Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Îáîçíà÷åíèå äëÿ îðòîãîíàëüíîñòè ïðåæíåå, íàïðèìåð a ⊥ U çíà÷èò âåêòîð a îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó èç U . ×àùå íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü îðòîãîíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ïî÷òè î÷åâèäíî, ÷òî îðòîãîíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ïåðåñåêàþòñÿ òðèâèàëüíî. Áîëåå îáùèé ôàêò äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Ïóñòü U1, . . . , Uk ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà åâêëèäîâà(óíèòàðíîãî) ïðîñòðàíñòâà E . Òîãäà ñóììà U1 + . . .
+ Uk ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé.◃ Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâîíîå, ïóñòü ñêàæåì íàéäåòñÿ íåíóëåâîé a ∈ U1 ∩ (U2 + . . . + Uk )(ïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì èç òåîðåìû ... ãëàâû....). Òîãäà a = a2 + . . . + ak , ãäå ai ∈ Ui.Ïåðåíåñåì âñå ñëàãàåìûå â ëåâóþ ÷àñòü è âû÷åðêíåì íóëåâûå âåêòîðû, òîãäà ïîëó÷åì, ÷òîñóììà íåíóëåâûõ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ ðàâíà o.
Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ñëåäñòâèþ1 èç ïðåäëîæåíèÿ . (ïðèçíàê îðòîãîíàëüíîñòè) Ïóñòü U1 = ⟨a1, . . . , ak ⟩, U2 = ⟨b1, . . . , bl ⟩.ÒîãäàU1 ⊥ U2 ⇔ ai ⊥ bj , i = 1, 2, . . . , k , j = 1, 2, . . . , l.◃ ⇒ Î÷åâèäíî èç îïðåäåëåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâ.kl∑∑⇐ Ïóñòü a ∈ U1 , b ∈ U2 . Òîãäà ñóùåñòâóþò ðàçëîæåíèÿ a =αi ai , b =βj bj . ÒîãäàÒåîðåìà 2.2.??Ïðåäëîæåíèå 2.7.i=1èç ëèíåéíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì (a, b) =k ∑l∑i=1 j=1j=1αi βj (ai , bj ) = 0, ò.å.
a ⊥ b.Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå. Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿÎðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâà U (â åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâå E ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ U .⊥⊥Îáîçíà÷åíèå äëÿ îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ:⊕ U⊥ . Èòàê, U = {a | a ⊥ U }. Î÷åâèäíî,⊥U ⊥ U , çíà÷èò ñîãëàñíî òåîðåìå 2.2, èìååì UU .
 ñëó÷àå dim U < ∞ ìîæíî óñèëèòüòàê.54Ãëàâà 4.ÅÂÊËÈÄÎÂÛ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÏóñòü U 6 E , dim U = k < ∞. ÒîãäàUU⊥ = E .◃ Ïðåäñòàâèì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a ∈ E â âèäå ñóììû a1 + a2 , ãäå a1 ∈ U , a1 ⊥ U .Âîçüìåì â U îðòîãîíàëüíûé áàçèñ b1, . . . , bk è ïðåäñòàâèì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a ∈ Vâ âèäå a = α1b1 + . . . + αk bk + c. Äîñòàòî÷íî ïîäîáðàòü êîýôôèöèåíòû α1, . .
. , αk òàê, ÷òîáûc = a − α1 b1 − . . . − αk bk áûë îðòîãîíàëåí U . Ïîñëåäíåå ðàâíîñèëüíî (ñì. ïðåäëîæåíèå 4.1)òîìó, ÷òî (c, bi) = 0, i = 1, . . . , k. Ââèäó îðòîãîíàëüíîñòè bi ⊥ bj , i ̸= j , èìååì (c, bi) = 0(a, bi )⇔ (a, bi ) − αi (bi , bi ) = 0 ⇔ αi =.(b , b )Òåîðåìà 2.3.⊕iiÅñëè dim E = n < ∞, U 6 E è dim U = k, òî dim U ⊥ = n − k.Åñëè dim E = n < ∞ è U 6 E , òî (U ⊥)⊥ = U .◃ Òàê êàê U ⊥ U ⊥ , òî U ⊂ (U ⊥ )⊥ . Íî ïî ñëåäñòâèþ 1, dim U = dim(U ⊥ )⊥ = n − dim U ⊥ .Çíà÷èò (ñì....), (U ⊥)⊥ = U . Ïóñòü dim E = n < ∞.
