Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Êîîðäèíàòíàÿ çàïèñüôîðìû èìååò âèä êâàäðàòè÷íîéx1 x2 bij xi xj , ãäå X = .. k(a) = X T BX èëè k(a) =.i=1 j=1xnòîðà a. Çàìåòèì, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû Bôîðìû íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ: bii = k(ei).nn ∑∑ êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö âåê ýòî çíà÷åíèÿ êâàäðàòè÷íîé âåùåñòâåííîì ñëó÷àå ïîðîäèòü êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî áûëî áû èïðîèçâîëüíîé (íå îáÿçàòåëüíî ñèììåòðè÷íîé) áèëèíåéíîé ôîðìîé, îäíàêî ýòî íå èçìåíèëî áû çàïàñ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì: áèëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ìàòðèöåé TB ïîðîæäàåò òó æåôîðìó, ÷òî è ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ìàòðèöåé B +2 B .Çàìå÷àíèå.Äàííàÿ (ýðìèòîâî) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà k ïîðîæäàåòñÿ ðîâíî îäíîé áèëèíåéíîé ôîðìîé β ∈ Bsym(V ).Òåîðåìà 2.2.◃ Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, êàê çíà÷åíèå β(a, b) íà çàäàííûõ âåêòîðàõ a, b îïðåäåëÿåòñÿòîëüêî ïî çíà÷åíèÿì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.1) Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ R.
Çàìåòèì, ÷òîk(a + b) = β(a + b, a + b) = β(a, a) + β(a, b) + β(b, a) + β(b, b) = k(a) + 2β(a, b) + k(b),ïîýòîìó β(a, b) = k(a + b) −2k(a) − k(b) .2) Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ . Èìååìk(a+b) = β(a+b, a+b) = β(a, a)+β(a, b)+β(b, a)+β(b, b) = k(a)+β(a, b)+β(b, a)+k(b),îòñþäàβ(a, b) + β(b, a) = k(a + b) − k(a) − k(b).Äàëååk(a+ib) = β(a+ib, a+ib) = β(a, a)−iβ(a, b)+iβ(b, a)+β(b, b) = k(a)−i(β(a, b)−β(b, a))+k(b),îòñþäàβ(a, b) − β(b, a) = ik(a + ib) + ik(a) + ik(b).Ñêëàäûâàÿ ïîëó÷àåííûå ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå β(a, b) òîëüêî ÷åðåç çíà÷åíèÿk(a + b), k(a + ib), k(a), k(b). Òîæäåñòâåííî íóëåâàÿ (ýðìèòîâà) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîðîæäàåòñÿ ëèøüòîæäåñòâåííî íóëåâîé (ýðìèòîâî) ñèììåòðè÷íîé ôîðìîé.Ñëåäñòâèå.Òåîðåìà 2.2 ïîêàçûâàåò, ÷òî â îïðåäåëåíèè ôàêòè÷åñêè óñòàíàâëèâàåòñÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè Bsym(V ) è K(V ).
Íèæå îòîæäåñòâëÿåì ýòèìíîæåñòâà.§ .3.ÄÈÀÃÎÍÀËÜÍÛÉ È ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÂÈÄ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÉ ÔÎÐÌÛ45§ 3. Äèàãîíàëüíûé è êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîéôîðìûÃîâîðÿò, ÷òî (ýðìèòîâà) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà k èìååò äèàãîíàëüíûé âèä â áàçèñå eêîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà V , åñëè ìàòðèöà ôîðìû k â áàçèñå e äèàãîíàëüíà.Äèàãîíàëüíûé âèä (ýðìèòîâîé) êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì, åñëèêàæäûé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû ðàâåí îäíîìó èç ÷èñåë 1, 0, −1.Äèàãîíàëüíûé âèä ôîðìûn∑â áàçèñåeîçíà÷àåò, ÷òîk(a)=n∑i=1di xi xièëèãäå di ∈ R. Çàìåòèì, ÷òî îò äèàãîíàëüíîãî âèäà ëåãêî ïåðåéòè ê êà√íîíè÷åñêîìó, âûïîëíèâ ïðîñòóþ çàìåíó êîîðäèíàò: xi = x′i/ |di| äëÿ âñåõ i ñ óñëîâèåìdi ̸= 0.Äîêàæåì ñëåäóþùóþ îñíîâíóþ òåîðåìó.Ïóñòü dim V = n < ∞, k ∈ K(V ).
