Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 2
Текст из файла (страница 2)
0 · a = λ · o = o (∀ a ∈ V , ∀ λ ∈ R);5. −(λa) = (−λ)a = λ(−a) (∀ a ∈ V , ∀ λ ∈ R);6. λ(a − b) = λa − λb (∀ a, b ∈ V , ∀ λ ∈ R);7. (λ − µ)a = λa − µa (∀ a ∈ V , ∀ λ, µ ∈ R) .◃ 1. Ïóñòü o è o′ äâà íóëåâûõ âåêòîðà. Òîãäà o = o+o′ = o′ , òî åñòü o è o′ ñîâïàäàþò.2.
Ïóñòü âåêòîðû x è y îáà ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè äëÿ âåêòîðà a. Òîãäàx = x + o = x + (a + y) = (x + a) + y = o + y = y, òî åñòü x è y ñîâïàäàþò.3. a + b = a + c ⇒ −a + (a + b) = −a + (a + c) ⇒ (−a + a) + b = (−a + a) + c ⇒o + b = o + c ⇒ b = c. Îáðàòíîå ñëåäñòâèå î÷åâèäíî.4. 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, 0 · a = o + 0 · a. Ïî çàêîíó ñîêðàùåíèÿ(ñì. 3) 0 · a = o. Àíàëîãè÷íî λ · o = λ(o + o) = λ · o + λ · o, îòêóäà λ · o = o.5. (−λ)a + λa = (−λ + λ)a = 0 · a = o, ïîýòîìó (−λ)a ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìäëÿ λa, òî åñòü ðàâåí −(λa). Àíàëîãè÷íî λ(−a) + λa = λ(−a + a) = λ · o = o, ïîýòîìóλ(−a) = −(λa).6.
Âûòåêàåò èç óòâåðæäåíèÿ 5 è îïðåäåëåíèÿ âû÷èòàíèÿ âåêòîðîâ:λ(a − b) = λ(a + (−b)) = λa + λ(−b) = λa − λb.7. Àíàëîãè÷íî 6. Çàìå÷àíèå.Ïðåäëîæåíèå 1.1.ÏîäïðîñòðàíñòâàÍåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî U âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì,åñëè ∀ a, b ∈ U , ∀ λ ∈ R âûïîëíåíî:Ï1. a + b ∈ U ;Ï2. λa ∈ U .Òîò ôàêò, ÷òî U ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V , áóäåì îáîçíà÷àòü U 6 V .Ñâîéñòâà Ï1 è Ï2 îçíà÷àþò, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì, çàìêíóòûìîòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, òåì ñàìûì, ïîäïðîñòðàíñòâî ñàìî ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé â îáúåìëþùåì âåêòîðíîìïðîñòðàíñòâå. Ëþáîå âåêòîðîíîå ïðîñòðàíñòâî V ñîäåðæèò òðèâèàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâàV è O = {o} (íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî).Ïóñòü U 6 V , òîãäà o ∈ U .◃ Ïóñòü a ∈ V , òîãäà, ñîãëàñíî Ï2, o = 0 · a ∈ V . Ïðåäëîæåíèå 1.2.ùåå òîëüêî àêñèîìå V1, íàçûâàåòñÿ ïîëóãðóïïîé; óäîâëåòâîðÿþùåå àêñèîìàì V1V3 ãðóïïîé; àêñèîìàìV1V4 êîììóòàòèâíîé, èëè àáåëåâîé ãðóïïîé.§1..
ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ È ÏÎÄÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ9Ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.∩◃ Ïóñòü Ui 6 V äëÿ i ∈ I , ãäå I íåêîòîðîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ; U =Ui . Ïðîâåðèìi∈IÏ1 äëÿ ìíîæåñòâà U (Ï2 ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî).Ïóñòü a, b ∈ U , òîãäà a, b ∈ Ui (∀ i ∈ I ). Òàê êàê Ui ïîäïðîñòðàíñòâî, òî a + b ∈ Ui(∀ i ∈ I ), òåì ñàìûì a + b ∈ U , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ïóñòü U1 6 V , U2 6 V .
Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå U1 ∪ U2 ÿâëÿåòñÿïîäïðîñòðàíñòâîì ⇔ U1 ⊂ U2 èëè U2 ⊂ U1.Ïðåäëîæåíèå 1.3.Óïðàæíåíèå.Ëèíåéíûå êîìáèíàöèèÏóñòü a1, a2, . . . , ak ∈ V , λ1, λ2, . . . , λk ∈ R.Ñóììà ∑ λiai íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1, a2, . . . , ak ñ êîýôôèöèåíi=1òàìè λ1, λ2, . . . , λk .kËèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ∑ λiai íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé, åñëè âñå åå êîýôôèöèåíòû ðàâi=1íû 0, òî åñòü λ1 = . . .
= λk = 0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿíåòðèâèàëüíîé. ßñíî, ÷òî òðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà o.Ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ óñëîâèìñÿ çàïèñûâàòü òàêæå â ñëåäóþùåìêîìïàêòíîì âèäå:kk∑i=1λi ai = aλ,ãäå a = (a1 a2 . . . ak ) ñòðîêà âåêòîðîâ, àλ1 λ2 λ = .. .λk ñòîëáåö êîýôôèöèåí-òîâ. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðàâèëîì óìíîæåíèÿ ìàòðèö (óìíîæàåì ñòðîêó íà ñòîëáåö). òîì ñëó÷àå, êîãäà b ∈ V ðàâåí íåêîòîðîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ a1, a2, . . .
, akãîâîðÿò, ÷òî b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì a1, a2, . . . , ak èëè ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçâåêòîðû a1, a2, . . . , ak .Ïóñòü U 6 V . Òîãäà ∀ a1, a2, . . . , ak ∈ U è∀ λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R:λi a i ∈ U .Ïðåäëîæåíèå 1.4.k∑i=1Äîñòàòî÷íî ìíîãîêðàòíî ïðèìåíèòü Ï1 è Ï2 Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëþáîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèèýêâèâàëåíòíî îïðåäåëåíèþ ïîäïðîñòðàíñòâà (â Ï1 è Ï2 ìû âèäèì ÷àñòíûå ñëó÷àè ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé: a + b è λa).◃Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êàÂàæíîå ïîíÿòèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè, êîòîðîå îïðåäåëèì íèæå, ïîçâîëÿåò, â ÷àñòíîñòè, êîíñòðóèðîâàòü ïîäïðîñòðàíñòâà.Ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ñèñòåìû âåêòîðîâ a1, . .
. , ak íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ,êîòîðûå ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç a1, . . . , ak .10Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀËèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ a1, . . . , ak îáîçíà÷àåòñÿ ⟨a1, . . . , ak ⟩. Ôîðìàëüíàÿ çàïèñüîïåäåëåíèÿ: {}k∑⟨a1 , . . . , ak ⟩ :=λi a i | λ1 , λ 2 , . . . , λ k ∈ R .i=1Íåñëîæíî ðàñïðîñòðàíèòü îïðåäåëåíèå íà ïðîèçâîëüíûå (â òîì ÷èñëå áåñêîíå÷íûå) ñèñòåìû âåêòîðîâ.Ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ñèñòåìû âåêòîðîâ A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íåñêîëüêî âåêòîðîâ èç A.Óñëîâèìñÿ òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ⟨∅⟩ = O.Îáîçíà÷åíèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè: ⟨A⟩.
Î÷åâèäíî, äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà A ⊂ V âûïîëíåíî A ⊂ ⟨A⟩. Îòìåòèì, ÷òî âåçäå ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè èç êîíå÷íîãîêîëè÷åñòâà{ k ñëàãàåìûõ, õîòÿ ¾äëèíà¿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè}íå îãðàíè÷èâàåòñÿ. Ôîðìàëüíî,∑⟨A⟩ :=λi ai | k ∈ N, a1 , a2 , . .
