Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. , ek ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ. Òîãäà ýòó ñèñòåìó ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñà e1, e2, . . . , ek , ek+1, . . . , enïðîñòðàíñòâà V .◃ Ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 2.7. Òåîðåìà 2.3.Ïðåäëîæåíèå 2.8.ÊîîðäèíàòûÏóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V çàôèêñèðîâàí áàçèñ e = (e1, e2, . . . , en).
Êîýôôèöèåíòû x1, x2, . . . , xn â ðàçëîæåíèè a = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen âåêòîðà a ∈ V ïî ýòîìóáàçèñó íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà a â áàçèñå e.Èç ïðåäëîæåíèÿ 2.3 ñëåäóåò, ÷òî óïîðÿäî÷åííûé íàáîð êîîðäèíàò äàííîãî âåêòîðà aâ äàííîì áàçèñå îäíîçíà÷íî îïðåäåëåí. Óïîðÿäî÷åííûéíàáîð êîîðäèíàò (x1, x2, .
. . , xn) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå ñòîëáöà:x1 x2 X = .. ..xnÝòîò ñòîëáåö íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûìñòîëáöîì âåêòîðà a â áàçèñå e. Äëÿ ëþáîãî óïîðÿäî÷åííîãî íàáîðà êîîðäèíàò èìååòñÿâåêòîð èç V èìåííî ñ òàêèì íàáîðîì êîîðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì, åñëè â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V çàôèêñèðîâàí áàçèñ e, òî èìååòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäóìíîæåñòâîì V è ìíîæåñòâîì Mn×1 (âåêòîðó ñîïîñòàâëÿòñÿ êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö).
Çàïèñüa = eX áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî âåêòîð a èìååò êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö X â áàçèñå e.(ëèíåéíîñòü ñîïîñòàâëåíèÿ êîîðäèíàò) Ïóñòü â V çàôèêñèðîâàí áàçèñe = (e1 , e2 , . . . , en ). Òîãäà ïðè ñëîæåíèè âåêòîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ñêëàäûâàþòñÿ, à ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà íà ÷èñëî λ ∈ R ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû óìíîæàþòñÿ íà λ. (Òî åñòü åñëè a = eX b = eY , òî a + b = e(X + Y ), λa = e(λX).2nn∑∑◃ Ïî óñëîâèþ a = eX =xi ei , b = eY =yi ei .
Ñëîæèâ ðàâåíñòâà, èìåi=1i=1nåì a + b = ∑(xi + yi)ei = e(X + Y ). Óìíîæèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà λ, èìååìi=1n∑λa = (λxi )ei = e(λX). i=1Èòàê, ïðè ôèêñàöèè áàçèñà âîçíèêàåò ëèíåéíîå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó V è Mn×1 ñîïîñòàâëåíèå âåêòîðó åãî êîîðäèíàòíîãî ñòîëáöà.Ïðåäëîæåíèå 2.9.2 Çàìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ïðåäëîæåíèÿ îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ðàñêðûòèÿ ñêîáîê åñòåñòâåííûì îáðàçîì â êîìïàêòíûõ îáîçíà÷åíèÿõ.16Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÇàìåíà áàçèñà è êîîðäèíàòÏóñòü e = (e1, e2, . .
. , en) è e′ = (e′1, e′2, . . . , e′n) äâà áàçèñà â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V(n = dim V ).Ìàòðèöà S ðàçìåðà n × n, j -ûé ñòîëáåö êîòîðîé ðàâåí êîîðäèíàòíîìó ñòîëáöó âåêòîðàe′j â áàçèñå e (j = 1, 2, . . . , n), íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e′ .Îïðåäåëåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ñòîëáöû s•1, . . .
, s•n ìàòðèöû ïåðåõîäà îò e ê e′ óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì e′1 = es•1, . . . , e′n = es•n. Ýòè ðàâåíñòâà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå e′ = eS . Ïîñóòè ýòî êîìïàêòíàÿ çàïèñü îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû ïåðåõîäà.Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê ñàìîìó ñåáå ýòî åäèíè÷íàÿìàòðèöà.Ïóñòü dim V = n < ∞ è a ∈ V èìååò â áàçèñàõ e è e′ êîîðäèíàòíûåñòîëáöû X è X ′. ÒîãäàÒåîðåìà 2.4.X = SX ′ ,ãäå S ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e′.◃ Ïî óñëîâèþ a = eX = e′ X ′ . Òàê êàê e′ = eS , èìååì eX = eSX ′ ,3 è èç çàêîíà ñîêðàùåíèÿ (e ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà) ïîëó÷àåì X = SX ′. Ïóñòü e, e′, e′′ òðè áàçèñà â V . Ïóñòü S ìàòðèöà ïåðåõîäà îòe ê e′ , à R ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e′ ê e′′ . Òîãäà ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e ê e′′ ðàâíà SR.◃ e′′ = e′ R = (eS)R = e(SR). Ïðåäëîæåíèå 2.10.Ìàòðèöà S ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e′ îáðàòèìà, è S −1 ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e′ ê áàçèñó e.◃ Ïîëîæèâ â ïðåäëîæåíèè 2.10 e′′ = e, ïîëó÷èì SR = E .