Òîãäà ñóùåñòâóåò áàçèñ, â êîòîðîì kèìååò äèàãîíàëüíûé âèä.k(a) =i=1di |xi |2 ,kÒåîðåìà 3.1.◃Äîñòàòî÷íî íàó÷èòüñÿ âûïîëíÿòü äâîéíûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðèâîäÿùèåê ìàòðèöå B ′, ó êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè è ïåðâîãî ñòîëáöà, çà èñêëþ÷åíèåìâîçìîæíî b′11 ðàâíû íóëþ. Äàëåå ñ ìàòðèöåé B ′ ìîæíî ïðîäîëæèòü àíàëîãè÷íûå äâîéíûåýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íå çàòðàãèâàþùèå ïåðâûå ñòðîêó è ñòîëáåö, è ò.ä.1) Ïóñòü b11 ̸= 0. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîâåäåì äëÿ âñåõ m = 2, 3, . .
. , n, äëÿ êîòîðûõbm1 ̸= 0, ñëåäóþùèå äâîéíûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâíèÿ: âû÷òåì èç m-é ñòðîêè 1-þñòðîêó, óìíîæåííóþ íà bm1/b11, à çàòåì âû÷òåì èç m-ãî ñòîëáöà 1-é ñòîëáåö, óìíîæåííûéíà b1m/b11 = bm1/b11. Äâîéíîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùåé îïåðàöèè ñ ìàòðèöàìè: B → C T BC , ãäå C ýëåìåíòàðíàÿ ìàòðèöà, ò.å. ñîîòâåòñòâóåò çàìåíåáàçèñà. Ïîñëå óêàçàííîé ñåðèè äâîéíûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âñå ýëåìåíòû ïåðîéñòðîêè è ïåðâîãî ñòîëáöà, çà èñêëþ÷åíèåì b11 ñòàíóò ðàâíûìè íóëþ.2) Ïóñòü b11 = 0, íî äëÿ íåêîòîðîãî m âåðíî bm1 ̸= 0. Òîãäà ñâåäåì ñèòóàöèþ ê ñëó÷àþ1), ïðåäâàðèòåëüíî âûïîëíèâ ñëåäóþùåå äâîéíîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå: ïðèáàâèìê 1-é ñòðîêå m-þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà bm1, à çàòåì ïðèáàâèì ê 1-ìó ñòîëáöó m-é ñòîëáåö,óìíîæåííûé íà bm1 = b1m.
Ïîñëå ýòîãî â ëåâîì âåðõíåì óãëó îêàæåòñÿ ÷èñëî 2|bm1|2 ̸= 0.Ïóñòü dim V = n < ∞, k ∈ K(V ). Òîãäà ñóùåñòâóåò áàçèñ, â êîòîðîì kèìååò êàíîíè÷åñêèé âèä.Àëãîðèòì, îïèñàííûé â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.2, ïîçâîëÿåò òàêæå âåñòè ¾ïðîòîêîë¿,ò.å. îòñëåæèâàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà. Êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû èñõîäíîãî áàçèñà îáðàçóþòåäèíè÷íóþ ìàòðèöó (ýòî èñõîäíàÿ ìàòðèöà ïåðåõîäà). Äàëåå ïðè êàæäîì äâîéíîì ïðåîáðàçîâàíèè ñ òåêóùåé ìàòðèöåé ïåðåõîäà S ïðîäåëûâàåì òîëüêî ñòîëáöîâîå ïðåîáðàçîâàíèå.Ñëåäñòâèå.§ 4. Çíàêîîïðåäåëåííûå ôîðìû. Èíäåêñû èíåðöèè(Ýðìèòîâà) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà k íà ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëè ∀a ∈ V , a ̸= o, âûïîëíåíî k(a) > 0.46Ãëàâà 3.ÁÈËÈÍÅÉÍÛÅ È ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÎÐÌÛ(Ýðìèòîâà) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà k íà ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåííîé, åñëè ∀a ∈ V âûïîëíåíî k(a) > 0.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûå è îòðèöàòåëüíî ïîëóîïðåäåëåííûå ôîðìû.3Ôîðìà k ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà è èìååò â íåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöóB .
