãî èçîìîðôèçìà).
Êàê è äëÿ îáû÷íîãî èçîìîðôèçìà ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî.... (ñì. ....).Ïóñòü dim E1 = dim E2 = n < ∞ è φ ∈ L(E1 → E2), e = (e1, . . . , en) ÎÍÁ â E1. Òîãäà φ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâ ⇔(φ(e1 ), . . . , φ(en )) ÎÍÁ â E2 .◃ ⇒ Ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ èçîìîðôèçìà åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâ: φ(ei), φ(ej )) = (ei, ej )) = δij .⇐ Òàê êàê φ ïåðåâîäèò áàçèñ â áàçèñ, òî φ (îáû÷íûé) èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ(ñì.....). nÂîçüìåì ïðîèçâîëüíûån âåêòîðû a è b èçn V è ðàçëîæèì èõ ïî áàçèñó e:n∑∑∑∑yi φ(ei ).
Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4xi φ(ei ), φ(b) =yi ei . Òîãäà φ(a) =xi ei , b =a=Ïðåäëîæåíèå 4.1.i=1i=1èç ïðåäëîæåíèÿ 2.2: (a, b) =n∑i=1i=1xi yi = (φ(a), φ(b)). i=1Äâà êîíå÷íîìåðíûõ åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâà E1 è E2 èçîìîðôíû ⇔ dim E1 = dim E2.◃ ⇒ Åñëè dim E1 ̸= dim E2 , òî E1 è E2 íå èçîìîðôíû äàæå êàê îáû÷íûå âåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà. ⇐ Åñëè dim E1 = dim E2, òî äîñòàòî÷íî âçÿòü ÎÍÁ â êàæäîì èç ïðîñòðàíñòâè âçÿòü ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : E1 → E2, ïåðåâîäÿùåå ÎÍÁ â ÎÍÁ (òàêîå φ ñóùåñòâóåòïî ....). Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ , φ áóäåò èçîìîðôèçìîì. Òåîðåìà 4.1.??§ 5. Îðòîãîíàëüíûå è óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿËèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå φ : E → E íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì (óíèòàðíûì), åñëè ∀a, b ∈ V âûïîëíåíî(φ(a), φ(b)) = (a, b).Îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîõðàíÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Ãåîìåòðè÷åñêè ýòîîçíà÷àåò ñîõðàíåíèå äëèí è (â ñëó÷àå åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà) óãëîâ, ò.å. åñëè ìûñëèòü ñåáå âåêòîðû êàê ðàäèóñ-âåêòîðû ñ íà÷àëîì â O, òî ïðîèñõîäèò ¾äâèæåíèå¿ ñ íåïîäâèæíîéòî÷êîé O. Äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâ îðòîãîíàëüíûå (óíèòàðíûå) ïðåîáðàçîâàíèå ýòî â òî÷íîñòè èçîìîðôèçìû íà ñåáÿ:§5.. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß59Ïóñòü dim E = n < ∞, φ ∈ L(E → E).
Òîãäà φ îðòîãîíàëüíîå(óíèòàðíîå) ⇔ φ èçîìîðôèçì åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâ.◃ ⇒ Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü áèåêòèâíîñòü φ. Íî èç îïðåäåëåëíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëåäóåò, ÷òî φ ïåðåâîäèò ÎÍÁ â íåêîòîðóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó èç nâåêòîðîâ, ò.å. â ÎÍÁ.⇐ Î÷åâèäíî ïî îïðåäåëåíèþ èçîìîðôèçìà. Ïóñòü dim E = n < ∞, φ ∈ L(E → E), (e1, . . . , en) ÎÍÁ â E . Òîãäà φÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì (óíèòàðíûì) ïðåîáðàçîâàíèåì ⇔ (φ(e1), .
