Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , ak åå ïîäñèñòåìà a1 , a2 , . . . , amm(m 6 k) ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ∑ µiai,i=1ðàâíàÿ o. Çíà÷èò, µ1a1 + µ2a2 + . . . + µmam + 0 · am+1 + . . . + 0 · ak íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ o.2) Ýòî ïåðåôîðìóëèðîâêà óòâåðæäåíèÿ 1). Ëþáàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, ñîäåðæàùàÿ o, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé.Ïóñòü âåêòîðû a1, a2, .
. . , ak è b òàêîâû, ÷òî b ∈ ⟨a1, a2, . . . , ak ⟩.kÒîãäà êîýôôèöèåíòû λ1, λ2, . . . , λk â ðàçëîæåíèè b = ∑ λiai îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî ⇔i=1ñèñòåìà a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà.◃ ⇒ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàïðîòèâ, ñèñòåìà a1 , a2 , . . . , ak ëèíåéíî çàâèñèìà è ñóùåkñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ∑ αiai, ðàâíàÿ o. Òîãäà ìîæíî ïðèáàâèòü ýòói=1ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ê èìåþùåéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, ðàâíîé b, è ïîëó÷èòü íîâîåkëèíåéíîå âûðàæåíèå: b = ∑(λi + αi)ai (îíî äåéñòâèòåëüíî õîòÿ áû â îäíîì êîýôôèöèåíòåk−1⇐Ïðåäëîæåíèå 2.2.Ñëåäñòâèå.Ïðåäëîæåíèå 2.3.i=1îòëè÷àåòñÿ îò ðàçëîæåíèÿ b = ∑ λiai).i=1⇐ Ïóñòü ñèñòåìà a1 , a2 , .
. . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàðÿäó ñ ðàçkkëîæåíèåì b = ∑ λiai èìååòñÿ ðàçëîæåíèå b = ∑ µiai. Âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî ðàâåíñòâàki=1k∑i=1âòîðîå, ïîëó÷àåì (λi − µi)ai = o. Òàê êàê a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåi=1ìà, òî ëåâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà òðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, îòêóäàλi = µi , i = 1, 2, .
. . , k . Ïóñòü a = (a1, a2, . . . , ak ) ñòðîêà âåêòîðîâ, ãäå a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿñèñòåìà. Òîãäà ïðåäûäóùåå ïðåäëîæåíèå ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê çàêîí ñîêðàùåíèÿ:aλ = aµ ⇒ λ = µ. Ýòîò çàêîí âûïîëíåí êàê äëÿ ñòîëáöîâ λ, µ ∈ Mk×1 , òàê è äëÿ ìàòðèöλ, µ ∈ Mk×m .
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî åñëè îòêàçàòüñÿ îò óñëîâèÿ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû a1, a2, . . . , ak , òî ñëåäñòâèå aλ = aµ ⇒ λ = µ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.Ðàíã è ðàçìåðíîñòüÖåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî r íàçûâàåòñÿ ðàíãîì íåïóñòîé ñèñòåìû (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íîé) A âåêòîðîâ èç V åñëè â ñèñòåìå A íàéäåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìàèç r âåêòîðîâ, à ëþáàÿ ïîäñèñòåìà èç r + 1 âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé.§13Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî A èìååò áåñêîíå÷íûé ðàíã, åñëè äëÿ ëþáîãî r ∈ N â A íàéäåòñÿëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà èç r âåêòîðîâ.2.. ËÈÍÅÉÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ. ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÜ È ÐÀÍÃ.
ÁÀÇÈÑÎáîçíà÷åíèå äëÿ ðàíãà: rg A.  ÷àñòíîñòè, rg(a1, a2, . . . , ak ) ðàíã êîíå÷íîé ñèñòåìûâåêòîðîâ a1, a2, . . . , ak . òîì ñëó÷àå, êîãäà A ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â V , áîëåå óïîòðåáèòåëüíîå íàçâàíèåäëÿ ðàíãà ðàçìåðíîñòü. Îáîçíà÷åíèå äëÿ ðàçìåðíîñòè dim A. Èòàê, åñëè U 6 V ,òî dim U = rg U . Ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k íàçûâàþò k-ìåðíûì. Åñëè dim V < ∞, òîïðîñòðàíñòâî V íàçûâàþò êîíå÷íîìåðíûì, èíà÷å áåñêîíå÷íîìåðíûì.Î÷åâèäíî, ñèñòåìà èç îäíîãî íóëåâîãî âåêòîðà èìååò ðàíã 0, à ðàíã ëþáîé êîíå÷íîéñèñòåìû èç k âåêòîðîâ íå ïðåâîñõîäèò k.Êîíå÷íàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, . .
. , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà ⇔rg(a1 , a2 , . . . , ak ) = k .◃ Ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ. Ïðåäëîæåíèå2.4.Ïóñòü A1, A2 äâå ñèñòåìû âåêòîðîâ èç V , ïðè÷åì rg A1 = r1,. Òîãäà rg(A1 ∪ A2) 6 r1 + r2.◃ Ïóñòü ýòî íå òàê, è â îáúåäèíåíèè íàáîðîâ A1 è A2 íàøëàñü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿïîäñèñòåìà èç r1 + r2 + 1 âåêòîðîâ. Íî (ïî îïðåäåëåíèþ ðàíãà è ïðåäëîæåíèþ 2.2) ñðåäèýòèõ âåêòîðîâ íå áîëåå r1 âåêòîðîâ èç A1 è íå áîëåå r2 âåêòîðîâ èç A2. Ïðîòèâîðå÷èå.