. , ak ∈ A, λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R .i=1ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ ëþáîé ñèñòåìû âåêòîðîâ A.◃ Ïðîâåðèì äëÿ ⟨A⟩ ñâîéñòâî Ï1 (Ï2 ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ïóñòü a, b ∈ ⟨A⟩.mkÝòî îçíà÷àåò, ÷òî a = ∑ αiai, b = ∑ βj bj , ãäå ai, bj ∈ A, αi, βj ∈ R. ÒîãäàÏðåäëîæåíèå 1.5.a+b =k∑αi ai +i=1⟨A⟩m∑j=1i=1βj bj .j=1 ïðàâîé ÷àñòè ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äëèíû k + m âåêòîðîâèç A, çíà÷èò a + b ∈ ⟨A⟩. Ïóñòü ïîäìíîæåñòâî A ⊂ V è ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 V òàêîâû, ÷òî A ⊂ U .
Ïðåäëîæåíèå1.4 ïîêàçûâàåò, ÷òî òîãäà è ⟨A⟩ ⊂ U . Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëîæåíèå 1.5 ïî ñóòè îçíà÷àåò,÷òî ⟨A⟩ ýòî ìèíèìàëüíîå (ïî âêëþ÷åíèþ) ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå A.Ïîäìíîæåñòâî A ⊂ V ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ⇔ A = ⟨A⟩.Óïðàæíåíèå.ÏðèìåðûI. Ïóñòü O ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà ãåîìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (íà÷àëî îòñ÷åòà).Ìíîæåñòâî âñåõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ (ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî) ïðèìåð âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ðàäèóñ-âåêòîð ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ òî÷êîé ïðîñòðàíñòâà êîíöîì ýòîãî ðàäèóñ-âåêòîðà. Òîãäà íåòðèâèàëüíûåïîäïðîñòðàíñòâà ýòî ïðÿìûå è ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç O.Åñëè âåêòîðû a1, . . . , ak êîëëèíåàðíû è ñðåäè íèõ åñòü õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé, òî⟨a1 , . . . , ak ⟩ ýòî ïðÿìàÿ.Åñëè æå âåêòîðû a1, . . . , ak êîìïëàíàðíû, íî íå êîëëèíåàðíû, òî ⟨a1, . . . , ak ⟩ ýòîïëîñêîñòü.II.1. Ìíîæåñòâî Mm×n ìàòðèö m × n (çàïîëíåííûõ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè) âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ ìàòðèö è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî.Rn îòîæäåñòâëÿåì ñ ìíîæåñòâîì ñòîëáöîâ Mn×1 (R).Ïóñòü M+n×n = {A ∈ Mn×n | AT = A} ìíîæåñòâî ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö n × n,TM−n×n = {A ∈ Mn×n | A = −A} ìíîæåñòâî êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö n × n.+Òîãäà Mn×n 6 Mn×n, M−n×n 6 Mn×n.§11II.2. Äëÿ ìàòðèöû A ∈ Mm×n ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé(ÑËÓ) AX = O (ãäå X ∈ Mn×1 ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ) è ìíîæåñòâî åå ðåøåíèéU = Sol(AX = O).
Òîãäà U 6 Mn×1 .Åñëè AiX = O, i = 1, 2, . . . , k íåñêîëüêî îäíîðîäíûõ ÑËÓ îòíîñèòåëüíî X ∈ Mn×1,òî ÑËÓ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé îáúåäèíåíèå ýòèõ ñèñòåì, èìååò â êà÷åñòâå ìíîæåñòâàkðåøåíèé ïåðåñå÷åíèå ∩ Sol(AiX = O).2.. ËÈÍÅÉÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ. ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÜ È ÐÀÍÃ. ÁÀÇÈÑi=1III.1. Ïóñòü S íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî F(S) âñåõ ôóíêöèé f : S → R âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ ôóíêöèé è óìíîæåíèÿôóíêöèè íà ÷èñëî.Ïóñòü F+(R) = {f ∈ F(R) | ∀ x ∈ R f (−x) = f (x)} ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ ôóíêöèé,àíàëîãè÷íîF− (R) = {f ∈ F(R) | ∀ x ∈ R f (−x) = −f (x)} ìíîæåñòâî âñåõ íå÷åòíûõ ôóíêöèé.Òîãäà F+(R) 6 F(R), F−(R) 6 F(R).III.2.