. . , φ(en)) ÎÍÁ â E .Ïóñòü dim E = n < ∞, e = (e1, . . . , en) ÎÍÁ â E . Ïóñòü φ ∈ L(E → E)A. Òîãäà φ ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì (óíèòàðíûì) ïðåîáðàçîâàíèåì ⇔ Aòàê, ÷òî φ −→e,e îðòîãîíàëüíàÿ (óíèòàðíàÿ) ìàòðèöà.Ïóñòü dim E = n < ∞, φ ∈ L(E → E). Òîãäà φ ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì(óíèòàðíûì) ïðåîáðàçîâàíèåì ⇔ φ îáðàòèìî, ïðè÷åì φ∗ = φ−1.◃ Äîêàæåì â òåðìèíàõ ìàòðèö (õîòÿ ìîæíî âûâåñòè íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ).∗ −→ ∗−1 −→ −1∗−1Ïóñòü e ÎÍÁ â E òàê, ÷òî φ −→e,e A. Òîãäà φ e,e A , φe,e A . Ïîñêîëüêó A = A ,ïîëó÷àåì φ∗ = φ−1.
(Ãðóïïîâûå ñâîéñòâà) Ïóñòü dim E = n < ∞, φ, ψ ∈ L(E, E) îðòîãîíàëüíûå (óíèòàðíûå) ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òîãäà ïðåîáðàçîâàíèÿ φψ è φ−1 òàêæå îðòîãîíàëüíûå (óíèòàðíûå).◃ Ìîæíî âûâåñòè èç îïðåäåëåíèÿ èëè èç ïðåäëîæåíèÿ... (îðòîã. ìàòðèöû). Ïóñòü φ ∈ L(E, E) îðòîãîíàëüíîå (óíèòàðíîå) è λ0 åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ÷èñëî. Òîãäà |λ0| = 1.◃ 1) Äîêàæåì âíà÷àëå óòâåðæäåíèå äëÿ óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà (íàä C). Ïóñòüa ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ0 .
Ðàâåíñòâî(φ(a), φ(a) = (a, a) ïðèíèìàåò âèä (λ0 a, λ0 a) = (a, a), îòêóäà λ0 λ0 (a, a) = (a, a) ⇒ λ0 λ0 = 1⇒ |λ0 | = 1.2) Ïîêàæåì, êàê ñëó÷àé åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà (íàä R) ñâåñòè ê ðàçîáðàííîìó.  ï.1)äîêàçàíî, ÷òî äëÿ êàæäîé óíèòàðíîé ìàòðèöû A óðàâíåíèå |A − λE| = 0 èìååò ëèøü êîðíè ïî ìîäóëþ ðàâíûå 1. Ýòîãî äîñòàòî÷íî, òàê êàê φ â ëþáîì ÎÍÁ èìååò îðòîãîíàëüíóþìàòðèöó (÷àñòíûé ñëó÷àé óíèòàðíîé ìàòðèöû).
 óíèòàðíîì (íàä C) ïðîñòðàíñòâå èìååòñÿ ðåçóëüòàò, à àíàëîãè÷íûé òåîðåìå 3.5.(êàíîíè÷åñêèé âèä óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâíèÿ) Ïóñòü E óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî, dim E < ∞. Äëÿ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ∈ L(E, E) ñóùåñòâóåò ÎÍÁ èçñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.◃ Äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.5 ñ ñëåäóþùèì íåáîëüøèì îòëè÷èåì â îáîñíîâàíèè èíâàðèàíòíîñòè U = ⟨en⟩⊥ îòíîñèòåëüíî φ: ïî òåîðåìå 3.1 U èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ∗ = φ−1; íî òîãäà ïî ïðåäëîæåíèþ ....