Ïóñòü A, B äâå ñèñòåìû âåêòîðîâ èç V , ïðè÷åì A ⊂ B è rg B = r.Òîãäà rg A 6 r.◃ Ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ. Ïðåäûäóùåå ïðåäëîæåíèå ïî÷òè î÷åâèäíî: åñëè ê ñèñòåìå âåêòîðîâ A äîáàâèòü íåêîòîðûå âåêòîðû (ðàñøèðèòü A äî ñèñòåìû B), òî ðàíã íå óìåíüøèòñÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ðàíã íåèçìåíèòñÿ, åñëè ê A äîáàâëÿòü ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç A (è íàîáîðîò, ðàíã íå èçìåíèòñÿ, åñëè èç ñèñòåìû âåêòîðîâ óäàëèòü âåêòîð, êîòîðûé ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî îñòàâøèìñÿâåêòîðàì). Îáîáùåíèå ýòîãî ôàêòà ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ñëåäóþùåé îñíîâíîé òåîðåìûî ðàíãàõ.
Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ïðåäïîøëåì äâå ëåììû (êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìèñëó÷àÿìè òåîðåìû).Ïóñòü A ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V , rg A = r < ∞ è a1, . . . , ar ëèíåéíîíåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà âåêòîðîâ èç A. Òîãäà ëþáîé âåêòîð èç A ðàñêëàäûâàåòñÿ ïîa1 , . . . , ar .◃ Ïóñòü a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç A. Èç îïðåäåëåíèÿ ðàíãà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà èçr + 1 âåêòîðîâ a, a1 , .
. . , ar ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà íàéäóòñÿ ÷èñëà µ, λ1 , . . . , λr ∈ R, íårâñå ðàâíûå íóëþ è òàêèå, ÷òî µa + ∑ λiai = o. Ïðè ýòîì µ ̸= 0, èíà÷å ñèñòåìà a1, . . . , ari=1ráûëà áû ëèíåéíî çàâèñèìîé. Îòñþäà a = − ∑ λµi ai. Ïðåäëîæåíèå 2.5.rg A2 = r2Ïðåäëîæåíèå 2.6.Ëåììà 1.i=1Ïóñòü a1, . . . , ak , b òàêèå âåêòîðû èç V , ÷òî b ∈ ⟨a1, . . . , ak ⟩.
Òîãäà rg(a1, . . .. . . , ak ) = rg(a1 , . . . , ak , b).◃ Ïîëîæèì r = rg(a1 , . . . , ak ) (r 6 k ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå íåâåðíî, è âñèñòåìå a1, . . . , ak , b íàøëàñü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà èç r + 1 âåêòîðîâ. Òîãäàîäèí èç ýòèõ r + 1 âåêòîðîâ ýòî b (òàê êàê â ñèñòåìå a1, . . . , ak íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîéËåììà 2.14Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀïîäñèñòåìû èç r+1 âåêòîðîâ). Èòàê, ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè b, a1, . . . , ar ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Èç ïðåäëîæåíèÿ 2.2 ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà a1, . . . , ar ëèíåéíî íåçàâèñèìà,çíà÷èò, ïî ëåììå 1 êàæäûé èç âåêòîðîâ a1, .
. . , ak ëåæèò â ⟨a1, . . . , ar ⟩. Ïî óñëîâèþ b ðàâåíkëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ a1, . . . , ak : b = ∑ λiai. Ïîäñòàâèâ â ýòî âûðàæåíèå âìåñòîi=1âåêòîðîâ a1, . . . , ak èõ ðàçëîæåíèÿ ïî âåêòîðàì a1, . . . , ar , ïîëó÷èì, ÷òî b ðàñêëàäûâàåòñÿïî âåêòîðàì a1, . . . , ar . Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû b, a1, . . . , ar(ñì. ïðåäëîæåíèå 2.1).
(îñíîâíàÿ òåîðåìà î ðàíãàõ) Ïóñòü A è B äâå òàêèå ñèñòåìû âåêòîðîâèç V , ÷òî A ⊂ B. Ïóñòü rg A = r < ∞. Òîãäà rg B = r ⇔ ëþáîé âåêòîð èç B ïðèíàäëåæèò⟨A⟩.◃ ⇒ Â ñèñòåìå A çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ïîäñèñòåìó a1 , . . . , arèç r âåêòîðîâ. Òàê êàê a1, . . . , ar ∈ B è rg B = r, òî ïî ëåììå 1 (ïðèìåíåííîé ê ñèñòåìå B)ëþáîé âåêòîð èç B ëåæèò â ⟨a1, . . . , ar ⟩ è, ñëåäîâàòåëüíî, â ⟨A⟩.⇐ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå íåâåðíî, è â ñèñòåìå B íàøëàñü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà èç r + 1 âåêòîðîâ b1, b2, . .