Òîãäà äàííóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó íåíóëåâûõâåêòîðîâ ìîæíî äîïîëíèòü äî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà.◃ Ïóñòü b1 , . . . , bk äàííàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà, ïîëîæèì U = ⟨b1 , . . . , bk ⟩.  ñèëó2.2, b1, . . . , bk îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â U . Ïóñòü bk+1, . . . , bn îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â U ⊥.Òîãäà b1, . . . , bk⊕, bk+1, . . . , bn îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â E . Ôîðìóëà U U ⊥ = E îïðàâäûâàåò òåðìèí ¾îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå¿. Ýòî ÷àñòíûéñëó÷àé ïðÿìîãî äîïîëíåíèÿ (ñì.
....).  òàêîì ñëó÷àå óïðîñòèì òåðìèíîëîãèþ è îáîçíà÷åíèÿ.Îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà a íà ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 E íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèÿa íà U âäîëü U ⊥ .Ñëåäñòâèå 1.Ñëåäñòâèå 2.Ñëåäñòâèå 3.Îáîçíà÷åíèå äëÿ îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè: prU a(ôîðìóëà ïðîåêöèè) Ïóñòü a ∈ E , U 6 E è b1, . . .
, bk îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â U . ÒîãäàÏðåäëîæåíèå 2.8.k∑(a, bi )prU a =bi .(bi , bi )i=1 äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.3 ìû óæå íàøëè íóæíîå âûðàæåíèå äëÿ prU a (â âèäå(a, bi ).α1 b1 + . . . + αk bk , ãäå αi =(bi , bi )Äëÿ Ui 6 E , dim Ui < ∞, i = 1, 2 äîêàæèòå, ÷òî (U1 + U2)⊥ = U1⊥ ∩ U2⊥.Ïðîåêöèè ìîãóò åñòåñòâåííî âîçíèêàòü â çàäà÷àõ íà ýêñòðåìóì:(ðàññòîÿíèå äî ïîäïðîñòðàíñòâà) Ïóñòü U 6 E , dim U < ∞. Òîãäàmin |a − x| = | prU a|.x∈U◃ Ïðåäñòàâèì a êàê a = a1 + a2 , ãäå a1 = prU a, a2 = prU a.
Òîãäà äëÿ x ∈ U èìååì|a − x|2 = |a1 + a2 − x|2 = |(a1 − x) + a2 |2 . Òàê êàê (a1 − x) ⊥ a2 , ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà|(a1 − x) + a2 |2 = |a1 − x|2 + |a2 |2 > |a2 |2 . Ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî ïðèx = a1 . Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ðàáîòå â ñ êîîðäèíàòàìè â ÎÍÁ î÷åíüëåãêî ïîëó÷àòü îïèñàíèå îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ.◃Óïðàæíåíèå.Ïðåäëîæåíèå 2.9.⊥⊥§ .3.ÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ. ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍ(Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå â êîîðäèíàòàõ) Ïóñòü e ÎÍÁ â E ,U = ⟨a1 , . .
. , ak ⟩, ãäå a1 , . . . , ak âåêòîðû c ñ êîîðäèíàòíûìè ñòîëáöàìè X1 , . . . , Xk â ÎÍÁe, Φ ìàòðèöà ñî ñòîëáöàìè Xi : Φ = (X1 . . . Xk ). Òîãäà U ⊥ çàäàåòñÿ (â êîîäèíàòàõ âÎÍÁ e) êàê Sol(Φ∗X = O).◃ Ñèñòåìà Φ∗ X = O ñîñòîèò èç óðàâíåíèé âèäà XiT X = 0. Ýòè óðàâíåíèÿ îçíà÷àþò,÷òî âåêòîð x ñ êîîðäèíàòíûì ñòîëáöîì X îðòîãîíàëåé ai, i = 1, . . . , k.  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ4.1, ýòî ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ b ⊥ U . (Òåîðåìà Ôðåäãîëüìà äëÿ ÑËÓ) Ïóñòü äàíà ÑËÓ AX = b (ñ ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ A ðàçìåðà m × n.
Òîãäà AX = b ñîâìåñòíà ⇔ ∀ Y0 ∈ Sol(A∗Y = O) âûïîëíåíî¾óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè¿: b∗Y = 0.◃ Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî E = Mm×1 ñòîëáöîâ âûñîòû m ñî ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ñòîëáöû a•1, . . . , a•n ìàòðèöû A è ñòîëáåö b ëåæàò â E . Óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû AX = b ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî b ∈ U , ãäå U = ⟨a•1, . . .
