Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Òîãäà 1. ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : V → Veòàêîå, ÷òî φ(ei) = ci, i = 1, 2, . . . , n.2. Ïðè ýòîì φ èíúåêòèâíî ⇔ ñèñòåìà c1, c2, . . . , cn ëèíåéíî íåçàâèñèìà.kÒåîðåìà 1.1.1. Åäèíñòâåííîñòü. Ïóñòü a ∈ V ðàçëîæåí ïî áàçèñó e: a = ∑ xiei. Òîãäà îäíîçíà÷íîi=1ïîëó÷àåìnn∑∑φ(a) =xi φ(ei ) =xi ci .(2.2)n◃i=1i=1Ñóùåñòâîâàíèå.
Î÷åâèäíî, ÷òî ôîðìóëà (2.2) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ φ(ei) = ci,i = 1, 2, . . . , n. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îíà äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò ëèíåéíîå îòîánnðàæåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ a, b ∈ V , òàêèõ, ÷òî a = ∑ xiei, b = ∑ yiei, ïîi=1i=1îïðåäåëåíèþ îòîáðàæåíèÿ φ (ñ ó÷åòîì ïðåäëîæåíèÿ 2.9 ãëàâû ) èìååì: φ(a) = ∑ xici,n??φ(b) =n∑yi ci , φ(a + b) =n∑(xi + yi )ci , φ(λa) =n∑(λxi )ci .i=1Òåïåðü ëåãêî âèäåòü, ÷òî L1 èL2 âûïîëíåíû.2. ⇒ Ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 1.5.⇐ Ïóñòü φ(a) = φ(b) äëÿ íåêîòîðûõ âåêòîðîâ a ̸= b, òîãäà φ(a − b) = o.
Ðàçëîæèìi=1i=1i=1§ .1.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ËÈÍÅÉÍÛÌÈ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÌÈ. ÈÇÎÌÎÐíåíóëåâîé âåêòîð a − b ïî áàçèñó e: a − b = ∑ λiei. Òîãäà φ(a − b) = ∑ λici = o. Ïîëó÷àåì,i=1i=1÷òî íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ c1, c2, . . . , cn ðàâíà o. Ïðîòèâîðå÷èå. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.1 äàåò ïîíèìàíèå, íàñêîëüêî ìû ñâîáîäíû â îïðåäåëåíèè ëèíåíéíîãî îòîáðàæåíèÿ, îíî áûâàåò ïîëåçíî ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèéñ äàííûìè ñâîéñòâàìè.Ìîæåò ëè äëÿ íåêîòîðûõ φ ∈ L(V, V ) è a ∈ V âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî óñëîâèÿ φ(a) ̸= o, φ(φ(a)) = o.nnÓïðàæíåíèå.Êîìïîçèöèÿ (ïðîèçâåäåíèå). Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå.
ÈçîìîðôèçìÎòîáðàæåíèå φ : V→ Veíàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì, åñëè îíî ëèíåéíî è áèåêòèâíî.Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà V è Ve íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì φ : V → Ve .Òîò ôàêò, ÷òî V è Ve èçîìîðôíû, îáîçíà÷àåì V∼= Ve .1. Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ), ψ ∈ L(Ve , Vee ). Òîãäà ψφ ∈ L(V, Vee ).2. Åñëè êðîìå òîãî φ è ψ èçîìîðôèçìû, òî ψφ òàêæå èçîìîðôèçì.◃ 1. Ïðîâåðèì L1 äëÿ îòîáðàæåíèÿ ψφ. Èç îïðåäåëåíèÿ êîìïîçèöèèè óñëîâèÿ L1 äëÿ îòîáðàæåíèé ψ è φ èìååì: ∀ a, b ∈ V âûïîëíåíî(ψφ)(a + b) = ψ(φ(a + b)) = ψ(φ(a) + φ(b)) = ψ(φ(a)) + ψ(φ(b)) = (ψφ)(a) + (ψφ)(b).Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ L2.2.