Ñëåäñòâèå.ÏðèìåðûI. Ïîíÿòèå áàçèñà íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì èç êóðñà ãåîìåòðèè: áàçèñû íà ïëîñêîñòè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ(ò.å. ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì); áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå óïîðÿäî÷åííûå òðîéêè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ (ò.å. ãåîìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿòðåõìåðíûì).II.1. Ñòàíäàðòíûé áàçèñ â Mm×n îáðàçóþò ìàòðèöû, ýëåìåíòû êîòîðûõ âñå íóëè, êðîìå îäíîé åäèíèöû. Òîãäà ÷èñëà, çàïèñàííûå â ÿ÷åéêàõ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöûA ∈ Mm×n , ýòî êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè A ïî ñòàíäàðòíîìó áàçèñó. Îòñþäàdim Mm×n = mn.
 ÷àñòíîñòè, dim Mn×1 = n.II.2. Ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 Rn = Mn×1 ìîæåò áûòü çàäàíî êàê ëèíåéíàÿ îáîëî÷êàíåñêîëüêèõ ñòîëáöîâ: U = ⟨a•1, . . . , A•k ⟩. Áàçèñ U â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè, âûïîëíèâýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòîëáöîâ (îíè íå èçìåíÿþò èõ ëèíåéíóþ îáîëî÷êó) äîñòóïåí÷àòîãî âèäà. Èìååì dim U = rg A, ãäå A ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ñòîëáöîâa•1 , . . .
, A•k .3 Íà ñàìîì äåëå çäåñü èñïîëüçóåì àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ìàòðèö.§17II.3. Ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 Rn ìîæåò áûòü çàäàíî êàê ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåêîòîðîéîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé AX = O, ò.å. U = Sol(AX = O). Ïðè ýòîìåñëè rg A = r, òî dim U = n − r. ÔÑÐ (ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé) ñèñòåìûAX = O ýòî áàçèñ â U = Sol(AX = O). óêàçàííîì âèäå ìîæåò áûòü çàäàíî ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî U 6 Rn (èìååòñÿ àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ ÑËÓ, äëÿ êîòîðîé äàííàÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòîëáöîâ ÿâëåòñÿ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé; ñì. òàêæå ïðåäëîæåíèå 2.10 ãëàâû ).3..
ÑÓÌÌÀ ÏÎÄÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ. ÏÐßÌÀß ÑÓÌÌÀ??III.1. Íàáîð ñòåïåíåé 1,nx, x2, . . . , xn áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå Pn. Äåéñòâèòåëüíî, åñëèëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ∑ λixi ðàâíà íóëåâîé ôóíêöèè, òî âñå êîýôôèöèåíòû ðàâíû 0,i=0èíà÷å ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè k áóäåò èìåòü áîëüøå ÷åì k êîðíåé.Çíà÷èò dim Pn = n + 1.
Ïðîñòðàíñòâî P âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ óæå íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì.III.2. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî ôèáîíà÷÷èåâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéV = {(f1 , f2 , . . .) | fi+1 = fi + fi−1 , i = 2, 3, . . .}. Êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç Vîäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè f1, f2. Ðàññìîòðèì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè e1 = (1, 0, 1, 1, 2, . .
.) è e2 = (0, 1, 1, 2, 3, . . .). Îíè îáðàçóþò ñòàíäàðòíûé áàçèñâ V : êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (f1, f2, . . .) ∈ V ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåéf1 e1 + f2 e2 (ïîñêîëüêó ñîâïàäàþò ïåðâûå äâà ÷ëåíà).  ÷àñòíîñòè, dim V = 2. V ìîæíî îáíàðóæèòü èçâåñòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãåîìåòðè÷åñêèå ïðîãðåññèè.Äåéñòâèòåëüíî (1, λ, λ2, . . .) ∈ V ⇔ λi+1 = λi + λi−1, i = 2, 3, . . .. Ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî√ðàâåíñòâ ýêâèâàëåíòíî åäèíñòâåííîìó ðàâåíñòâó λ2 = λ + 1, îòêóäà λ1,2 = 1±2 5 .Íàéäåííûå ïðîãðåññèè λ(i) = (1, λi, λ2i , .