, a•n⟩. Äàëåå,U ⊥ = Sol(A∗ Y = O), ïîýòîìó ¾óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè¿ ∀ Y0 ∈ Sol(A∗ Y = O) ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî b ⊥ U ⊥. Íî î÷åâèäíî, b ∈ U ⇔ b ⊥ U ⊥. Ïðåäëîæåíèå 2.10.Ñëåäñòâèå.ÎðòîãîíàëèçàöèÿÏóñòü èçíà÷àëüíî ïîäïðîñòðàíñòâî çàäàíî êàê ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîéñèñòåìû âåêòîðîâ: U = ⟨a1, .
. . , ak ⟩, à òðåáóåòñÿ íàéòè îðòîãîíàëüíûé (èëè ÎÍÁ) áèçèñ â U(íàïðèìåð, ÷òîáû ïîñëå ýòîãî áûëà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ prU a). Ôàêòè÷åñêè ýòî òà æå ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ áàçèñà, â êîòîðîì ôîðìà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿèìååò äèàãîíàëüíûé (êàíîíè÷åñêèé âèä). Íî ââèäó âàæíîñòè ýòîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, äàäèìíåñêîëüêî äðóãîå îïèñàíèå ïðöåäóðû (ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðàíèÿ). Àëãîðèòì íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëèçàöåé Ãðàìà-Øìèòäà.Ïîëîæèì Ui = ⟨a1, . . .
, ai⟩, òàê ÷òî Ui+1 = Ui ∪{ai+1}. Èäåÿ ñëåäóþùàÿ: áóäåò ïî î÷åðåäè¾ïîïðàâëÿòü¿ âåêòîðû ai, çàìåíÿÿ íà bi = prU ai òàê, ÷òî bi ⊥ Ui−1 è Ui = ⟨b1, . . . , bi⟩.Ïîëó÷èì ÿâíûå ôîðìóëû. Ïåðâûé íåíóëåâîé âåêòîð at èç ñïèñêà a1, . . . , ak ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì â Ut. Ïóñòü íà íåêîòîðîì øàãå ìû óæå èìååì îðòîãîíàëüíûé áàçèñb1 , .
. . , bℓ â Um . Çàìåíÿåì am+1 íà âåêòîð am+1 − prU am+1 , ò.å. íàℓ (a∑m+1 , bi )am+1 −bi . Åñëè ïîñëåäíèé âåêòîð íóëåâîé (ýòî ñîîòâåòñâóåò ñëó÷àþ(b , b )⊥i−1mi=1iiam+1 ∈ Um ), òî ïðîïóñòèì åãî, åñëè îí íåíóëåâîé, òî îáúÿâèì bℓ+1 = am+1 −òåì ñàìûì äîñòðàèâàÿ îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â Um+1.§ 3. Ñîïðÿæåííîåïðåîáðàçîâàíèå.ℓ (a∑m+1 , bi )bi ,i=1 (bi , bi )Ñàìîñîïðÿæåííûåïðåîáðàçîâàíèÿ.Ñîïðÿæåííîå ïðåîáðàçîâàíèåÐàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâíèå φ : E → E .Ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ψ : E → E íàçûâàþò ñîïðÿæåííûì ïðåîáðàçîâàíèþ φ, åñëè∀ a, b ∈ E âûïîëíåíî(φ(a), b) = (a, ψ(b)) .56Ãëàâà 4.ÅÂÊËÈÄÎÂÛ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÎáîçíà÷åíèå äëÿ ñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ: φ∗.
Èç îïðåäåëåíèÿ íåÿñíî, ñóùåñòâóåòëè φ∗ è åäèíñòâåííî ëè îíî. Ýòîò íåäîñòàòîê îïðåäåëåíèÿ áóäåò óñòðàíåí ïîñëå ñëåäóþùåãîïðåäëîæåíèÿ.−→Ïóñòü dim E < ∞, e ÎÍÁ â E . Ïóñòü φ, ψ ∈ L(E, E), φ −→e,e A, ψ e,e B .ÒîãäàÏðåäëîæåíèå 3.1.ψ = φ∗ ⇔ B = A∗ .Ïóñòü a = eX , b = eY . Èìååì: (φ(a), b) = (AX)T Y = X T AT Y = β1(a, b), ãäå β1 áèëèíåéíàÿ (ïîëóòîðàëèíåéíàÿ) ôîðìà ñ ìàòðèöåé AT .(a, ψ(b)) = X T BY = X T BY = β2 (a, b), ãäå β2 áèëèíåéíàÿ (ïîëóòîðàëèíåéíàÿ) ôîðìà ñìàòðèöåé B .Òåïåðü óòâåðæäåíèå òåîðåìû îçíà÷àåò, ÷òî ðàâíîñòâî ôîðì β1 = β2 ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâóèõ ìàòðèö (â îäíîì áàçèñå). Ñôîðìóëèðóéòå àíàëîã ïðåäûäóùåãî ïðåäëîæåíèÿ â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå ñ ìàòðèöåé Ãðàìà Γ.Ïóñòü dim E < ∞.