Ìîæåò ëè äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû B áûòü íåïîëîæèòåëüíûì?Ñëåäóþùàÿ íåñëîæíàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, êàê âûÿñíèòü ïî äèàãîíàëüíîìó âèäó ôîðìû, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåííîé, è ò.ä.Ïóñòü k ∈ K(V ), e áàçèñ â V è è k −→e diag(d1, d2, . . . , dn). Òîãäàk ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà ⇔ di > 0 äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n;k ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíà ⇔ di > 0 äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n;k îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà ⇔ di < 0 äëÿ âñåõ i = 1, . .
. , n;k îòðèöàòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíà ⇔ di 6 0 äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n.◃ Äîêàæåì äëÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ôîðì (â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî).⇒ Èìååì di = k(ei ) > 0 (èç îïðäåëåíèÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè). Óïðàæíåíèå.Òåîðåìà 4.1.⇐x1 x2 X = .. .xnÏóñòü âñå di > 0 è a ̸= o ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, åãî êîîðäèíàòíûéñòîëáåö. Òîãäà k(a) = ∑ di|xi|2 > 0, ïîñêîëüêó õîòÿ áû îäíà êîîðäèíàòà xi íåíóëåâàÿ. ni=1Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôîðìû ïîëîæèòåëåí.◃ Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôîðìû â áàçèñå, ãäå îíà èìååòäèàãîíàëüíûé âèä, ïîëîæèòåëåí. À çíà÷èò, ïî ñëåäñòâèþ 2 èç òåîðåìû 1.2, îïðåäåëèòåëüïîëîæèåòåëåí è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî áàçèñà.
Ïîëîæèòåëüíûì èíäåêñîì èíåðöèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû k íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøååöåëîå ÷èñëî p, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 V , dim U = p, ÷òîñóæåíèå k |U ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôîðìîé.Ñëåäñòâèå.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûé èíäåêñ èíåðöèè. Ïîëîæèòåëüíûé è îòðèöàòåëüíûé èíäåêñ ôîðìû k îáîçíà÷àåì p (èëè p(k)) è q (èëè q(k)) ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî,ôîðìà k ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà ⇔ p(k) = n (ãäå n = dim V ), ôîðìà k ïîëîæèòåëüíîïîëóîïðåäåëåíà ⇔ q(k) = 0.(îá èíäåêñàõ èíåðöèè) Ïóñòü k ∈ K(V ), e áàçèñ â V èè k −→e diag(d1, d2, . . . , dn). Òîãäà p(k) ðàâíî êîëè÷åñòâó ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ñðåäèd1 , d2 , . .
. , dn , à q(k) êîëè÷åñòâó îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ñðåäè d1 , d2 , . . . , dn .◃ Ïóñòü p′ êîëè÷åñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ñðåäè ÷èñåë d1 , . . . , dn . Äîêàæåì, ÷òî p = p′ ,ãäå p = p(k). Äëÿ îòðèöàòåëüíîãî èíäåêñà èíåðöèè ðàññóæäåíèÿ áóäóò àíàëîãè÷íû.Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî p′ ïåðâûõ di ïîëîæèòåëüíû (ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ ïåðåñòàíîâêîé âåêòîðîâ â áàçèñå e), ò.å. d1 > 0, . . .