. .), i = 1, 2, îáðàçóþò áàçèñ â V (î÷åâèäíî,λ(1) , λ(2) ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà).Ëèíåéíîå âûðàæåíèå (îáû÷íîé) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ôèáîíà÷÷è f = (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)÷åðåç λ(i) ïîçâîëèò íàéòè ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è fn. Ðàâåíñòâîf = c1 λ(1) + c2 λ(2) ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå ðàâåíñòâäëÿ ïåðâûõäâóõ ÷ëåíîâ:√√λ5+15−11 = c1 + c2 , 1 = c1 λ1 + c2 λ2 . Îòñþäà c1 = 2√5 = √5 , c2 = 2√5 = − √λ 5 . È îêîí÷àòåëüíî,λ −λfn = c1 λn−1+ c2 λn−1= √5 .121n12n2Íàéäèòå dim M+n×n è dim M−n×n. Óêàæèòå áàçèñû ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ.(Òðåóãîëüíûé áàçèñ) Äàíà âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà A ∈ Mn×n, óêîòîðîé íà ãëàâíîé äèàãîíàëè íåíóëåâûå ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî åå ñòîëáöû îáðàçóþò áàçèñâ Mn×1.Óïðàæíåíèå.Óïðàæíåíèå.§ 3. Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ. Ïðÿìàÿ ñóììàÑóììà ïîäïðîñòðàíñòâÏóñòü A1, A2, .
. . , Ak ïîäìíîæåñòâà â V . Ñóììîé (ïî Ìèíêîâñêîìó) ïîäìíîæåñòâA1 , A2 , . . . , Ak íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî {a1 + a2 + . . . + ak | ai ∈ Ai }, i = 1, . . . , k .Îáîçíà÷åíèå äëÿ ñóììû ïîäìíîæåñòâ: A1 + A2 + . . . + Ak èëè ∑ Ai. Èç îïðåäåëåíèÿi=1ÿñíî, ÷òî A1 + A2 = A2 + A1, (A1 + A2) + A3 = A1 + (A2 + A3).Äàëåå áóäåì çàíèìàòüñÿ ñóììàìè ïîäïðîñòðàíñòâ.Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ñâÿçûâàåò ïîíÿòèÿ ñóììû è ëèíåéíîé îáîëî÷êè.k18Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÏóñòü Ui = ⟨Ai⟩, i = 1, 2, . . . , k.
Òîãäà∪∪ ∪Ui = ⟨A1 A2 . . . Ak ⟩.Ïðåäëîæåíèå 3.1.k∑i=1◃Ïî îïðåäåëåíèþ, ∑ Ui ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ âèäà ∑ ai, ãäå ai ìîæåò áûòü çíà÷åkki=1i=1íèåì ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç Ai, à çíà÷èò ìíîæåñòâî ñóìì ∑ aii=1ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ëèíåéíûõ êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak . kÑëåäñòâèå.ñòðàíñòâîì.Ñóììà íåñêîëüêèõ (êîíå÷íîãî ÷èñëà) ïîäïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ ïîäïðî-Âèäèì, ÷òî ñóììà ∑ Ui ïîäïðîñòðàíñòâ U1, . .
. , Uk ýòî ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþi=1ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå êàæäîå èç ïîäïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Uk .kÏðåäëîæåíèå 3.2.◃Ïóñòü Ui 6 V , i = 1, 2, . . . , k. Òîãäà dim(k∑)6Uik∑dim Uii=1i=1.Ïî ïðåäûäóùåìó ïðåäëîæåíèþ, ∑ Ui = ⟨U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Uk ⟩.
