Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 5
Текст из файла (страница 5)
, ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà.Ïóñòü Ui 6 V òàêîâû, ÷òî U1 ⊕U2 ⊕U3 ïðÿìàÿ ñóììà. Òîãäà U = U2 ⊕U3 ïðÿìàÿ ñóììà è U1 ⊕ U òàêæå ïðÿìàÿ ñóììà. îòëè÷èå ñëó÷àÿ äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ, óñëîâèå òðèâèàëüíîñòè ïîïàðíûõ ïåðåñå÷åíèéU1 ∩ U2 = U2 ∩ U3 = U3 ∩ U1 = O íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ U1 + U2 + U3 áûëà ïðÿìîé ñóììîé. Êîíòðïðèìåðîì ìîãóò ñëóæèòü òðè ðàçëè÷íûõîäíîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâà, ëåæàùèå â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.Ïóñòü Ui 6 V , i = 1, . .
. , k, ïîäïðîñòðàíñòâà, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî:j−1k∑∑Ui ïðÿìàÿ ñóììà.Uj ∩ ( Ui ) = O äëÿ âñåõ j = 2, 3, . . . , k . ÒîãäàkkÑëåäñòâèå.Óïðàæíåíèå.Óïðàæíåíèå.Óïðàæíåíèå.i=1i=1(êðèòåðèé-2 ïðÿìîé ñóììû) Ïóñòü Ui 6 V , dim Ui = ni < ∞, e(i) áàçèñkâ Ui, i = 1, . .
. , k; U = ∑ Ui. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:Òåîðåìà 3.21) U =k⊕i=1Ui.i=1;2) ñèñòåìà èç ∑ ni âåêòîðîâkk∪i=1i=13) dim U = ∑ ni.e(i) áàçèñ â ïîäïðîñòðàíñòâå U ;ki=1Èìååì Ui = ⟨e(i)⟩, òîãäà ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 3.1, U = ⟨e⟩, ãäå e = ∪ e(i).i=12) ⇔ 3) Ïî ñëåäñòâèþ èç îñíîâíîé òåîðåìû 2.1 èìååì dim U = rg e. Çíà÷èò (ñì. ïðåäëîkkæåíèå 2.4) dim U = ∑ ni ⇔ rg e = ∑ ni ⇔ ñèñòåìà e ëèíåéíî íåçàâèñèìà.i=1i=11) ⇒ 2) Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, è ñèñòåìà e ëèíåéíî çàâèñèìà. Çàïèøåì íåòðèâèàëükíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ èç e, ðàâíóþ o: ∑ ℓi = o, ãäå ℓi ëèíåéíàÿ êîìáèíài=1öèÿ âåêòîðîâ èç e(i).
Õîòÿ áû îäíà èç ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ℓi íåòðèâèàëüíàÿ, ïóñòü ýòî ℓ1,òåì ñàìûì ℓ1 ̸= o. Òîãäà ℓ1 = −ℓ2 − . . . − ℓk . Çäåñü ℓi ðàâíî íåêîòîðîìó âåêòîðó èç Ui, çíà÷èòℓ1 ∈ U1 ∩ U1 â ïðîòèâîðå÷èå ñ òåîðåìîé 3.1.2) ⇒ 1) Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, U íå ÿâëÿåòÿñÿ ïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ Ui, èñêàæåì (ñì. òåîðåìó 3.1) ∃ a ̸= o: a ∈ U1 ∩ U1. Òîãäà a = ℓ1 = ℓ2 + . . . + ℓk , ãäå ℓi ∈ Ui,◃k20Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀò.å. ℓi ðàâíî íåêîòîðîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç e(i). Ïåðåíîñÿ â ëåâóþ ÷àñòü,ïîëó÷àåì ℓ1 −ℓ2 −. .