Ñëåäóåò èç 1 è òîãî, ÷òî êîìïîçèöèÿ áèåêòèâíûõ îòîáðàæåíèé áèåêòèâíà. Ãîâîðÿò, ÷òî äâà ïðåîáðàçîâàíèÿ φ, ψ ∈ L(V, V ) ïåðåñòàíîâî÷íûå (èëè êîììóòèðóþò),åñëè φψ = ψφ. Îòìåòèì, ÷òî êîìïîçèöèÿ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âîîáùå ãîâîðÿ íåïîä÷èíÿåòñÿ òîæäåñòâó φψ = ψφ. Íåòðóäíî ïðèâåñòè ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû.Åñëè îòîáðàæåíèå φ : V → Ve èçîìîðôèçì, òî φ−1 òàêæåèçîìîðôèçì.◃ Äëÿ äàííûõ âåêòîðîâ a, b ∈ Ve îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû âåêòîðû c = φ−1 (a) èd = φ−1 (b).Òàê êàê φ(c + d) = φ(c) + φ(d) = a + b, òî c + d = φ−1(a + b), òî åñòüφ−1 (a + b) = φ−1 (a) + φ−1 (b).Äàëåå, φ(λc) = λφ(c) = λa, îòêóäà φ−1(λa) = λc = λφ−1(a). Äëÿ öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî k îïðåäåëèì k-óþ ñòåïåíü ïðåîáðàçîâàíèÿ φ : V → Vêàê φk = φφ.
. . φ ïðè k > 0 è êàê òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå IV ïðè k = 0. Ïðè ýòîì| {z }Ïðåäëîæåíèå 1.6.Ïðåäëîæåíèå 1.7.k áóêâ φñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà φm+k = φmφk è φmk = (φm)k . Åñëè êðîìå òîãî φ èçîìîðôèçì,òî ìîæíî îïðåäåëèòü k-óþ ñòåïåíü è äëÿ îòðèöàòåëüíûõ k êàê φk = (φ−1)−k . Íåòðóäíîïðîâåðèòü, ÷òî ðàâåíñòâà φm+k = φmφk è φmk = (φm)k îñòàþòñÿ â ñèëå äëÿ âñåõ m, k ∈ Z.Î÷åâèäíî V ∼= V (ïðèìåð èçîìîðôèçìà: IV : V → V ). Ïðåäëîæåíèÿ 1.6 è 1.7 ïîêàçûâàþò, ÷òî îòíîøåíèå ¾áûòü èçîìîðôíûìè¿ ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî, ò.å. V ∼= Ve ⇒ Ve ∼= Vè V ∼= Ve , Ve ∼= Vee ⇒ V ∼= Vee .
Òåì ñàìûì, âñå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà ðàçáèâàþòñÿ íà êëàññû26Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßýêâèâàëåíòíîñòè, òàê ÷òî äâà ïðîñòðàíñòâà èç îäíîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè èçîìîðôíû,à èç ðàçíûõ íå èçîìîðôíû. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò êëàññèôèêàöèþ êîíå÷íîìåðíûõâåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ.Ïóñòü dim V < ∞, dim Ve < ∞. ÒîãäàÒåîðåìà 1.2.V ∼= Ve ⇔ dim V = dim Ve .Åñëè φ : V → Ve èçîìîðôèçì, òî φ èíúåêòèâíî è ñþðúåêòèâíî. Çíà÷èò,ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.5, èìååì dim V = dim(φ(V )) = dim Ve .⇐ Ïóñòü dim V = dim Ve = n.
 ïðåäëîæåíèè 2.9 ãëàâûìû ôàêòè÷åñêè ñòàëêèâàëèñü ñ èçîìîðôèçìîì ñîïîñòàâëåíèåì âåêòîðó åãî êîîðäèíàòíîãî ñòîëáöà (â ôèêñèðîâàííîì áàçèñå). Çíà÷èò, ó íàñ åñòü ¾ýòàëîííîå¿ n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî Rn = Mn×1, òàê ÷òîV ∼= Mn×1 , Ve ∼= Mn×1 , è ñëåäîâàòåëüíî, V ∼= Ve .  ñëåäóþùåé òåîðåìå ñîáåðåì óñëîâèÿ, êîòîðûå îçíà÷àþò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå îòîáðàæåíèå èçîìîðôèçì.Ïóñòü dim V = dim Ve = n < ∞, e = (e1, e2, . . . , en) áàçèñ â V .
Ïóñòüφ ∈ L(V, Ve ). Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) φ èçîìîðôèçì;2) φ èíúåêöèÿ;3) φ ñþðúåöèÿ;4) φ(e1), φ(e2), . . . , φ(en) áàçèñ â Ve .◃ 1) ⇒ 2) Î÷åâèäíî.2) ⇒ 3) Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.5, dim(φ(V )) = dim V = n. Çíà÷èò, ïî ñëåäñòâèþ 2 èçòåîðåìû 2.1, èìååì φ(V ) = V , òî åñòü φ ñþðúåêòèâíî.3) ⇒ 4) Êàê ìû çíàåì (ñì. ïðåäëîæåíèå 1.4), φ(V ) = ⟨φ(e1), φ(e2), . .