Íî ïî îñíîâíîé òåîðåìåki=12.1 è ïðåäëîæåíèþ 2.5 èìååì dim⟨U1∪U2∪...∪Uk ⟩ = rg(U1∪U2∪...∪Uk ) 6k∑i=1dim Ui .Äëÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ïîäìíîæåñòâ âûïîëíåíû äàëåêî íå âñå ñâîéñòâà, êîòîðûìèîáëàäàåò îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ. Íàïðèìåð, âîîáùå ãîâîðÿ íå âûïîëíåí çàêîí ñîêðàùåíèÿ, ñêàæåì, äëÿ ëþáîãî ïîäïðîñòðàíñòâà U 6 V ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî U + U = U .Òàêæå íå ðàáîòàåò àíàëîãèÿ ìåæäó ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìîáúåäèíåíèåì: ñêàæåì íå âñåãäà (U1 +U2)∩U3 = (U1 ∩U3)+(U2 ∩U3) â îòëè÷èå îò òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîãî òîæäåñòâà (U1 ∪ U2) ∩ U3 = (U1 ∩ U3) ∪ (U2 ∩ U3).Ïðèâåäèòå ïðèìåð ïîäïðîñòðàíñòâ U1, U2, U3 íåêîòîðîãî âåêòîðíîãîïðîñòðàíñòâà V òàêèõ, ÷òî (U1 + U2) ∩ U3 ̸= (U1 ∩ U3) + (U2 ∩ U3).Óïðàæåíåíèå.Ïðÿìàÿ ñóììàÂàæåí ñëåäóþùèé ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ.Ñóììà U ïîäïðîñòðàíñòâ U1, U2, .
. . , Uk íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé, åñëè ∀a ∈ U èìåkåòñÿ åäèíñòâåííûé íàáîð ai ∈ Ui (i = 1, 2, . . . , k) òàêîé, ÷òî a = ∑ ai.i=1Îáîçíà÷åíèå äëÿ ïðÿìîé ñóììû: U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Uk èëè ⊕ Ui. Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî Ui=1ðàçëîæåíî â ïðÿìóþñóììóïîäïðîñòðàíñòâU,U,...,U.Ïðèìåððàçëîæåíèÿ â ïðÿìóþ12kñóììó: V = ⟨e1⟩ ⊕⟨e2⟩ ⊕ . . .
⊕⟨en⟩, ãäå e1, e2, . . . , en íåêîòîðûé áàçèñ â V .k ñëó÷àå ðàññìîòðåíèÿ ñóììû U = ∑ Ui ÷åðåç Ui îáîçíà÷àåì ñóììó âñåõ ðàññìàòðèâài=1åìûõ ïðîñòðàíñòâ, çà èñêëþ÷åíèåì Ui, ò.å. Ui = U1 + . . . + Ui−1 + Ui+1 + . . . + Uk .(êðèòåðèé-1 ïðÿìîé ñóììû) Ïóñòü Ui 6 V , i = 1, . . . , k. Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Uk ïðÿìàÿ ñóììà ⇔ Ui ∩ Ui = O, i = 1, 2, . . .
, k.kÒåîðåìà 3.1.§193.. ÑÓÌÌÀ ÏÎÄÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ. ÏÐßÌÀß ÑÓÌÌÀÏðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ñêàæåì óñëîâèå Ui ∩ Ui = O íå âûïîëíåíî äëÿ i = 1.Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàøåëñÿ íåíóëåâîé âåêòîð a1 ∈ U1 ∩ U1. Èìååì a1 = a2 + . . . + ak äëÿíåêîòîðûõ ai ∈ Ui, i = 2, . . . , k. Íî òîãäà o = o + . . . + o = a1 + (−a2) + . . . + (−ak ) äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿ íóëåâîãî âåêòîðà â ñóììó âåêòîðîâ èç Ui âîïðåêè îïðåäåëåíèþïðÿìîé ñóììû.k∑⇐ Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ñóììà U =Ui íå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé, òîãäà äëÿ◃ ⇒i=1íåêîòîðîãî âåêòîðà a ∈ U íàéäóòñÿ äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿ a = ∑ ai = ∑ bi, ãäåi=1i=1ai ∈ Ui , bi ∈ Ui , i = 1, . .
. , k . Ðàçëîæåíèÿ ðàçëè÷íû, çíà÷èò õîòÿ áû äëÿ îäíîãî i èìååìk∑ai ̸= bi , ñêàæåì a1 ̸= b1 . Íî òîãäà a1 −b1 = (bi −ai ).  ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà íåíóëåâîéi=2âåêòîð èç U1, à â ïðàâîé ÷àñòè âåêòîð èç U1, ïîýòîìó U1 ∩ U1 ̸= O. Ïðîòèâîðå÷èå. Ïóñòü U1 6 V , U2 6 V . Òîãäà U1 + U2 ïðÿìàÿ ñóììà ⇔ U1 ∩ U2 = O.Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Uk ïðÿìàÿ ñóììà ⇔ ∀ ai ∈ Ui, ai ̸= oñèñòåìà a1, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