.−ℓk = o (â ëåâîé ÷àñòè íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ïîñêîëüêóóæå ℓ1 íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ), îòêóäà e ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà.Ïðîòèâîðå÷èå. Ïðÿìîå äîïîëíåíèå. ÏðîåêöèèÅñëè U1 6 V è U2 6 V òàêîâû, ÷òî U1 ⊕ U2 = V , òî ïîäïðîñòðàíñòâî U2ïîäïðîñòðàíñòâà U1 (â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V ).ïðÿìûì äîïîëíåíèåìíàçûâàþòÏîäïðîñòðàíñòâà U1 è U2 âõîäÿò â îïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî, ïîýòîìó: U1 ïðÿìîåäîïîëíåíèå äëÿ U2 ⇔ U2 ïðÿìîå äîïîëíåíèå äëÿ U1. Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìîå äîïîëíåíèåíè÷åãî îáùåãî íå èìååò ñ ïîíÿòèåì òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî äîïîëíåíèÿ.Ïóñòü dim V = n < ∞. Òîãäà ñóììà ðàçìåðíîñòåé ïîäïðîñòðàíñòâàè ëþáîãî åãî ïðÿìîãî äîïîëíåíèÿ ðàâíà n.◃ Ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.2.
Ïóñòü dim V = n < ∞. Äëÿ ëþáîãî ïîäïðîñòðàíñòâà U 6 V ñóùåñòâóåò ïðÿìîå äîïîëíåíèå.◃ Âûáåðåì â U áàçèñ e1 , . . . , ek . Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.8, ñèñòåìó e1 , . . . , ek ìîæíîäîïîëíèòü äî áàçèñà e1, . . . , ek , ek+1, . . . , en ïðîñòðàíñòâà V . Òîãäà èç òåîðåìû 3.2 âûòåêàåò,÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî W = ⟨ek+1, . . . , en⟩ òàêîâî, ÷òî U ⊕ W = V . Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ìíîãî ïðÿìûõ äîïîëíåíèé(äîñòàòî÷íî ïîñìîòðåòüíà ãåîìåòðè÷åñêèé ïðèìåð U 6 V , ãäå dim U = 1, dim V = 2).⊕Åñëè V = U1 U2, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðÿìîé ñóììû, ëþáîé âåêòîð a ∈ Vîäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû a = a1 + a2, ãäå ai ∈ Ui, i = 1, 2. Âåêòîð a1íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèåé âåêòîðà a íà ïîäïðîñòðàíñòâî U1 âäîëü U2 (èëè ïàðàëëåëüíî U2).Ïðåäëîæåíèå 3.3.Ïðåäëîæåíèå 3.4.Ôîðìóëà ðàçìåðíîñòåé ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿÒåîðåìà 3.3(ôîðìóëà Ãðàññìàíà) Ïóñòü U1 6 V , U2 6 V .
Òîãäà.dim(U1 + U2 ) + dim(U1 ∩ U2 ) = dim U1 + dim U2 .Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé dim Ui < ∞ (èíà÷å â îáåèõ ÷àñòÿõ ôîðìóëû áåñêîíå÷íîñòü).Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 3.4, ìîæåì âûáðàòü W 6 U2 òàê, ÷òî(U1 ∩ U2 ) ⊕ W = U2 .(1.1)Òîãäà U1 + U2 = U1 + ((U1 ∩ U2) + W ) = (U1 + (U1 ∩ U2)) + W = U1 + W . Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêóW 6 U2 , èìååì U1 ∩ W = U1 ∩ U2 ∩ W = (U1 ∩ U2 ) ∩ W = O (èç (1.1) ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû3.1). Ïîëó÷àåì, ÷òî U1 + W ïðÿìàÿ ñóììà:U1 + U2 = U1 ⊕ W.(1.2)Ñîãëàñíî òåîðåìå 3.2, èç ðàâåíñòâ (1.1) è (1.2) ñëåäóåò, ÷òîdim W = dim U2 − dim(U1 ∩ U2 ) = dim(U1 + U2 ) − dim U1 , îòêóäà ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ôîðìóëàðàçìåðíîñòåé.