ãëàâû ... , U èíâàðèàíòíî èîòíîñèòåëüíî φ. Ïðåäëîæåíèå 5.1.Ñëåäñòâèå 1.Ñëåäñòâèå 2.Ñëåäñòâèå 3.Ïðåäëîæåíèå 5.2.Ïðåäëîæåíèå 5.3.Òåîðåìà 5.1.R) ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îêàíîíè÷åñêîì âèäå îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïóñòü φ ∈ L(E, E) îðòîãîíàëüíîå. Òîãäà E ïðÿìàÿÀíàëîãîì ïîñëåäíåé òåîðåìû äëÿ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà (íàäñóììà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ðàçìåðíîñòè 1 èëè 2.Äîêàçàòü ýòî ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è òåîðåìó 3.5 èñïîëüçóÿ, ÷òî ó ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âåùåñòâåííîãîïðîñòðàíñòâà íàéäåòñÿ îäíîìåðíîå ëèáî äâóìåðíîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.60Ãëàâà 4.ÅÂÊËÈÄÎÂÛ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÏîëÿðíîå ðàçëîæåíèåÏóñòü dim E = n < ∞, φ, ∈ L(E, E). Òîãäà ñóùåñòâóþò ñàìîñîïðÿæåííîåïðåîáðàçîâàíèå ψ è îðòîãîíàëüíîå (óíèòàðíîå) ïðåîáðàçîâàíèå θ òàêèå, ÷òîÒåîðåìà 5.2.φ = ψθ.◃ Ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ î ãåîìåòðèè ïðîèçâîëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà: ýòî êîìïîçèöèÿ íåêîòîðîãî ¾äâèæåíèÿ¿ è ¾îáîùåííûõ ðàñòÿæåíèé¿ê îðòîãîíàëüíûì îñÿì.Âûâåäèòå èç òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèå ðàçëîæåíèÿ φ = θ1ψ1, ãäå ψ1 ñàìîñîïðÿæåííîå, θ1 îðòîãîíàëüíîå.Óïðàæíåíèå.§ 6.
Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûÏóñòü k êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà â åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâåE . Òîãäà ñóùåñòâóåò ÎÍÁ, â êîòîðîì k èìååò äèàãîíàëüíûé âèä.Òåîðåìà 6.1.◃ ×ÅÐÅÇ ïðèñîåäèí. ïðåîáðàçîâàíèå? (ïðèìåð ïîäúåìà èíäåêñà?) èëè ÷åðåç ìàòðèöû?(Òåîðåìà î ïàðå ôîðì) Ïóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V (áåç åâêëèäîâîéèëè óíèòàðíîé ñòðóêòóðû) çàäàíû êâàäðàòè÷íûå ôîðìû f è g, ïðè÷åì g ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåíà. Òîãäà ñóùåñòâóåò áàçèñ, â êîòîðîì g èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä, à f èìååòäèàãîíàëüíûé âèä.◃ Çàôèêñèðóåì áèëèíåéíóþ (ïîëóòîðàëèíåéíóþ) ñèììåòðè÷íóþ ôîðìó, êîòîðàÿ ïîðîæäàåò g, êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ïðè ýòîì V ïðåâðàòèëîñü â åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâî. Òåïåðü äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 6.1, ïîñêîëüêó ÎÍÁ ýòîáàçèñ, â êîòîðîì g èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä (ñì.
ñëåäñòâèå 2 ïðåäëîæåíèÿ 2.2). Ïðèâåäèòå ïðèìåð ïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, äëÿ êîòîðûõ íå ñóùåñòâóåò áàçèñà, â êîòîðîì îíè îáå èìåþò äèàãîíàëüíûé âèä.Óêàçàíèå. Ìîæíî ïîäîáðàòü ôîðìû, äëÿ êîòîðûõ èíâàðèàíò|F − λG| èìååò õîòÿ áû îäèí íå âåùåñòâåííûé êîðåíü.ÑëåäñòâèåÓïðàæíåíèå..§616.. ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÎÐÌÛÑïèñîê èñïîëüçóåìûõ îáîçíà÷åíèéçíàê ñëåäñòâèÿçíàê ýêâèâàëåíòíîñòè (ðàâíîñèëüíîñòè)êâàíòîð âñåîáùíîñòèêâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ⇒⇔∀∃a∈Aa∈/A∅A = {a1 , a2 , . . .