Äëÿ äàííîãî φ ∈ L(E, E) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííîåφ∗ .Ïóñòü dim E < ∞, φ, ψ ∈ L(E, E). Òîãäà∗ ∗1) (φ ) = φ;2) (φψ)∗ = ψ∗φ∗; 3) rg(φ) = rg(φ∗); 4) χφ(λ) = χφ (λ).◃ Ââåäåì ÎÍÁ e è ïåðåéäåì ê ìàòðèöàì ïðåîáðàçîâàíèÿ â ýòîì ÎÍÁ. Ñâîéñòâà 1) 3) ñðàçó ñëåäóþò èç ñîîòâåòñâóþùèõ ñâîéñòâ äëÿ ìàòðèö.4) χφ(λ) = |A − λE| χφ (λ) = |A∗ − λE| = |AT − λE| = |(A − λE)T | = |A − λE|. Ïóñòü U 6 E , dim E < ∞, φ ∈ L(E, E). ÒîãäàU èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ ⇔ U ⊥ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî φ∗ .◃ ⇒ Ïóñòü b ∈ U ⊥ .
Òðåáóåòñÿ ïîíÿòü, ÷òî φ∗ (b) ∈ U ⊥ , òî åñòü ÷òî ∀ a ∈ U âûïîëíåíî(a, φ∗ (b)) = 0. Íî (a, φ∗ (b)) = (φ(a), b) = 0, òàê êàê φ(a) ∈ U ââèäó èíâàðèàíòíîñòè Uîòíîñèòåëüíî φ.⇐ Àíàëîãè÷íî ââèäó (φ∗ )∗ = φ è (U ⊥ )⊥ = U . (Òåîðåìà Ôðåäãîëüìà) Ïóñòü dim E = n < ∞, φ ∈ L(E, E). Òîãäà◃Óïðàæíåíèå.Ñëåäñòâèå 1.Ñëåäñòâèå 2.∗∗Òåîðåìà 3.1.Òåîðåìà 3.2.Ker φ∗ = (Im φ)⊥ .Âî-ïåðâûõ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà Ker φ∗ è (Im φ)⊥ èìåþò ðàâíûåðàçìåðíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîð.....
dim Ker φ∗ = n − rg φ∗ = n − rg φ, à ïî ....dim(Im φ)⊥ = n − dim(Im φ) = n − rg φ.Çíà÷èò, ñîãëàñíî ....., äîñòàòî÷íî äîêàçàòü âêëþ÷åíèå Ker φ∗ ∈ (Im φ)⊥. Ïóñòüb ∈ Ker φ∗ . Ïîêàæåì, ÷òî b ∈ (Im φ)⊥ , ò.å. ∀ c ∈ Im φ âûïîëíåíî c ⊥ b. Ïîñêîëüêó c ∈ Im φ,íàéäåì a ∈ E òàêîé, ÷òî c = φ(a).
Òîãäà (c, b) = (φ(a), b) = (a, φ∗(b)) = (a, o) = 0, îòêóäàc ⊥ b, ÷òî è òðåáîâàëîñü. ◃Ñàìîñîïðÿæåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿËèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå φ : E → E íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè φ∗ = φ.§ .3.ÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ. ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈíà÷å ãîâîðÿ,ñàìîñîïðÿæåííîå ⇔ ∀ a, b ∈ E âûïîëíåíî(φ(a), b) = (a, φ(b)). Òîãäà íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè U èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî φ, òî ñóæåíèå φ |U : U → U òîæå ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûìïðåîáðàçîâàíèåì.Òåîðåìà 3.3..∗A =A◃φÏóñòü∈L(E, E), ÎÍÁ,φ ∈ L(E, E) eφ −→e,e A. Òîãäàφ ñàìîñîïðÿæåííîå⇔Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðåäëîæåíèÿ 3.1.
Åñëè φ ∈ L(E, E) ñàìîñîïðÿæåííîå ïðåîáðàçîâàíèå, òî âñå åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà âåùåñòâåííûå.Òåîðåìà 3.4.◃ 1) Äîêàæåì âíà÷àëå óòâåðæäåíèå äëÿ óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà (íàä C). Ïóñòü λ0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ÷èñëî, à a ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ0. Çàïèøåì ðàâåíñòâî (φ(a), a) = (a, φ(a)) (îíî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿñàìîñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