Ïóñòü dim V = 4. Ñóùåñòâóþò ëè ïîäïðîñòðàíñòâà U1 è U2 òàêèå, ÷òîdim U1 = dim U2 = 3 è dim(U1 ∩ U2 ) = 1?◃Óïðàæíåíèå.§213.. ÑÓÌÌÀ ÏÎÄÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ. ÏÐßÌÀß ÑÓÌÌÀÏðèìåðûI.1. Ñóììà äâóõ íåïàðàëëåëüíûõ îòðåçêîâ ïàðàëëåëîãðàìì. (Çäåñü, êàê îáû÷íî,òî÷êè îòîæäåñòâëÿåì ñ êîíöàìè ðàäèóñ-âåêòîðîâ.)I.2. Ïóñòü V ãåîìåòðè÷åñêîå òðåõìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, U1 6 V , dim U1 = 1(ò.å. U1 ïðÿìàÿ), U2 6 V , dim U2 = 2 (ò.å. U2 ïëîñêîñòü). Åñëè U1 ⊄ U2, òîV = U1 ⊕ U2 .→Ïîíÿòíî, êàê ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëîæèòü ðàäèóñ-âåêòîð −OAâ ñóììó ïðîåêöèé: ÷åðåçA ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ U1 ; ïóñòü îíà ïåðåñåêàåò U2 â òî÷êå A2 .
Òîãäà−−→−−→a = a1 + a2 , ãäå a1 = A2 A, a2 = OA2 .II.1. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñîâìåñòíîé ÑËÓ AX = b ñ n íåèçâåñòíûìè èìååò âèä{X0 } + Sol(AX = O). Åñëè r = rg A, òî Sol(AX = b) ýòî (n − r)-ìåðíàÿ ïëîñêîñòü(èëè (n − r)-ìåðíîå ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå) â ïðîñòðàíñòâå Rn.II.2. Mn×n = M+n×n ⊕ M−n×n.TTÄåéñòâèòåëüíî, A = A +2 A + A −2 A è M+n×n ∩ M−n×n = O.II.3. Ïóñòü A ∈ Mn×m, A = (a•1 . . . a•m). Ïîëîæèì U = ⟨a•1 . . . a•m⟩, dim U = rg A = r.Ïóñòü W = Sol(AT X = O). Òîãäà dim W = n−r. Êðîìå òîãî U ∩W = O. Äåéñòâèòåëüíî (åñòåñòâåííîå îáúÿñíåíèå ïîëó÷àåòñÿ òàêæå â÷òî Y∈ U ∩ W,òî åñòü Y T Y= O,??ãëàâû ), åñëè??îòêóäà ∑ yi2 = 0, çíà÷èò Yni=1y1 y2 Y = .. .ynòàêîâ,= O.III.1. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî F = F+ ⊕ F−, ãäå F+, F− ïîäïðîñòðàíñòâà ÷åòíûõ èíå÷åòíûõ ôóíêöèé.Çàìåòèì, ÷òî ex = ch x + sh x, ïðè ýòîì f (x) = ch x ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, à g(x) = sh x íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïîýòîìó f (x) = ch x ýòî ïðîåêöèÿ ôóíêöèè y(x) = ex íà F+âäîëü F−.22Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÃëàâà 2Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ§ 1. Îïðåäåëåíèå. Îïåðàöèè íàä ëèíåéíûìè îòîáðàæåíèÿìè. ÈçîìîðôèçìÎïðåäåëåíèå è åãî ñëåäñòâèÿ ýòîé ãëàâå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà (íàä R èëè íàä C) îáîçíà÷àåì V , Ve , Vee .Îòîáðàæåíèå φ : V → Ve íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè ∀ a, b ∈ V è ∀ λ ∈ R (C)âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâàL1. φ(a + b) = φ(a) + φ(b),L2. φ(λa) = λφ(a).×åðåç L(V, Ve ) îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé V → Ve .Ïðèìåðîì ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íóëåâîå îòîáðàæåíèå ψ : V → Ve òàêîå, ÷òî∀ a ∈ V âûïîëíåíî ψ(a) = o.Åñëè Ve = V , òî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå V → Ve íàçûâàþò òàêæå ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì èëè ëèíåéíûì îïåðàòîðîì.Åñëè dim Ve = 1, òî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå V → Ve íàçûâàþò òàêæå ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì èëè ëèíåéíîé ôóíêöèåé.Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ).