, an }NZRC ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõB⊂AB⊆A{a∪ ∈ A|X}ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Aíå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Aïóñòîå ìíîæåñòâîìíîæåñòâî ñ ýëåìåíòàìè a1, a2, . . . , anìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåëìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåëìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåëaa÷èñåëf :X→Yf (X ′ )IIXδijÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà Aÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà Aïîäìíîæåñòâî A, çàäàííîå óñëîâèåì Xîáúåäèíåíèå (ìíîæåñòâ)ïåðåñå÷åíèå (ìíîæåñòâ)ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è Bäåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå (ìíîæåñòâ)çíàê ñóììèðîâàíèÿîòîáðàæåíèå èç X â Yîáðàç ïîäìíîæåñòâà X ′ ïðè îáîòîáðàæåíèè fòîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèåòîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå X → Xñèìâîë Êðîíåêåðà, δij = 1 ïðè i = j è δij = 0 ïðè i ̸= jMm×nMm×n (K)M+n×nM−n×n(aij )ai •a•jdiag(λ1 , λ2 , .
. . , λn )EEnA+BλAìíîæåñòâî ìàòðèö ðàçìåðà m × nìíîæåñòâî ìàòðèö ðàçìåðà m × n ñ ýëåìåíòàìè èç ìíîæåñòâà Kñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû n × nêîñîñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû n × nìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè aijñòîêà ñ íîìåðîì i ìàòðèöû (aij )ñòîëáåö ñ íîìåðîì j ìàòðèöû (aij )äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöàåäèíè÷íàÿ ìàòðèöàåäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà nñóììà ìàòðèö A è Bïðîèçâåäåíèå ìàòðèöû A íà ÷èñëî λ∩A\B×∑BB62Ãëàâà 4.íóëåâàÿ ìàòðèöà (íåêîòîðîãî ðàçìåðà)ìàòðèöà, ïðîòèâîïîëîæíàÿ ìàòðèöå Aìàòðèöà, òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê ìàòðèöå Aïðîèçâåäåíèå ìàòðèö A è Bìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå Aìàòðèöà, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ äëÿ ìàòðèöû A, ò.å åñëè A =ñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöà, ò.å A∗ = ATðàíã ìàòðèöû Añëåä ìàòðèöû Aîïðåäåëèòåëü (äåòåðìèíàíò) ìàòðèöû Aìàòðè÷íàÿ çàïèñü ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéîáùåå ðåøåíèå (ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé) ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðO−AATABA−1AA∗rg Atr A|A| èëè det AAX = bSol(AX = b)ao−aU 6V⟨a1 , a2 , .
. . , ak ⟩⟨A⟩rg Arg(a1 , a2 , . . . , ak )dim Va = eXe′ = eSA1 + A2 + . . . + AkU1⊕U2L(V, Ve )V ∼= Ve−→φ e,f AV∗⟨a, φ⟩Im φKer φ⊕...ÅÂÊËÈÄÎÂÛ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ⊕Ukèëè ∑ Aikèëèi=1k⊕i=1Uiâåêòîð a (ýëåìåíò âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà)íóëåâîé âåêòîðâåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó aU ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå Vëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ a1, a2, . .
. , akëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ Aðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ Aðàíã êîíå÷íîé ñèñòåìû âåêòîðîâ a1, a2, . . . , akðàçìåðíîñòü âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Vâåêòîð a èìååò êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö X â áàçèñå e (èëè a ðàñêS ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e′ñóììà (ïî Ìèíêîâñêîìó)ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé V → VeV èçîìîðôíî VeA ìàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ â ïàðå áàçèñîâ e è fñîïðÿæåííîå (äâîéñòâåííîå) ïðîñòðàíñòâîçíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà φ ∈ V ∗ íà âåêòîðå a ∈ Vîáðàç îòîáðàæåíèÿ φÿäðî îòîáðàæåíèÿ φ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