. , br+1. Êàæäûé èç íèõ ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ÷åðåç íåñêîëüêî (êîíå÷íîå ÷èñëî) âåêòîðîâ èç A, ïîýòîìó ìîæíî âûáðàòü êîíå÷íóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ a1, a2, . . . , al èç A, ÷åðåç êîòîðûå ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ êàæäûé èç âåêòîðîâ b1, b2, . . . , br+1. Èìååì rg(a1, a2, . . . , al , b1, b2, . . . , br+1) > rg(b1, b2, . . . , br+1) = r + 1.
Ñäðóãîé ñòîðîíû, ïðèìåíÿÿ ìíîãîêðàòíî ëåììó 2, èìååì: rg(a1, a2, . . . , al , b1, b2, . . . , br+1) =Òåîðåìà 2.1.= rg(a1 , a2 , . . . , al , b1 , b2 , . . . , br ) = rg(a1 , a2 , . . . , al , b1 , b2 , . . . , br−1 ) = . . . = rg(a1 , a2 , . . .. . . , al ) 6 rg A = r. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäñòâèå 1.Ñëåäñòâèå 2.Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû âåêòîðîâ A èç V âûïîëíåíî rg A = dim⟨A⟩.Ïóñòü äàíû ïîäïðîñòðàíñòâà U 6 W 6 V òàêèå, ÷òî dim U = dim W < ∞.Òîãäà U = W .Ïîäñèñòåìó a1, .
. . , ak ñèñòåìû âåêòîðîâ A áóäåì íàçûâàòü áàçèñíîé, åñëè1. a1, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà,2. ëþáîé âåêòîð èç A ïðèíàäëåæèò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ⟨a1, . . . , ak ⟩.Ïóñòü rg A = r < ∞. Òîãäà ïîäñèñòåìà a1, a2, . . . , ak ñèñòåìû A ÿâëÿåòñÿáàçèñíîé äëÿ A ⇔ a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà è k = r.◃ Ñðàçó ñëåäóåò èç îñíîâíîé òåîðåìû 2.1. Ïóñòü rg A = r < ∞. Ïóñòü a1, a2, . .
. , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿïîäñèñòåìà ñèñòåìû A. Òîãäà ñèñòåìó a1, a2, . . . , ak ìîæíî äîïîëíèòü r − k âåêòîðàìèäî áàçèñíîé ïîäñèñòåìû.◃ Åñëè k < r, òî k = rg(a1 , a2 , . . . , ak ) < rg A, è ïî îñíîâíîé òåîðåìå 2.1 âA íàéäåòñÿ âåêòîð ak+1 , êîòîðûé íå âûðàæàåòñÿ ëèíåéíî ÷åðåç a1 , a2 , . . . , ak . Òîãäàrg(a1 , a2 , . . . , ak+1 ) > k , ñëåäîâàòåëüíî a1 , a2 , . . . , ak+1 ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà.Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ äîáàâëåíèÿ âåêòîðîâ, â êîíöå êîíöîâ ïðèäåì ê áàçèñíîé ïîäñèñòåìå.Òåîðåìà 2.2.Ïðåäëîæåíèå 2.7.ÁàçèñÓïîðÿäî÷åííûé êîíå÷íûé íàáîð âåêòîðîâ e1, e2, . . . , en íàçûâàåòñÿ áàçèñîì âåêòîðíîãîïðîñòðàíñòâà V , åñëèB1. e1, e2, . . . , en ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà;B2.
V = ⟨e1, e2, . . . , en⟩.§2.. ËÈÍÅÉÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ. ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÜ È ÐÀÍÃ. ÁÀÇÈÑ15Âèäèì, ÷òî îïðåäåëåíèå áàçèñà ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì áàçèñíîé ïîäñèñòåìû.Áàçèñû ÷àñòî áóäåì äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷àòü îäíîé áóêâîé, èìåÿ â âèäó óïîðÿäî÷åííûé íàáîð âåêòîðîâ èëè ñòðîêó èç âåêòîðîâ, íàïðèìåð: e = (e1, e2, . . . , en).(Îïèñàíèå áàçèñîâ) Ïóñòü dim V = n < ∞.
Òîãäà óïîðÿëð÷åííûé íàáîð âåêòîðîâ e1, . . . , ek ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà V ⇔ ñèñòåìà e1, . . . , ek ëèíåéíî íåçàâèñèìà è k = n.◃ Ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.2. Ñóùåñòâîâàíèå áàçèñîâ â âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ êîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè ñëåäóåò èçïðåäûäóùåé òåîðåìû. Åñëè dim V = n < ∞, òî êàæäûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V ñîäåðæèòðîâíî n âåêòîðîâ. Åñëè dim V = ∞, òî êîíå÷íîãî áàçèñà â V íå ñóùåñòâóåò (â ýòîì êóðñåìû íå áóäåì çàíèìàòüñÿ ïîíÿòèåì áåñêîíå÷íîãî áàçèñà).Ïóñòü dim V = n < ∞, è e1, e2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