Òîãäà ∀ ai ∈ V è ∀ λi ∈ R âûïîëíåíîÏðåäëîæåíèå 1.1.(φk∑)λi a i=k∑λi φ(ai ) .(2.1)i=1i=1Ñëåäóåò èç ìíîãîêðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ L1, L2. Îòìåòèì, ÷òî L1 è L2 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòíûå ñëó÷àè ôîìóëû (2.1). Çàôèêñèðóåìíåñëîæíûå, íî âàæíûå ñëåäñòâèÿ îïðåäåëåíèÿ è ïðåäûäóùåãî ïðåäëîæåíèÿ.Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ). Òîãäà1. φ(o) = o;2. ∀ a ∈ V âûïîëíåíî φ(−a) = −φ(a).◃ 1. Ñëåäóåò èç L2 äëÿ λ = 0.2. Ñëåäóåò èç L2 äëÿ λ = −1. 1. Åñëè a1, a2, . .
. , ak ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òîφ(a1 ), φ(a2 ), . . . , φ(ak ) òîæå ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ.2. ∀ A ⊂ V âûïîëíåíî rg φ(A) 6 rg A.◃Ïðåäëîæåíèå 1.2.Ïðåäëîæåíèå 1.3.2324Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß1. Ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 1.1 è ïóíêòà 1 ïðåäëîæåíèÿ 1.2.2. Ñëåäóåò èç 1. (îáðàç ïîäïðîñòðàíñòâà) Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ), U 6 V è U = ⟨A⟩.
Òîãäà1. φ(U ) 6 Ve , áîëåå òîãî, φ(U ) = ⟨φ(A)⟩. ÷àñòíîñòè, åñëè e1, e2, . . . , en áàçèñ â V , òî φ(V ) = ⟨φ(e1), φ(e2), . . . , φ(en)⟩.2. dim φ(U ) 6 dim U .◃ 1. Ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 1.1.2. Ñëåäóåò èç 1 (èëè ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïóíêòà 2 ïðåäëîæåíèÿ 1.3).  ñëåäóùåì ïðåäëîæåíèè îòìåòèì îòäåëüíî ñâîéñòâà ëèíåéíîãî âëîæåíèÿ (èíúåêòèâíîãî îòîáðàæåíèÿ).Ïóñòü φ ∈ L(V, Ve ) è φ èíúåêòèâíî. Òîãäà1.
Åñëè a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òî φ(a1), φ(a2), . . . , φ(ak ) òîæå ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ.2. ∀ A ⊂ V âûïîëíåíî rg φ(A) = rg A. ÷àñòíîñòè, äëÿ U 6 V âûïîëíåíî dim φ(U ) = dim U .◃Ïðåäëîæåíèå 1.4.Ïðåäëîæåíèå 1.5.◃1. Ïóñòük∑i=1λk φ(ak ) = o,òîãäà φ(k∑)λi a ii=1= o.Íî φ(o) = o, ïîýòîìó â ñèëó èíú-åêòèâíîñòè, ∑ λiai = o. Îòñþäà, ïîñêîëüêó a1, a2, . .
. , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà,ki=1èìååì λ1 = . . . = λk = 0, òî åñòü ∑ λk φ(ak ) òðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ.i=12. Ñëåäóåò èç 1. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå îïðåäåëåíî, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, îáðàçàìè áàçèñíûõ âåêòîðîâ.Ïóñòü e = (e1, e2, . . . , en) áàçèñ â V , è c1, c2, . . . , cn ôèêñèðîâàííûåeâåêòîðû èç V .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