. , φ(en)⟩. Èç òîãî,÷òî dim φ(V ) = n, ñëåäóåò, ÷òî rg(φ(e1), φ(e2), . . . , φ(en)) = n, çíà÷èò, ñèñòåìà âåêòîðîâφ(e1 ), φ(e2 ), . . . , φ(en ) ëèíåéíî íåçàâèñèìà, ò.å. ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â V .4) ⇒ 1) Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.1, φ èíúåêòèâíî. À ïîñêîëüêóφ(V ) = ⟨φ(e1 ), φ(e2 ), . . . , φ(en )⟩, φ ñþðúåêòèâíî. ◃ ⇒??Òåîðåìà 1.3.Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå íà ÷èñëîÑóììîé îòîáðàæåíèé φ, φe ∈ L(V, Ve ) íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå ψ : V → Ve , ÷òî∀a ∈ V âûïîëíåíî ψ(a) = φ(a) + φ(a)e .Ïðîèçâåäåíèåì îòîáðàæåíèÿ φ ∈ L(V, Ve ) íà ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèåψ:V →φe, ÷òî ∀a ∈ V âûïîëíåíî(1 âàðèàíò) ψ(a) = λφ(a);(2 âàðèàíò) ψ(a) = λφ(a).Ðåçóëüòàò îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî íàçûâàåòñÿ, êàê îáû÷íî, ñóììîéè ïðîèçâåäåíèåì íà ÷èñëî, è îáîçíà÷àþòñÿ îáû÷íûì îáðàçîì: φ + φe è λφ.Òàê, äëÿ ïðîñòðàíñòâà íàä C èìåþòñÿ äâà âàðèàíòà îïðåäåëåíèÿ λφ.Åñëè φ, ψ ∈ L(V, Ve ), òî φ + ψ ∈ L(V, Ve ) è λφ ∈ L(V, Ve ).◃ Ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Íàïðèìåð, ïðîâåðèì L2 äëÿ λφ ñî âòîðûì âàðèàíòîìîïðåäåëåíèÿ.Èìååì (λφ)(µa) = λφ(µa) = λµφ(a) = µ(λφ(a)) = µ(λφ)(a)).
Òåì ñàìûì, λφ óäîâëåòâîðÿåòL2. Ïðåäëîæåíèå 1.8.§ .1.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ËÈÍÅÉÍÛÌÈ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÌÈ. ÈÇÎÌÎÐ âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî ââåäåííûõ âûøåîïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî (ïðè êàæäîì èç äâóõ âàðèàíòîâ îïðåäåëåíèÿóìíîæåíèÿ íà ÷èñëî).◃ Ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Äàëåå ÷åðåç L(V, Ve ) îáîçíà÷àåì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé V → Veñ ïåðâûì âàðèàíòîì îïðåäåëåíèÿ óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, à ÷åðåç L(V, Ve ) òî æå ïðîñòðàíñòâî ñî âòîðûì âàðèàíòîì îïðåäåëåíèÿ óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî.Ïðåäëîæåíèå 1.9.L(V, Ve )Ïóñòü φ, ψ ∈ L(V, Ve ), φ,e ψe ∈ L(Ve , Vee ). Òîãäà1.
φ(φe + ψ) = φφe + φψe ;ee ;2. (φe + ψ)φ = φφe + ψφ3. λ(φφ)e = (λφ)φe = φ(λφ)e.◃ Ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. mmÅñëè φ ∈ L(V, V ), à f (x) = ∑ aixi íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí, òî ïîëîæèì f (φ) = ∑ aiφii=0i=0(íàïîìíèì, ÷òî φ0 = IV ). Ïðåîáðàçîâàíèå f (φ) ïåðåñòàíîâî÷íî ñ φ. Áîëåå îáùî, åñëè f (x)è g(x) äâà ìíîãî÷ëåíà, òî f (φ) è g(φ) ïåðåñòàíîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïðåäëîæåíèå 1.10.Ïðèìåðû⊕V = U1 U2 . Òîãäà äëÿ êàæäîãî âåêòîðà a èìååòñÿ åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèåa = a1 + a2 , ãäå a1 ïðîåêöèÿ a íà U1 âäîëü U2 , a2 ïðîåêöèÿ a íà U2 âäîëü U1 .Îòîáðàæåíèå φ : V → V òàêîå, ÷òî φ(a) = a1, íàçûâàåòñÿíà U1 âäîëüU2 .Îòîáðàæåíèå ψ : V → V òàêîå, ÷òî φ(a) = a1 − a2, íàçûâàåòñÿ(èëè) îòíîñèòåëüíî U1 âäîëü U2.ÏóñòüïðîåêòèðîâàíèåìîòðàæåíèåìñèììåòðèåéËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îòðàæåíèå è ïðîåêòèðîâàíèå ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðè÷åì îòðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.I.
