Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Îïðåäåëèòåëü, ñëåä, íàáîð õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ÷èñåë (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé) ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ φ ∈ L(V, V ) íå çàâèñÿò îò âûáîðà áàçèñà.Ñëåäóþùèå òåîðåìû ïðîÿñíÿþò ñâÿçü ìåæäó õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì èïðåäûäóùèì ðàçäåëîì.Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R(C), è ïóñòü λ0 ∈ R(C). Òîãäàλ0 ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿ φ ∈ L(V, V ) ⇔ λ0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ÷èñëî.◃ λ0 ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ⇔ Ker(φ − λ0 ) ̸= O ⇔ (ïåðåõîäÿ ê êîîðäèíàòàì)Sol((A − λ0 E)X = O) ̸= O ⇔ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A − λ0 E âûðîæäåííàÿ ⇔ |A − λ0 E| = 0.Ñëåäñòâèå.Òåîðåìà 5.1.Äîêàæèòå, ÷òî â íå÷åòíîìåðíîì âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå ó ëþáîãîëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóùåñòâóåò ñîáñòâåííûé âåêòîð.Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R(C), λ0 ∈ R(C). Ïóñòü λ0ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè s0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà χφ(λ) ïðåîáðàçîâàíèÿφ ∈ L(V, V ).
Òîãäà 1 6 dim Vλ 6 s0 .◃ Ïóñòü dim Vλ = s. Âûáåðåì â dim Vλ áàçèñ e1 , . . . , es è äîïîëíèì( åãî äî) áàçèñàλ0 Es C. Òîãäàe = e1 , . . . , en â ïðîñòðàíñòâå V . Òîãäà φ −→e,e A, ãäå A èìååò áëî÷íûé âèäODχφ (λ) = |A − λE| = |λ0 Es − λEs | · |D − λEn−s | = (λ0 − λ)s p(λ), ãäå p ìíîãî÷ëåí. Óïðàæíåíèå.Òåîðåìà 5.2.00038Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÄèàãîíàëèçèðóåìîñòü è òðåóãîëüíûé âèäÏðåîáðàçîâàíèå φ ∈ L(V, V ) íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóåìûì, åñëè âáàçèñ, â êîòîðîì ìàòðèöà φ èìååò äèàãîíàëüíûé âèä.VñóùåñòâóåòÏóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R(C).
Ïóñòü φ ∈ L(V, V ), èìååòðàçëè÷íûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà λ1, λ2, . . . , λk êðàòíîñòåé s1, s2, . . . , sk . Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) φ äèàãîíàëèçèðóåìî;2)  V ñóùåñòâóåò áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ;3) dim Vλ = si äëÿ i = 1, 2, . . . , k (â ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå V íàä R íåîáõîäèìî âñåλ1 , λ2 , . . . , λk âåùåñòâåííûå).k4) V = ⊕ Vλ .Òåîðåìà 5.3.iii=12)3)4)◃ 1) ⇔ 2) Î÷åâèäíî ñëåäóåò⇒ 3) TO BE PROVED⇒ 4) TO BE PROVED⇒ 2) TO BE PROVED èç îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R, φ ∈ L(V, V ). Åñëè χφ(λ) èìååòn ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé, òî φ äèàãîíàëèçèðóåìî.Èññëåäîâàíèå íà äèàãîíàëèçèðóåìîñòü ÷àñòî óäîáíî ïðîâîäèòü, èñïîëüçóÿ óñëîâèå 3) èçòåîðåìû 5.3.Ïóñòü φ ∈ L(V, V ) èìååò ìàòðèöó A â íåêîòîðîì áàçèñå.
Òîãäà äëÿ äèàãîíàëèçèðóåìîñòè φ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèå òàêîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû S , ÷òîS −1 AS ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé. Ïîýòîìó èíîãäà ãîâîðÿò î äèàãîíàëèçèðóåìîñòèêâàäðàòíîé ìàòðèöû A.Ïóñòü φ ∈ L(V, V ) ïðîèçâîëüíîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîãîïðîñòðàíñòâà íàä C, ëèáî φ ∈ L(V, V ) ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä R, èìåþùåå ëèøü âåùåñòâåííûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà.
