Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ìàòðèöà ÃðàìàÎïðåäåëåíèÿÁèëèíåéíóþ (ýðìèòîâî) ñèììåòðè÷íóþ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ íàçûâàþòòàêæå ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.Åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R, â êîòîðîì çàôèêñèðîâàíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.Óíèòàðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä C, â êîòîðîì çàôèêñèðîâàíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.Áóäåì ðàçâèâàòü òåîðèþ åâêëèäîâûõ è óíèòàðíûõ ïðîñòðàíñòâ ïàðàëëåëüíî (âñå ñëó÷àè, êîãäà èìåþòñÿ îòëè÷èÿ, áóäåì îòìå÷àòü).
 ýòîé ãëàâå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå,ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìû ðàáîòàåì â åâêëèäîâû (óíèòàðíûå) ïðîñòðàíñòâå E .Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b áóäåì èñïîëüçîâàòü (a, b)(îïóñêàÿ β â çàïèñè β(a, b)).Äëèíîé, èëè íîðìîé âåêòîðà a íàçûâàþò âåëè÷èíó√(a, a).Äëèíó îáîçíà÷àþò |a| èëè ||a||. Èç ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî ∀ a ∈ E âûïîëíåíî |a| > 0, ïðè÷åì |a| = 0 ⇔ a = 0. ÍÎÐÌÈÐÎÂÀÒÜ!Ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîðû a è b îðòîãîíàëüíû, åñëè (a, b) = 0.Îáîçíà÷åíèå äëÿ îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ: a ⊥ b. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííûé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé ëþáîìó âåêòîðó ýòî o.Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî U åâêëèäîâà (óíèòàðíîãî) ïðîñòðàíñòâà òàêæååñòåñòâåííûì îáðàçîì ñòàíîâèòñÿ åâêëèäîâûì (óíèòàðíûì) (â êà÷åñòâå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà U âûñòóïàåò ñóæåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà îáúåìëþùåì ïðîñòðàíñòâå).4950Ãëàâà 4.ÅÂÊËÈÄÎÂÛ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÌàòðèöà ÃðàìàÌàòðèöåé Ãðàìà ñèñòåìû âåêòîðîâ a1, a2, .
. . , ak íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà (γij )òàêàÿ, ÷òî γij = (ai, aj ).∈ Mk×kÒàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà Ãðàìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâîåîáðàçóþ ¾òàáëèöó óìíîæåíèÿ¿äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Îáîçíà÷åíèå äëÿ ìàòðèöû Ãðàìà: Γ(a1, a2, . . . , ak ).Îòìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå ìàòðèöû Ãðàìà íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íîâûì. Ñêàæåì, åñëèe = (e1 , e2 , . . . , en ) áàçèñ, òî ìàòðèöà Γ(e1 , e2 , . . . , en ) ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé áèëèíåéíîéôîðìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â áàçèñå e (ñì. îïðåäåëåíèå èç § ãëàâû 3).
Áîëåå îáùî,åñëè a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òî Γ(a1, a2, . . . , ak ) ñîâïàäàåòñ ìàòðèöåé ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâå U = ⟨a1, a2, . . . , ak ⟩ (â áàçèñåa1 , a2 , . . . , ak ).Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ãîâîðèò î òîì, ÷òî çíàÿ ìàòðèöó Ãðàìà, ìîæíî âû÷èñëÿòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, à çíà÷èò, äëèíû è (êàê óâèäèì äàëåå) äðóãèå ìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè.(Cêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå) Ïóñòü e = (e1, e2, . . . , en) áàçèñ â E , èΓ = Γ(e1 , e2 , .
. . , en ) ìàòðèöà Ãðàìà. Åñëè âåêòîðû a, b ∈ E òàêîâû, ÷òî a = eX èb = eY , òî??Òåîðåìà1.1.(a, b) = X T ΓY .Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû èç ãëàâû 3. Åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî|Γ(a1 , a2 , . . . , ak )| > 0; èíà÷å |Γ(a1 , a2 , . . . , ak )| = 0.1◃ 1) Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 , .
. . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Òîãäà, êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, Γ(a1, a2, . . . , ak ) ýòî ìàòðèöà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâåU = ⟨a1 , a2 , . . . , ak ⟩ (â áàçèñå a1 , a2 , . . . , ak ). Òî åñòü Γ(a1 , a2 , . . . , ak ) ýòî ìàòðèöà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé áèëèíåéíîé ñèììåòðè÷íîé ôîðìû, çíà÷èò, |Γ(a1, a2, .
. . , ak )| > 0 ïîñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 4.1 ãëàâû 3.n2) Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî çàâèñèìà, ò.å. ∑ λiai = o äëÿ íåêî◃Ïðåäëîæåíèå1.1.òîðîãî íåíóëåâîãî ñòîëáöàλ1 .. λ = . .λni=1Äîìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà êàæäûé èçâåêòîðîâ aj , j = 1, . . . , k, è âîñïîëüçîâàâøèñü ëèíåéíîñòüþ, ïîëó÷èì ∑ λi(ai, aj ) = 0. Ïîi=1ëó÷àåòñÿ, ÷òî ñòîëáåö λ ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíûì ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéñ (êâàäðàòíîé) ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ Γ(a1, a2, . . . , ak )T . Çíà÷èò, ýòà ìàòðèöà âûðîæäåííàÿ, îòêóäà |Γ(a1, a2, . .
. , ak )| = 0. (Íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà (ÊÁØ)) ∀ a, b ∈ E âûïîëíåíînÑëåäñòâèå 1.|a| · |b| > |(a, b)|.◃ Íåðàâåíñòâî |Γ(a, b)| > 0 èìååò âèä (a, a)(b, b) − (a, b)(b, a)(a, a)(b, b) − (a, b)(a, b) > 0 ⇔ |a|2 · |b|2 − |(a, b)|2 > 0. >0 ⇔Îòìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî ÊÁØ ïîçâîëÿåò êîððåêòíî îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó âåêòîðàìè Åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.1 Íà ñàìîì äåëå ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëèòåëÿk -ìåðíîãîïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ|Γ(a1 , a2 , . .
. , ak )|a1 , a2 , . . . , ak ). ýòî îðèåíòèðîâàííûé îáúåì§ .2.ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ ÂÅÊÒÎÐÎÂ. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÎÅ ÄÎÏÎËÍÅÍÈÅ.Ñëåäñòâèå 2(Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).∀ a, b ∈ Eâûïîëíåíî|a| + |b| > |a + b|.Èìååì |a+b|2 = (a+b, a+b) = |a|2+|b|2+(a, b)+(b, a) = |a|2+|b|2+(a, b)+(a, b) 6 |a|2+|b|2+2|(a, b)|÷òî ïî íåðàâåíñòâó ÊÁØ íå áîëüøå ÷åì |a|2 + |b|2 + 2|(a| · |b)| = (|a| + |b|)2. II.
Ñòàíäàðòíîå ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâå ñòîëáöîâ âûñîòû n îïðåäån∑ëÿåòñÿ êàê (a, b) = xiyi = X T Y , ãäå a = eX , b = eY .◃i=1III.  ïðîñòðàíñòâå C[a, b] íåïðåðûâíûõ (êîìïëåêñíîçíà÷íûõ) ôóíêöèé, îïåðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [a, b], ìîæíî çàäàòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê∫b(f, g) = f (x)g(x) dx. âàðèàíòû ñ âåñàìè. ÏÐÈÌÅÐÛ - ê ÁÈËÈÍÅÉÍÛÌÈ ÔÓÍÊaÖÈßÌÓïðàæíåíèå.ÎÁÎÁÙ äëÿ Áèëèí ôóíêöèé§ 2. Îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå.
ÎðòîãîíàëèçàöèÿÎðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ. ÎÍÁÑèñòåìà âåêòîðîâ a1, . . . , ak â åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè ai ⊥ aj äëÿ âñåõ 1 6 i < j 6 k.Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ|ai | = 1 äëÿ âñåõ 1 6 i 6 k .a1 , . . . , akíàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé, åñëè ÷àñòíîñòè, ìîæíî ãîâîðèòü îá îðòîãîíàëüíûõ áàçèñàõ è îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñàõ(äàëåå èñïîëüçóåì ñîêðàùåíèå ÎÍÁ).(òåîðåìà Ïèôàãîðà) Ïóñòü a1, . . . , ak îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ. Òîãäà |a1 + .
. . + ak |2 = |a1|2 + . . . + |ak |2.◃ |a1 + . . . + ak |2 = (a1 + . . . + ak , a1 + . . . + ak )|. Ðàñêðûâàÿ ïî ëèíåéíîñòè ñ ó÷åòîì òîãî,÷òî (ai, aj ) = 0 ïðè i ̸= j , ïîëó÷àåì (a1, a1) + . . . + (ak , ak ) = |a1|2 + . . . + |ak |2. Îòìåòèì ñëåäóþùèé ïî÷òè î÷åâèäíûé êðèòåðèé îðòîãîíàëüíîñòè â òåðìèíàõ ìàòðèöûÃðàìà.Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, . . . , ak ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ⇔ Γ(a1, . . . , ak ) äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, . .
. , ak ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ⇔ Γ(a1, . . . , ak ) åäèíè÷íàÿìàòðèöà.◃ Ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû Ãðàìà. Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà íåíóëåâûõ âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà.◃ Ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ïðåäëîæåíèÿ ñ ó÷åòîì ïðåäëîæåíèÿ 1.1. Ïðåäëîæåíèå 2.1Ïðåäëîæåíèå 2.2.Ñëåäñòâèå 1..52Ãëàâà 4.ÅÂÊËÈÄÎÂÛ È ÓÍÈÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÄëÿ êîíå÷íîìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà: îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ýòîáàçèñ, â êîòîðîì ôîðìà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, ÎÍÁ ýòîáàçèñ, â êîòîðîì ôîðìà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä. êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâåò ÎÍÁ.◃ Ââèäó ñëåäñòâèÿ 2, ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 3.1 ãëàâû 3.
Ïóñòü e = (e1, e2, . . . , en) ÎÍÁ â E . Åñëè âåêòîðû a, b ∈ E òàêîâû, ÷òîa = eX è b = eY , òîÑëåäñòâèå 2.Ñëåäñòâèå 3.Ñëåäñòâèå 4.(a, b) = X T Y .◃Ýòî óòâåðæäåíèå ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû 4.1. Ïåðåõîä îò ÎÍÁ ê ÎÍÁ. Îðòîãîíàëüíûå è óíèòàðíûå ìàòðèöûÊîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà Q ðàçìåðà n × n íàçûâàåòñÿ óíèòàðíîé, åñëè Q∗Q = E .Âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà Q ðàçìåðà n × n íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè QT Q = E .Ìíîæåñòâî âñåõ îðòîãîíàëüíûõ è óíèòàðíûõ ìàòðèö n × n îáîçíà÷àåì ñîîòâåòñòâåííîè Un.
Ñðàâíèâàÿ îïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷àåì On ⊂ Un è áîëåå òîãî, On = Un ∩ Mn×n(R) (ò.å.îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû ýòî â òî÷íîé âåùåñòâåííûå óíèòàðíûå ìàòðèöû).Äëÿ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû Q ðàçìåðà n × n ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) Q ∈ Un;2) ∃ Q−1 è Q−1 = Q∗;3) ñòîëáöû ìàòðèöû Q îáðàçóþò ÎÍÁ â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå ñòîëáöîâ Cn = Mn×1,íàäåëåííîì ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (X, Y ) = X T Y .◃ Î÷åâèäíî, 1) ⇔ 2).Ïóñòü Q1, . . . , Qn ñòîëáöû ìàòðèöû Q.
