Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , a•n êîòîðîé êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðîâ φ(e1), φ(e2), . . . , φ(en) â áàçèñå f .Ìàòðèöó ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ∈ L(V, V ) â ïàðå ñîâïàäàþùèõ áàçèñîâ e è e áóäåìòàêæå íàçûâàòü êîðî÷å: ìàòðèöà φ â áàçèñå e.Êîìïàêòíî îïðåäåëåíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê (φ(e1) φ(e2) . . . φ(en)) = fA. Òîò ôàêò, ÷òîA ìàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ â ïàðå áàçèñîâ e è f , áóäåì îáîçíà÷àòü φ −→e,f A.Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâàõV è Ve çàôèêñèðîâàíû áàçèñû e è f ñîîòâåò−→ñòâåííî. Òîãäà îòîáðàæåíèå φ e,f A áèåêöèÿ ìåæäó L(V, Ve ) è Mm×n.◃ Ïî îïðåäåëåíèþ ìàòðèöà A íåñåò â ñåáå ïîëíóþ èíôîðìàöèþ îá îáðàçàõ áàçèñíûõâåêòîðîâ. Îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 1.1. Âûâåäåì ôîðìóëó êîîðäèíàòíîé çàïèñè ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ.Ïóñòü φ −→e,f A.
Åñëè a = eX , φ(a) = fY , òîÏðåäëîæåíèå 2.1.Òåîðåìà 2.1.Y = AX .◃Òàê êàê a = ∑ xiei, òî φ(a) = ∑ xiφ(ei). Çàìåíèì â ýòîì ðàâåíñòâå âåêòîðû íà èõnni=1i=1êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû â áàçèñå f , ïîëó÷èì: Y = ∑ xia•i, ãäå, êàê îáû÷íî, a•i îáîçíà÷àåòi=1i-é ñòîëáåö ìàòðèöû A. Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ðàâíà AX , ÷òî è òðåáîâàëîñüóñòâíîâèòü.
Ôîðìóëà èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû ôàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà îïðåäåëåíèþ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ. Áîëåå, òî÷íî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåån§2.. ÌÀÒÐÈÖÀ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß29Ïóñòü äàíî îòîáðàæåíèå φ : V → Ve (àïðèîðè íå èçâåñòíî, ÷òî îíî ëèíåéíîå) è ìàòðèöà A ∈ Mm×n. Ïóñòü ∀ a ∈ V êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû X è Y −→âåêòîðîâa = eX è φ(a) = fY ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì Y = AX . Òîãäà φ ∈ L(V, Ve ), ïðè÷åì φ e,f A.◃ Âîçüìåì ψ ∈ L(V, Ve ) òàêîå, ÷òî ψ −→e,f A (òàêîå ψ ñóùåñòâóåò, ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ2.1). Òîãäà φ è ψ èìåþò îäíó è òó æå êîîðäèíàòíóþ çàïèñü Y = AX , ò.å.
φ = ψ. Ñëåäñòâèå.Ìàòðèöà ïåðåõîäà è ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿÏåðåõîä îò áàçèñà e = (e1, . . . , en) ê e′ = (e′1, . . . , e′n) ôîðìàëüíî íå ñâÿçàí ñ ëèíåéíûìèïðåîáðàçîâàíèÿìè. Îäíàêî, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.1, ïî ïàðå áàçèñîâ e è e′ ìîæíî îïðåäåëèòüåäèíñòâåííîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : V → V òàêîå, ÷òî φ(ei) = e′i äëÿ i = 1, . .
. , n (ïðèýòîì φ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ñì. òåîðåìó 1.3). Îòìåòèì ñëåäóþùóþ ñâÿçü ìåæäóìàòðèöåé ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ìàòðèöåé ïåðåõîäà.Ïóñòü dim V = n < ∞, e è −→e′ áàçèñû â V . Ïóñòü èçîìîðôèçìφ : V → V òàêîâ, ÷òî φ(ei ) = e′i äëÿ i = 1, . . . , n; φ e,e A. Òîãäà A ìàòðèöà ïåðåõîäà îòe ê e′ .◃ Äîñòàòî÷íî ñîïîñòàâèòü îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ è ìàòðèöûïåðåõîäà. Ïðåäëîæåíèå 2.2.Ñâÿçü ìåæäó îïåðàöèÿìè íàä îòîáðàæåíèÿìè è ìàòðèöàìèÏðåäëîæåíèå 2.1 ìîæåò áûòü óñèëåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü e è f áàçèñû ïðîñòðàíñòâ V è Ve ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà îòîáðà−→æåíèå φ e,f A ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ L(V, Ve ) è Mm×n.(Àíàëîãè÷íî, φ → A èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ φ ∈ L(V, Ve ) è Mm×n).◃ Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà. dim L(V, Ve ) = mn.eee −→Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ), φe ∈ L(Ve , Vee ), è φ −→e −→e,g AA.e,f A, φf,g A.