Òîãäà â V ñóùåñòâóåò áàçèñ, â êîòîðîì ìàòðèöà φ âåðõíåòðåóãîëüíàÿ.◃ TO BE PROVED Ñëåäñòâèå.Òåîðåìà 5.4.ÏóñòüJt (λ0 ) ìàòðèöàt × t,ó êîòîðîé ïî ãëàâíîé äèàãîíàëè îäèíàêîâûå ÷èñëà, íà ñëåäóþùåéäèàãîíàëè íàä ãëàâíîé åäèíèöû, à îñòàëüíûå ýëåìåíòû íóëè:λ0000Jt (λ0 )1λ0001λ00...001......0.........0000.λ0íàçûâàåòñÿ æîðäàíîâîé êëåòêîé. Áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ó êîòîðîé êàæäûé äèàãîíàëüíûéáëîê ÿâëÿåòñÿ æîðäàíîâîé êëåòêîé, íàçûâàåòñÿ æîðäàíîâîé ìàòðèöåé, èëè ìàòðèöåé, èìåþùåé æîðäà-íîâó íîðìàëüíóþ ôîðìó (æíô).Òåîðåìó 5.4 ìîæíî óñèëèòü: çàìåíèâ ¾âåðõíåòðåóãîëüíàÿ¿ íà ¾æîðäàíîâà¿, ïîëó÷èì ôîðìóëèðîâêóòåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè æíô.Òåîðåìà 5.5 (Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-Êýëè).
Äëÿ âñÿêîãîφ ∈ L(V, V )âûïîëíåíîχφ (φ) = 0.Óïðàæíåíèå. Âûâåäèòå òåîðåìó Ãàìèëüòîíà-Êýëè èç òåîðåìû Æîðäàíà.§5.. ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß39ÏðèìåðûÍå âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ äèàãîíàëèçèðóåìû.I. Ïðåîáðàçîâàíèå R2 → R2 ïîâîðîòà íà óãîë, íå êðàòíûé π, íå äèàãîíàëèçèðåìî (íåòñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, èëè ïîñêîëüêó õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà íå âåùåñòâåííû).)(λ0 1II. Ìàòðèöà 0 λ0 íå äèàãîíàëèçèðóåìàêðàòíîñòè 2, íî dim Vλ0 = 1.íè íàä R, íè íàä C, òàê êàê λ0 êîðåíü(Îáúÿñíåíèå áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû 5.3 òàêîå: åñëè áû ýòî ïðåîáðàçîâàíèå áûëîäèàãîíàëèçèðóåìûì, òî äèàãîíàëüíûé âèä áûë áû íóëåâîé ìàòðèöåé, è çíà÷èò, ïðåîáðàçîâàíèå áûëî áû íóëåâûì, ÷òî íåâåðíî.)III. Ïóñòü V = Pn = ⟨1, x, x2, .
. . , xn⟩ è Îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d : V → Vèìååò åäèíñòâåííîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ÷èñëî 0 êðàòíîñòè n + 1 (ñì. ìàòðèöó d âñòàíäàðòíîì áàçèñå ïðèìåð èç). Ïðè n > 1 ïðåîáðàçîâàíèå d íå ÿâëÿåòñÿäèàãîíàëèçèðóåìûì.??40Ãëàâà 2.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÃëàâà 3Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìûÍà ïðîòÿæåíèè âñåé ýòîé ãëàâû V îáîçíà÷àåò äàííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìR èëè C. Áóäåì îäíîâðåìåííî ðàçâèâàòü òåîðèþ áèëèíåéíûõ ôîðì â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâàíàä R è ïîëóòîðàëèíåéíûõ ôîðì â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà íàä C.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâîïðåäåëåíèÿ, ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íû. Çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿïðè ðàáîòå â ïðîñòðàíñòâå íàä R ìîæíî èãíîðèðîâàòü.
Òåðìèíîëîãèÿ äëÿ ïðîñòðàíñòâà íàäC ïðèâîäèòñÿ â ñêîáêàõ.§ 1. Áèëèíåéíûå ôîðìû. Ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìûÎïðåäåëåíèåÎòîáðàæåíèå β : V × V → R (β : V × V → C) íàçûâàåòñÿ áèëèíåéíûì (ïîëóòîðàëèíåéíûì), èëè áèëèíåéíîé (ïîëóòîðàëèíåéíîé) ôóíêöèåé, èëè áèëèíåéíîé(ïîëóòîðàëèíåéíîé) ôîðìîé íà ïðîñòðàíñòâå V , åñëè ∀ a, a1, a2, b, b1, b2 ∈ V è ∀ λ ∈ R(C) âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâàB1.1. β(a1 + a2, b) = β(a1, b) + β(a2, b),B1.2. β(λa, b) = λβ(a, b),B2.1.