Åñëè S èíòåðâàë ÷èñëîâîé ïðÿìîé, èìååòñÿ öåïî÷êà âëîæåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ F(S) > C(S) > C1(S) > . . . > Ck (S) > . . . > C∞(S) > P(S),ãäå C(S) ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé S → R, Ck (S) ìíîæåñòâî ôóíêöèé,èìåþùèõ íåïðåðûâíóþ k-þ ïðîèçâîäíóþ, P(S) ìíîæåñòâî ïîëèíîìèàëüíûõ ôóíêöèé (ìíîãî÷ëåíîâ).Ìíîæåñòâî (ôîðìàëüíûõ) ìíîãîëåíîâ P ìîæåò áûòü çàäàíî ëèíåéíîé îáîëî÷êîé:P = ⟨1, x, x2 , x3 , . . .⟩.P > Pn = ⟨1, x, x2 , . . . , xn ⟩, ãäå Pn ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ f ñòåïåíè deg f 6 n.III.3.  ìíîæåñòâå F(N) = {(f1, f2, . . .) | fi ∈ R} âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åñòü ïîäïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, à â íåì ïîäïðîñòðàíñòâî ñõîäÿùèõñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.¾Áåñêîíå÷íàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé¿ fi+1 = fi + fi−1, i = 2, 3, .
. ., çàäàåò ïîäïðîñòðàíñòâî ôèáîíà÷÷èåâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.III.4. Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåx(n) + an−1 (t)x(n−1) + . . . + a0 (t)x = 0 îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè x(t)(ãäå ai(t) äàííûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè R → R). Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ýòîãîóðàâíåíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå âñåõ n ðàç äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèéR → R.§ 2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü. Ðàçìåðíîñòü è ðàíã. ÁàçèñËèíåéíàÿ çàâèñèìîñòüÑèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, .
. . , akíàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé, åñëè íåêîòîðàÿ èõíåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà o, è ëèíåéíî íåçàâèñèìîé â ïðîòèâíîìñëó÷àå.Ïîëàãàþò, ÷òî ïóñòàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà (ôîðìàëüíî ýòî ñîãëàñóåòñÿñ îïðåäåëåíèåì).Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, . . . , ak ∈ V (k > 2) ëèíåéíî çàâèñèìà ⇔ ñðåäè âåêòîðîâ a1, a2, . . . , akâåêòîð, êîòîðûé ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå k − 1 âåêòîðîâ ýòîé ñèñòåìû.Ïðåäëîæåíèå 2.1.íàéäåòñÿ12Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÏóñòü λ1a1 +λ2a2 +. . .+λk ak = o, è íå âñå êîýôôèöèåíòû ðàâíû 0, ñêàæåì λk ̸= 0.k−1Òîãäà ïîäåëèì ðàâåíñòâî íà −λk è ïåðåíåñåì ak â äðóãóþ ÷àñòü; ïîëó÷èì ak = ∑ µiai, ãäå◃ ⇒i=1λiµi = − , i = 1, 2, . . .
, k − 1.λkÏóñòü, ñêàæåì, âåêòîð ak ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì a1, a2, . . . , ak−1: ak = ∑ µiai.i=1Òîãäà µ1a1 + µ2a2 + . . . + µk−1ak−1 − ak íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ o. 1) Åñëè â êîíå÷íîé ñèñòåìå âåêòîðîâ èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ëèíåéíîçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà, òî è âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà.2) Ëþáàÿ ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìà.◃ 1) Ïóñòü, ñêàæåì, äëÿ ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