Òîãäà φφ◃ Ïóñòü a ∈ V ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, a = eX , φ(a) = fY , φ(φ(a))e= gZ . Òîãäàeeeäâàæäû ïîëüçóÿñü òåîðåìîé 2.1, èìååì Y = AX , Z = AY , îòêóäà Z = A(AX) = (AA)X.Îòñþäà ñëåäóåò òðåáóåìîå (ñì. ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.1). Ïóñòüφ −→e,f A. Òîãäà φ èçîìîðôèçì ⇔ A îáðàòèìà. Åñëè φ èçîìîð−1ôèçì, òî φ−1 −→A.f,e◃ Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî IV −→e,e E . Ïóñòü φ ∈ L(V, V ) è φ −→e,e A. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà p èìååì−→p(φ) e,e p(A).Óñòàíîâëåííîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îïåðàöèÿìè íàä ëèíåéíûìè îòîáðàæåíÿìè è îïåðàöèÿìè íàä ìàòðèöàìè ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî â îáå ñòîðîíû: íåêîòîðûå çàäà÷è îá îòîáðàæåíèÿõ ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê âîïðîñàì î ìàòðèöàõ, è íàîáîðîò.Ïîëó÷èòå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î ðàíãå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö, èñïîëüçóÿ ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ.Êàêîâ ìàêñèìàëüíûé ðàíã ìàòðèöû A ∈ Mn×n, åñëè A2 = O?Ìàòðèöà A ∈ Mn×n òàêîâû, ÷òî Ak = O ïðè íåêîòîðîì k ∈ N. Äîêàæèòå,÷òî An = O.Òåîðåìà 2.2.Ñëåäñòâèå.Ïðåäëîæåíèå 2.3.Ñëåäñòâèå 1.Ñëåäñòâèå2.Óïðàæíåíèå.Óïðàæíåíèå.Óïðàæíåíèå.30Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÈçìåíåíèå ìàòðèöû ïðè çàìåíå áàçèñàÏóñòü â V âûáðàíû áàçèñû e è e′, ñâÿçàííûå ìàòðèöåé ïåðåõîäà S : e′ = eS ;â Ve âûáðàíû áàçèñûf è f ′ , ñâÿçàííûå ìàòðèöåé ïåðåõîäà R: f ′ = fR.
Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve )−→ ′òàêîâî, ÷òî φ −→e,f A è φ e ,f A . ÒîãäàÒåîðåìà 2.3.′′A′ = R−1 AS . ÷àñòíîñòè, åñëè V = Ve , e = f è e′ = f ′, òîA′ = S −1 AS .Ïóñòü a ∈ V ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ïóñòü a = eX = e′X ′, φ(a) = fY = f ′Y ′.Òîãäà ïî òåîðåìå 2.1 èìååì Y = AX , Y ′ = A′X ′ è (ïî òåîðåìå 2.4, ãëàâà ) X = SX ′,Y = RY ′ . Îòñþäà RY ′ = ASX ′ ⇒ Y ′ = R−1 ASX ′ èëè Y ′ = (R−1 AS)X ′ . Ïîëó÷àåì òðåáóåìîå: R−1AS = A′ (ñì. ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.1).
Ðàíã ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ ∈ L(V, Ve ) íå çàâèñèò îò âûáîðàáàçèñîâ â ïðîñòðàíñòâàõ V è Ve .◃ Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî A′ ïîëó÷àåòñÿ èç A äîìíîæåíèåì ñëåâà è ñïðàâà íà íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû. Èíâàðèàíòíàÿ õàðàêòåðèçàöèÿ ðàíãà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ äàåòñÿ íèæå âñëåäñòâèè èç òåîðåìû 3.2.◃??Ñëåäñòâèå.ÏðèìåðûÏóñòü V = U1 ⊕ U2. Ââåäåì áàçèñ e = (e1, e2, .