β(a, b1 + b2) = β(a, b1) + β(a, b2),B2.2. β(a, λb) = λβ(a, b).Ìíîæåñòâî âñåõ áèëèíåéíûõ (ïîëóòîðàëèíåéíûõ) ôîðì íà ïðîñòðàíñòâå V îáîçíà÷àåìB(V ).Ìàòðèöà è áèëèíåéíîé ôîðìû. Êîîðäèíàòíàÿ çàïèñüÅñëè dim V = n < ∞ è â V çàôèêñèðîâàí íåêîòîðûé áàçèñ e = (e1, e2, . . . , en), òî áèëèíåéíîé (ïîëóòîðàëèíåéíîé) ôîðìå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ìàòðèöó n × n ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ìàòðèöåé áèëèíåéíîé (ïîëóòîðàëèíåéíîé) ôîðìû β ∈ B(V ) â áàçèñå e íàçûâàåòñÿìàòðèöà B = (bij ) ∈ Mn×n òàêàÿ, ÷òî (bij ) = β(ei, ej ) äëÿ âñåõ i = 1, . .
. , n, j = 1, . . . , n.Òîò ôàêò, ÷òî B ìàòðèöà áèëèíåéíîé (ïîëóòîðàëèíåéíîé) ôîðìû β â áàçèñå e áóäåìîáîçíà÷àòü β −→e B . Ïîñìîòðåâ íà îïðåäåëåíèå, ìàòðèöó B ìîæíî íåôîðìàëüíî íàçâàòüòàáëèöåé áèëèíåéíîãî óìíîæåíèÿ.(êîîðäèíàòíàÿ çàïèñü) Ïóñòü β ∈ B(V ) è β −→e B . Ïóñòü a = eX , b = eY .ÒîãäàÒåîðåìà 1.1.β(a, b) = X T BY .4142Ãëàâà 3.ÁÈËÈÍÅÉÍÛÅ È ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÎÐÌÛÐàñêðîåì β(a, b) = β(∑ xiei, ∑ yj ej ), ïîëüçóÿñü ëèíåéíîñòüþ ïî ïåðâîìó è (ïîëóëèi=1i=jíåéíîñòüþ)n ïîn âòîðîìó àðãóìåíòàì:n ∑n∑∑∑β(a, b) =xi yj β(ei , ej ) =xi bij yj . Ïîëó÷åííàÿ äâîéíàÿ ñóììà è åñòü åäèíñòâåíi=1 j=1i=1 j=1íûé ýëåìåíò ìàòðèöû X T BY (ýòó ìàòðèöó ðàçìåðà 1 × 1 ìû îòîæäåñòâëÿåì ñ ÷èñëîì,çàïèñàííûì â åäèíñòâåííîé åå ÿ÷åéêå).
Ôîðìóëà èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû ôàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà îïðåäåëåíèþ ìàòðèöû áèëèíåéíîé ôîðìû. Áîëåå, òî÷íî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÏóñòü äàíî îòîáðàæåíèå β : V × V → R (β : V × V → C) (àïðèîðèíå èçâåñòíî, ÷òî áèëèíåéíîå) è ìàòðèöà B ∈ Mn×n. Ïóñòü ∀ a, b ∈ V , èìåþùèõ êîîðäèíàòíûåñòîëáöû X è Y â áàçèñå e, âûïîëíåíî β(a, b) = X T BY . Òîãäà β ∈ B(V ), ïðè÷åì−→β e B.◃ Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå β , çàäàííîå êàê β(a, b) = X T BY ,óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì B1.1B2.2 èç îïåðåäåëåíèÿ, ïîýòîìó β ∈ B(V ).Êðîìå òîãî, ei = eE•i (ãäå E•i i-é ñòîëáåö åäèíè÷íîé ìàòðèöû, è èç ïðàâèë ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö β(ei, ej ) = E•iT BE•j = bij .