Ïóñòü äàíî àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè φ : R2 → R2, äëÿ êîòîðîãî íà÷àëîêîîðäèíàò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà (êàê îáû÷íî, îòîæäåñòâëÿåì ñ ðàäèóñ-âåêòîðàìè).Òîãäà φ ëèíåéíîå è áèåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå.II.1. Ïóñòü A ∈ Mm×n ôèêñèðîâàííàÿ ìàòðèöà. Îïðåäåëèì φ ∈ L(Mn×p, Mm×p) ïðàâèëîì φ(X) = AX . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî φ ëèíåéíî (íèæå óâèäèì, ÷òî â íåêîòîðîìñìûñëå ê ýòîìó ïðèìåðó ìîæíî ñâåñòè ëþáîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå êîíå÷íîìåðíûõïðîñòðàíñòâ).Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèå äîìíîæåíèå ñïðàâà íà ôèêñèðîâàííóþìàòðèöó.II.2. Òðàíñïîíèðîâàíèå ìàòðèö m × n ïðèìåð èçîìîðôèçìà Mm×n → Mn×m.III.1. Ïóñòü C[a, b] ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [a, b].
Äëÿ ðàçëè÷íûõ îòðåçêîâ [a, b] ïðîñòðàíñòâà C[a, b] èçîìîðôíû. Íàïðèìåð,èçîìîðôèçì ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè C[−2, 0], C[0, 1] îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì φ(f (x)) == f (2x − 2).28Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÄèôôåðåíöèðîâàíèå d : V → V çàäàåòñÿ ïðàâèëîì÷òî d ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå.
Ìîæíî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ìíîãî÷ëåí îò d. ñëó÷àå ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ (äëÿ V = C∞(R)) ìîæíî ðàññìîòðåòü ëèíåéíûåîïåðàòîðû âçÿòèÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ∂x∂ .iËèíåéíîå îòîáðàæåíèå C(R) → C(R)èíòåãðèðîâàíèåñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäå∫xëîì çàäàåòñÿ ïðàâèëîì φ(f (x)) = f (t) dt.III.2. ÏóñòüV = C∞ (R).(d(f ))(x) = f ′ (x). Íåòðóäíî âèäåòü,0III.3. Ïóñòü V = F(N) = {(f1, f2, . .
.) | fi ∈ R} ïðîñòðàíñòâî ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îïåðàòîð ñäâèãà (âëåâî) φ : V → V îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìφ(f1 , f2 , . . .) = (f2 , f3 , . . .). Îïðåäåëèì îïåðàòîð ïåðâîé ðàçíîñòè ∆ = φ − IV , òàê ÷òî∆(f1 , f2 , . . .) = (f2 − f1 , f3 − f2 , . . .).Äëÿ k ∈ N ñòåïåíü ∆k íàçûâàþò îïåðàòîðîì k-îé ðàçíîñòè.§ 2.
Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ýòîì ïàðàãðàôå çàíèìàåìñÿ òîëüêî êîíå÷íîìåðíûìè âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Ïîëàãàåì dim V = n, dim Ve = m, dim Vee = p.Îïðåäåëåíèå. Êîîðäèíàòíàÿ çàïèñü ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿÏóñòü â ïðîñòðàíñòâàõ V è Ve çàôèêñèðîâàíû áàçèñû e = (e1, e2, . . . , en) èf = (f1 , f2 , . . . , fm ) ñîîòâåòñòâåííî. Ìàòðèöåé ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ ∈ L(V, Ve ) âïàðå áàçèñîâ e è f íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà A ∈ Mm×n, ñòîëáöû a•1, a•2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