Ðàâåíîñòâî Q∗Q = E îçíà÷àåò, ÷òî QTi Qj = δijèëè QTi Qj = δij . Çíà÷èò, 1) ⇔ 3). Âèäèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî îáðàùàòü îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó ëåãêî: äîñòàòî÷íî åå òðàíñïîíèðîâàòü. Íà ïðàêòèêå ñâîéñòâî 3), âîçìîæíî, íàèáîëåå ïðîñòî äëÿ ïðîâåðêè, ÿâëÿåòñÿëè ìàòðèöà Q îðòîãîíàëüíîé (óíèòàðíîé).Ïóñòü Q ∈ Un. Òîãäà QT ∈ Un, Q ∈ Un, Q∗ ∈ Un.OnÏðåäëîæåíèå 2.3.Ïðåäëîæåíèå 2.4.◃ Âèäèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ñòðîêè îðòîãîíàëüíîé (óíèòàðíîé) ìàòðèöû òîæå ÎÍÁ âïðîñòðàíñòâå ñòðîê ñî ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.(Ãðóïïîâîå ñâîéñòâî) Ïóñòü Q, R ∈ Un.
Òîãäà QR ∈ Un, Q−1 ∈ Un.Ïðåäëîæåíèå 2.5◃ .Ïóñòü Q ∈ Un. Òîãäà | det Q| = 1.◃ Èìååì det(Q∗ Q) = det E = 1. Îòñþäà det Q∗ · det Q = 1 ⇔ det QT · det Q = 1 ⇔det Q · det Q = 1 ⇔ | det Q|2 = 1. Èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ ñâÿçü ìåæäó îðòîãîíàëüíûìè (óíèòàðíûìè) ìàòðèöàìè è ïåðåõîäîì îò ÎÍÁ ê ÎÍÁ.Ïðåäëîæåíèå 2.6.§ .2.ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ ÂÅÊÒÎÐÎÂ. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÎÅ ÄÎÏÎËÍÅÍÈÅ.Ïóñòü dim E = n < ∞, e = (e1, .
. . , en) ÎÍÁ â E , e′ = (e′1, . . . , e′n) íåêîòîðûé áàçèñ â E . Ïóñòü S ìàòðèöà ïåðåõîäâ îò áàçèñà e ê áàçèñó e′. ÒîãäàÒîãäà φ ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ⇔ S îðòîãîíàëüíàÿ (óíèòàðíàÿ) ìàòðèöà.◃ Ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû ïåðåõîäà è óñëîâèÿ 3) â ïðåäëîæåíèè 2.3.Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíûå (óíèòàðíûå) ìàòðèöû â òî÷íîñòè ìàòðèû ïåðåõîäàîò ÎÍÁ ê ÎÍÁ. Èíîãäà èìåííî â òåîðìèíàõ ìàòðèöû ïåðåõîäà åñòåñòâåííî èíòåðïðåòèðîâàòü îðòîãîíàëüíûå (óíèòàðíûå) ìàòðèöû. Íàïðèìåð, ìîæíî äàòü äðóãîå äîêàçàòåëüñòâîïðåäîæåíèÿ 2.5. ÓÏÐ.?Òåîðåìà 2.1.Îðòîãîíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâàÌíîæåñòâà U1 è U2 åâêëèäîâà (óíèòàðíîãî) ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè ∀ a1 ∈ U1 è ∀ a2 ∈ U2 âûïîëíåíî a1 ⊥ a2.Îðòîãîíàëüíîñòü äâóõ âåêòîðîâ ïîëó÷àåòñÿ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé (âåêòîð ñ÷èòàåì îäíîýëåìåíòíûì ïîäìíîæåñòâîì).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