Ïîýòîìó â ñàìîì äåëå β −→e B .  çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ êàê îïðåäåëåíèåì ìàòðèöû áèëèíåéíîéôîðìû, òàê è êîîðäèíàòíîé çàïèñüþ X T BY .Êàê ñëåäñòâèå ïðåäëîæåíèÿ 1.1 ïîëó÷àåì, ÷òî ñîîòâåòñòâèå β −→e B (çàâèñÿùåå îò âûáîðàáàçèñà e) ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó B(V ) è Mn×n. 1n◃nÏðåäëîæåíèå 1.1.Èçìåíåíèå ìàòðèöû ïðè çàìåíå áàçèñàÏóñòü â V âûáðàíûáàçèñû−→e è e′, ñâÿçàííûå ìàòðèöåé ïåðåõîäà S : e′ = eS .−→Ïóñòü β ∈ B(V ) òàêîâî, ÷òî β e B è β e B ′. ÒîãäàÒåîðåìà 1.2.′B ′ = S T BS .Ïóñòü a, b ∈ V ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû.
Ïóñòü a = eX = e′X ′, b = eY = e′Y ′. Òîãäàïî òåîðåìå èìååì β(a, b) = X T BY è β(a, b) = X ′T BY ′ Ïîäñòàâëÿÿ X = SX ′, Y = SY ′(ñì. òåîðåìó 2.4, ãëàâà ), èìååì β(a, b) = (SX ′)T BSY ′ = X ′T S T BSY ′ = X ′T (S T BS)Y ′. Âñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.1 ïîëó÷àåì òðåáóåìîå: B ′ = S T BS .  îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåìû rg B = rg B ′, ò.å.
ðàíã ìàòðèöû áèëèíåéíîé ôîðìû íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà◃ Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ìàòðèöà ïåðåõîäà íåâûðîæäåííàÿ, à óìíîæåíèå íà íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó íå ìåíÿåò ðàíã.  îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåìû îïðåäåëèòåëè |B| è |B ′| îòëè÷àþòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûé âåùåñòâåííûé ìíîæèòåëü.◃ Ïî ïðàâèëó ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäåëèòåëåé: |B ′ | = |S T | · |B| · |S| = |S| · |B| · |S| = |z|2 · |B|,ãäå z = |B|. Ñëåäñòâèå 1 ïîçâîëÿåò êîððåêòíî ââåñòè ðàíã rg β áèëèíåéíîé ôîðìû.◃??Ñëåäñòâèå 1.Ñëåäñòâèå 2.1 Ñâåðõ òîãî, ïîñëå ââåäåíèÿ íà ìíîæåñòâåñòàíòó,ìîì.B(V )B(V )åñòåñòâåííûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà êîíβ −→e B ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèç-ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâèå§ .2.ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÛÅ ÁÈËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÎÐÌÛ.
ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÎÐÌÛ43 ñëó÷àå, åñëè S ýëåìåíòàðíàÿ ìàòðèöà, ïðåîáðàçîâàíèå B → S T BS ñîîòâåòñòâóåòñëåäóþùèì äâîéíûì ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâíèÿì: âûïîëíåÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê (åìó ñîîòâåòñòâóåò äîìíîæåíèå ñëåâà íà ìàòðèöó S T ), à çàòåì ñîîòâåòñòâóþùåå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòîëáöîâ ñòðîê (åìó ñîîòâåòñòâóåò äîìíîæåíèå ñïðàâàíà ìàòðèöó S ). Âèäû äâîéíûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé: ïðèáàâèì ê i-é ñòðîêå j -þ,óìíîæåííóþ íà λ, à çàòåì ïðèáàâèì ê i-ìó ñòîëáöó j -é, óìíîæåííûé íà λ; ïîìåíÿåì ìåñòàìè i-þ è j -þ ñòðîêè, à çàòåì ïîìåíÿåì ìåñòàìè i-é è j -é ñòîëáöû; i-þ ñòðîêó óìíîæèìíà λ, à çàòåì i-é ñòîëáåö óìíîæèì íà λ.ÑóæåíèåÅñëè U 6 V è β ∈ B(V ), òî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñóæåíèå β |U ×U : U × U → R.