, dp > 0, dp +1 6 0, . . . , dn 6 0. ÏîëîæèìUp = ⟨e1 , . . . , ep ⟩, Wp = ⟨ep +1 , . . . , en ⟩. Çàìåòèì, ÷òî k |U ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, àk |W îòðèöàòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíà. Òàê êàê dim Up = p′ , èìååì p > p′ .Òåîðåìà4.2.′′′p′′′′p′′3 Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, íå ïðèíàäëåæàùèå íè ê îäíîìó èç îïðåäåëåííûõ òèïîâ.§474.. ÇÍÀÊÎÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÅ ÔÎÐÌÛ. ÈÍÄÅÊÑÛ ÈÍÅÐÖÈÈÏðåäïîëîæèì, ÷òî p > p′, òîãäà ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 V òàêîå, ÷òîdim U = p è k |U ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. Èìååì dim U + dim Wp = p + (n − p′ ) > n.Íî dim(U + Wp ) 6 dim V = n, çíà÷èò ïî òåîðåìå 3.3 ãëàâû ïîëó÷àåì dim(U ∩ Wp ) > 0,òî åñòü íàéäåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð a ∈ U ∩ Wp .
Ïîñêîëüêó a ∈ U , èìååì k(a) > 0, à òàêêàê a ∈ Wp , èìååì k(a) 6 0. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñóììà èíäåêñîâ èíåðöèè p(k) + q(k) ðàâíà ðàíãó rg k.Äëÿ âûÿñíåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, áåç ïðèâåäåíèÿåå ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, èíîãäà ïðèìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèé êðèòåðèé.(êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà) Ïóñòü k ∈ K(V ), e áàçèñ â V è è k −→e B . Òîãäà kïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà ⇔ |Bi| > 0 äëÿ âñåõ i = 1, 2, . .
. , n.◃ ⇐ Åñëè k ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òî, î÷åâèäíî k |U òîæå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî ïîäïðîñòðàíñòâà U 6 V . Ïîñêîëüêó Bi ìàòðèöà ñóæåíèÿ k íà ïîäïðîñòðàíñòâî Ui = ⟨e1, . . . , ei⟩ (ñì. ïðåäëîæåíèå 1.2), äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ñëåäñòâèå èçòåîðåìû 4.1.⇒ Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è íàéäåì ìèíèìàëüíîå m, äëÿ êîòîðîãî ôîðìà k̃ = k |Uíå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé (ãäå Um = ⟨e1, .
. . , em⟩). Ïî âûáîðó m ïîëó÷àåì,÷òî ôîðìà k |U = k̃ |U ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, çíà÷èò p(k̃) > m − 1. Òàê êàêp(k̃) < m (èíà÷å k̃ áûëà áû ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé), èìååì p(k̃) = m − 1. ÏóñòüD = diag(d1 , . . . , dm ) äèàãîíàëüíûé âèä (â íåêîòîðîì áàçèñå) ôîðìû k̃ . Òîãäà ñðåäè ÷èñåëd1 , . . . , dm ðîâíî m − 1 ïîëîæèòåëüíûõ âñå êðîìå îäíîãî, çíà÷èò |D| = d1 d2 . . .
dm 6 0. Íîýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ |Bm| > 0, ïîñêîëüêó D è Bm ìàòðèöû îäíîé è òîé æå ôîðìûk̃ â ðàçíûõ áàçèñàõ (ñì. ñëåäñòâèå 2 èç òåîðåìû 1.2). ×òîáû âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ôîðìà k îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, ìîæíî ïðîâåðèòü íà ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäåëåííîñòü ôîðìó (−k).Ïóñòü k ∈ K(V ), e áàçèñ â V è è k −→e B . Òîãäà k ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíà ⇒ |Bi| > 0 äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , n. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.′??′′′′Ñëåäñòâèå.Òåîðåìà 4.3.mm−1Óïðàæíåíèå.m−148Ãëàâà 3.ÁÈËÈÍÅÉÍÛÅ È ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÎÐÌÛÃëàâà 4Åâêëèäîâû è óíèòàðíûå ïðîñòðàíñòâৠ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