. . , en) â V ,e1 , . . . , ek áàçèñ â U1 , à ek+1 , . . . , en áàçèñ â U2 .Ïóñòü φ : V → V ïðîåêòèðîâàíèå)íà U1 âäîëü U2 . Òîãäà(Ek Oëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ): φ −→.e,eO Oñîãëàñîâàííûé U1 ⊕ U2, òàê, ÷òî(ïî îïðåäåëåíèþ ìàòðèöûÏóñòü ψ : V→V îòðàæåíèå îòíîñèòåëüíî U1 âäîëü U2. Òîãäà ψ−→e,e()EkO.O −En−kIII.1. Ïóñòü V = Pn = ⟨1, x, x2, .
. . , xn⟩ è e = (1, x, x2, . . . , xn) ñòàíäàðòíûé áàçèñ â V . Îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d : V → V èìååò â áàçèñå e ìàòðèöó00001002...0 00 0... 0. . . 0. . . n... 0(ïîñêîëüêó (xk+1)′ = (k + 1)xk , èìååì d(ei+1) = (i + 1)ei).§ 3. Îáðàç è ÿäðîÎáðàç ïðåäëîæåíèè 1.4 ìû âèäåëè, ÷òî ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè φ ∈ L(V, Ve ) îáðàç φ(U )ïîäïðîñòðàíñòâà U 6 V ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â Ve . Äëÿ îáðàçà îòîáðàæåíèÿ φ íàðÿäó ñ îáîçíà÷åíèåì φ(V ) èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå Im φ.
Î÷åâèäíî, φ ∈ L(V, Ve ) ÿâëÿåòñÿñþðúåêòèâíûì ⇔ Ve = Im φ.§313.. ÎÁÐÀÇ È ßÄÐÎÏóñòü, èφ ∈ L(V, Ve )Im φ = ⟨φ(e1 ), φ(e2 ), . . . , φ(en )⟩.Òåîðåìà3.1.e=(e1 , e2 , . . . , en ) áàçèñ â V . ÒîãäàÑëåäóåò èç 1.2. (êîîðäèíàòíîå îïèñàíèå îáðàçà) Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ), e, f áàçèñû â V è Ve .eÏóñòü φ −→e,f A. Äëÿ âåêòîðà b ∈ V , b = fY âûïîëíåíî: b ∈ Im φ ⇔ Y ∈ ⟨a•1 , a•2 , .
. . , a•n ⟩.◃ Ñëåäóåò èç ñîïîñòàâëåíèÿ îïðåäåëåëíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ 1.4. Èíà÷å ãîâîðÿ, òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî â òåðìèíàõ êîîðäèíàòíûõ ñòîëáöîâ Im φ çàäàåòñÿ êàê ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòîëáöîâ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ. óñëîâèÿõ òåîðåìû dim Im φ = rg A . ÷àñòíîñòè, ìû ïîëó÷àåì åùå îäíî îáîñíîâàíèå òîãî, ÷òî rg A íå çàâèñèò îò âûáîðàáàçèñîâ â ïðîñòðàíñòâàõ V è Ve .◃Òåîðåìà 3.2.Ñëåäñòâèå.ßäðîÏîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè ïîëíûé ïðîîáðàç ïîäïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ) è Ue 6 Ve . Òîãäà {a ∈ V | φ(a) ∈ Ue } 6 V .e } è ïðîâåðèì äëÿ U ñâîéñòâà Ï1 è Ï2.◃ Ïîëîæèì U = {a ∈ V | φ(a) ∈ UÏóñòü a, b ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû èç U .
Òîãäà φ(a) ∈ Ue , φ(b) ∈ Ue . Èç ñâîéñòâà Ï1 äëÿe ïîëó÷àåì, ÷òî φ(a) + φ(b) ∈ Ue , òî åñòü φ(a + b) ∈ Ue . Íî ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå îçíà÷àåò,U÷òî a + b ∈ U .Ï2 ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. ßäðîì ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ ∈ L(V, Ve ) íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ïîäìíîæåñòâî â V :{a ∈ V | φ(a) = o}.Ïðåäëîæåíèå 3.1.Îáîçíà÷åíèå äëÿ ÿäðà Ker φ. Îïåðåäåëåíèå ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: Ker φ ýòî ïîëíûé ïðîîáðàç íóëåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà.Åñëè φ ∈ L(V, Ve ), òî Ker φ 6 V .◃ Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðåäëîæåíèÿ 3.1.