Î÷åâèäíî, ñóæåíèå áèëèíåéíîé ôîðìû íà ïîäïðîñòðàíñòâî U ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé ôîðìîé íàïîäïðîñòðàíñòâå U .Äëÿ ìàòðèöû B îáîçíà÷èì ÷åðåç Bk ëåâóþ âåðõíþþ óãëîâóþ ïîäìàòðèöó k × k, òàê ÷òîBk = (bij ) äëÿ âñåõ i = 1, . . . , k , j = 1, . . . , k .  ÷àñòíîñòè, B1 = (b11 ), Bn = B .Åñëè â ïðîñòðàíñòâå V âûáðàí áàçèñ e = (e1, e2, . . .
, en), òî îáîçíà÷èì ÷åðåç e(k) óïîðÿäî÷åííóþ ñèñòåìó (e1, . . . , ek ) ýòî áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Uk = ⟨e1, . . . , ek ⟩. (Ïðè k = n èìååìUk = V .)Ïóñòü β ∈ B(V ) è β −→e B . Òîãäà β |U ×U e−→ Bk .◃ Ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ. Ïðèìåðû (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, íà ôóíêöèÿõ ñ ïëîòíîñòüþ), ïð-âî ìèíêîâñêîãî.Ïðåäëîæåíèå 1.2.(k)§ 2. Ñèììåòðè÷íûå áèëèíåéíûå ôîðìû. Êâàäðàòè÷íûåôîðìûÑèììåòðè÷íûå áèëèíåéíûå ôîðìûÁèëèíåéíàÿ (ïîëóòîðàëèíåéíàÿ) ôîðìà β íà ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé (ýðìèòîâîé èëè ýðìèòîâî ñèììåòðè÷íîé), åñëè ∀ a, b ∈ Vβ(a, b) = β(b, a).Ìíîæåñòâî âñåõ ñèììåòðè÷íûõ (ýðìèòîâûõ) áèëèíåéíûõ (ïîëóòîðàëèíåéíûõ) ôîðì íàïðîñòðàíñòâå V îáîçíà÷àåì Bsym(V ).Îòìåòèì, ñðàçó, ÷òî ∀ a ∈ V çíà÷åíèå β(a, a) âåùåñòâåííî.2Ïóñòü dim V < ∞, e áàçèñ â V .
Ïóñòü β ∈ B(V ), β −→e B . Òîãäàβ ∈ Bsym (V ) ⇔ B ∗ = B (ãäå, êàê îáû÷íî, B ∗ = B T ).◃ ⇒ Íàäî äîêàçàòü, ÷òî bji = bij èëè ÷òî β(ej , ei ) = β(ei , ej ) äëÿ âñåâîçìîæíûõ ïàðèíäåêñîâ. Íî ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ.⇐ Ïóñòü a, b ∈ V ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû, a = eX , b = eY . Òîãäàβ(a, b) = X T BY .
Òàêæå β(b, a) = Y T BX èëè (òðàíñïîíèðóåì ìàòðèöó 1 × 1)Tβ(b, a) = X B T Y = X T B ∗ Y = X T BY . Îòñþäà β(b, a) = β(a, b), ÷òî è òðåáîâàëîñü. Îïðåäåëèòå êîñîñèììåòðè÷íûå áèëèíåéíûå ôîðìû, íàéäèòå óñëîâèÿ íàìàòðèöó, ýêâèâàëåíòíûå êîñîñèììåòðè÷íîñòè ôîðìû.Òåîðåìà2.1.Óïðàæíåíèå.2 Ýòî óòâåðæäåíèå ñîäåðæàòåëüíî äëÿ êîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà.44Ãëàâà 3.ÁÈËÈÍÅÉÍÛÅ È ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÎÐÌÛÊâàäðàòè÷íûå ôîðìûÏóñòü β ∈ Bsym(V ). Îòîáðàæåíèå k : V → V , çàäàííîå ïðàâèëîì k(a) = β(a, a) íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé (ýðìèòîâîé) ôîðìîé èëè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé, ïîðîæäåííîéáèëèíåéíîé ôîðìîé β .Ìíîæåñòâî âñåõ (ýðìèòîâûõ) êâàäðàòè÷íûõ ôîðì îáîçíà÷èì K(V ).Îïðåäåëåíèå äàåò âîçìîæíîñòü ãîâîðèòü î (ýðìèòîâî) ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöå (ýðìèòîâîé) êâàäðàòè÷íîé ôîðìå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