Äëÿ âûÿñíåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè φ èíúåêòèâíûì, ïîëåçåí ñëåäóþùèé êðèòåðèé.φ ∈ L(V, Ve ) èíúåêòèâíî ⇔ Ker φ = O.◃ ⇒ Ïóñòü a ∈ Ker φ, òî åñòü φ(a) = o. Íî òàêæå φ(o) = o, è ïîñêîëüêó φ èíúåêòèâíî,èìååì a = o.⇒ Ïóñòü φ(a) = φ(b). Òîãäà φ(a − b) = o. Ñ ó÷åòîì Ker φ = O èìååì a − b = o, òî åñòüa = b. Òåì ñàìûì, φ(a) = φ(b) ⇒ a = b, è èíúåêòèâíîñòü äîêàçàíà. 1 (êîîðäèíàòíîå îïèñàíèå ÿäðà) Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ), e, f áàçèñû â V è Ve .−→Ïóñòü φ e,f A.
Äëÿ âåêòîðà a ∈ Ve , a = fX âûïîëíåíî: a ∈ Ker φ ⇔ AX = O.Ïðåäëîæåíèå 3.2.Ïðåäëîæåíèå 3.3.Òåîðåìà 3.3.1 Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 3.3 ðîäñòâåííî äîêàçàòåëüñòâó ïóíêòà 2 òåîðåìû1.1.32Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÄîñòàòî÷íî ñîïîñòàâèòü îïðåäåëåíèå ÿäðà è ôîðìóëó Y = AX (ñì. òåîðåìó 2.1).
Èíà÷å ãîâîðÿ, òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî â òåðìèíàõ êîîðäèíàòíûõ ñòîëáöîâ Ker φ çàäàåòñÿ êàê îáùåå ðåøåíèå Sol(AX = O) îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåéêîýôôèöèåíòîâ A. óñëîâèÿõ òåîðåìû dim Ker φ = n − rg A .◃Ñëåäñòâèå.Ñâÿçü ìåæäó ðàçìåðíîñòÿìè ÿäðà è îáðàçàÓñòâíîàèì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ðàçìåðíîñòè ÿäðà è îáðàçà.Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ) è dim V = n < ∞. ÒîãäàÒåîðåìà 3.4.dim Ker φ + dim Im φ = n .Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî dim Ve < ∞ (èíà÷å çàìåíèì Ve íà ëþáîå êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå Im φ, çàìåíà íå âëèÿåò íà Im è Ker).
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó Aîòîáðàæåíèÿ φ â íåêîòîðûõ áàçèñàõ. Ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 3.2 èìååì dim Im φ = rg A,à ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 3.3 èìååì dim Ker φ = n−rg A. Îòñþäà âûòåêåò íóæíàÿ ôîðìóëàðàçìåðíîñòåé. Èç òåîðåìû 3.4 ìîæíî, â ÷àñòíîñòè, ïî-äðóãîìó äîêàçàòü ýêâèâàëíòíîñòü óñëîâèé 1),2), 3) â òåîðåìå 1.3. ñëåäóþùåì óïðàæíåíèè íàìåòèì òàêæå äðóãîé ïóòü äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû èç òåîðåìû 3.4 áåç ïðèâëå÷åíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ.Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ) è dim V = n < ∞. Ïóñòü er+1, . . . , en áàçèñ â Ker φ.
Äîïîëíèì åãî äî áàçèñà e1, e2, . . . , en ïðîñòðàíñòâà V . Äîêàæèòå, ÷òî òîãäàIm φ = ⟨φ(e1 ), . . . , φ(er )⟩, ïðè÷åì φ(e1 ), . . . , φ(er ) ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà.Ïðåäëàãàåì åùå îäíî óïðàæíåíèå îá ïðîñòåéøåì âèäå ìàòðèöû ëèíåíéíîãî îòîáðàæåíèÿ.Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ). Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâàõ V è Ve ìîæíî âûáðàòü áàçèñû e è f òàê, ÷òî()◃Óïðàæíåíèå.Óïðàæíåíèå.φ −→e,fEr O.O O2ÏðèìåðûÏóñòü V = U1 ⊕ U2.Ker φ = U2 .Ïóñòü φ : V→V ïðîåêòèðîâàíèå íà U1 âäîëü U2. Òîãäà Im φ = U1,III.1. Ïóñòü V= C∞ (R).
Îáùåå ðåøåíèå U ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿx(n) + an−1 (t)x(n−1) + . . . + a1 (t)x′ + a0 (t)x = 0 (ãäå ai (t) íåïðåðûâíûå ôóíêöèè R → R)ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà dn +an−1dn−1 +. . .+a1d+a0d0.Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè èç êóðñà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéóñòàíàâëèâàåò èçîìîðôèçì ìåæäó ðåøåíèåì x ∈ U è ñòîëáöîì íà÷àëüíûõ óñëîâèéx(t0 ) x′ (t0 ) . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
