Введение в линейную алгебру - Кожевников (1187924)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ââåäåíèå â ëèíåéíóþ àëãåáðóÏ.À. Êîæåâíèêîâ17 èþíÿ 2017 ã.234Îãëàâëåíèå12Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâàÂåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà è ïîäïðîñòðàíñòâà . . . . .Àêñèîìû è èõ ñëåäñòâèÿ . . . . . . . . . . . .Ïîäïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíûå êîìáèíàöèè . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà . . . . .

. . . . . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü. Ðàçìåðíîñòü è ðàíã. Áàçèñ .Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü . . . . . . . . . . . . .Ðàíã è ðàçìåðíîñòü . . . . . . . . . . . . . . .Áàçèñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êîîðäèíàòû . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .Çàìåíà áàçèñà è êîîðäèíàò . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ. Ïðÿìàÿ ñóììà . . . . . . . .Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ . . . . . . . . . . . . .Ïðÿìàÿ ñóììà . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðÿìîå äîïîëíåíèå. Ïðîåêöèè . .

. . . . . . .Ôîðìóëà ðàçìåðíîñòåé ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿÏðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................Îïðåäåëåíèå. Îïåðàöèè íàä ëèíåéíûìè îòîáðàæåíèÿìè. Èçîìîðôèçì . .Îïðåäåëåíèå è åãî ñëåäñòâèÿ . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êîìïîçèöèÿ (ïðîèçâåäåíèå). Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. ÈçîìîðôèçìÑóììà è ïðîèçâåäåíèå íà ÷èñëî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îïðåäåëåíèå. Êîîðäèíàòíàÿ çàïèñü ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ . . . .Ìàòðèöà ïåðåõîäà è ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . . . .Ñâÿçü ìåæäó îïåðàöèÿìè íàä îòîáðàæåíèÿìè è ìàòðèöàìè . . . .Èçìåíåíèå ìàòðèöû ïðè çàìåíå áàçèñà . . . . . . . . .

. . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Îáðàç è ÿäðî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îáðàç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ßäðî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .Ñâÿçü ìåæäó ðàçìåðíîñòÿìè ÿäðà è îáðàçà . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îïðåäåëåíèå . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................§1.Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ§1.5.................................................................................................................................................................................................................777899101111121415161617171820202123232325262728282929303030303132323333634ÎãëàâëåíèåÂçàèìíûé áàçèñ . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Ñòðóêòóðà ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äèàãîíàëèçèðóåìîñòü è òðåóãîëüíûé âèä . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33343434Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìû..........41Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ìàòðèöà Ãðàìà . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìàòðèöà Ãðàìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå. Îðòîãîíàëèçàöèÿ . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ. ÎÍÁ . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïåðåõîä îò ÎÍÁ ê ÎÍÁ. Îðòîãîíàëüíûå è óíèòàðíûå ìàòðèöû . . .Îðòîãîíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå. Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ . . . . . . .

. .Îðòîãîíàëèçàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Ñîïðÿæåííîå ïðåîáðàçîâàíèå. Ñàìîñîïðÿæåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. . . . . . .Ñîïðÿæåííîå ïðåîáðàçîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñàìîñîïðÿæåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Èçîìîðôèçì. Îðòîãîíàëüíûå è óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . .Èçîìîðôèçì åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâ . . . . . . . . . . .§ 5. Îðòîãîíàëüíûå è óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé6149Áèëèíåéíûå ôîðìû. Ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû . . . . . .Îïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìàòðèöà è áèëèíåéíîé ôîðìû. Êîîðäèíàòíàÿ çàïèñüÈçìåíåíèå ìàòðèöû ïðè çàìåíå áàçèñà . .

. . . . . . .Ñóæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Ñèììåòðè÷íûå áèëèíåéíûå ôîðìû. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû .Ñèììåòðè÷íûå áèëèíåéíûå ôîðìû . . . . . . . . . . .Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Äèàãîíàëüíûé è êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû . .§ 4. Çíàêîîïðåäåëåííûå ôîðìû. Èíäåêñû èíåðöèè . .

. . . . . . .§1.Åâêëèäîâû è óíèòàðíûå ïðîñòðàíñòâà§1.................................................................................35363839414141424343434445454949505151525353555555565858586060Ãëàâà 1Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâৠ1. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà è ïîäïðîñòðàíñòâàÀêñèîìû è èõ ñëåäñòâèÿÁèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå Z ýòî íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå φ : Z × Z → Z , òàêèìîáðàçîì äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû (a, b) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Z îïðåäåëåí ýëåìåíòφ(a, b) ∈ Z ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè φ ê a è b.

Íèæå áóäóò âñòðå÷àòüñÿ áèíàðíûåîïåðàöèè â çàïèñè, áîëåå ïðèâû÷íîé äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé. Ñêàæåì, îïåðàöèþìîæíî îáîçíà÷èòü ¾+¿ è òîãäà âìåñòî φ(a, b) ïèñàòü a + b. Óíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâåZ ýòî ïðîñòî îòáðàæåíèå Z → Z . Ñêàæåì, óìíîæåíèå íà ÷èñëî 2 ôîðìàëüíî ìîæíîñ÷èòàòü òàêèì îòîáðàæåíèåì ψ : R → R, ÷òî ∀x ∈ R ψ(x) = 2x.Ïóñòü V ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû: áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ (êîòîðóþ íàçûâàåì ñëîæåíèåì, ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ñëîæåíèÿ ê a, b ∈ V îáîçíà÷àåìa + b) è óíàðíàÿ îïåðàöèÿ äëÿ êàæäîãî λ ∈ R (êîòîðóþ íàçûâàåì óìíîæåíèåì íà λ,ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ óìíîæåíèÿ íà λ ê a ∈ V îáîçíà÷àåì λ · a èëè λa).V íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì (èëè ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà V1V8 (àêñèîìû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà):V1. (a + b) + c = a + (b + c) (∀ a, b, c ∈ V );V2.

∃ o ∈ V ∀ a ∈ V : a + o = o + a = a;V3. ∀ a ∈ V ∃ x ∈ V : x + a = a + x = o;V4. a + b = b + a (∀ a, b ∈ V );V5. λ(a + b) = λa + λb (∀ a, b ∈ V , ∀ λ ∈ R );V6. (λ + µ)a = λa + µa (∀ a ∈ V , ∀ λ, µ ∈ R );V7. 1 · a = a (∀ a ∈ V );V8. (λµ)a = λ(µa) (∀ a ∈ V , ∀ λ, µ ∈ R ).Íà ïðîòÿæåíèè ãëàâû V áóäåò îáîçíà÷àòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ýëåìåíòû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V áóäåì íàçûâàòü âåêòîðàìè (íåçàâèñèìî îò èõ ïðèðîäû). Âåêòîð oèç àêñèîìû V2 íàçûâàåòñÿ íóëåâûì âåêòîðîì (òàêæå o ìîæíî íàçâàòü íåéòðàëüíûì ýëåìåíòîì îòíîñèòåëüíî ñëîæíåíèÿ).

Âåêòîð x èç àêñèîìû V3 íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìâåêòîðîì äëÿ âåêòîðà a è îáîçíà÷àòñÿ −a. Èñïîëüçóÿ ïðòèâîïîëîæíûé âåêòîð, ìîæíîîïðåäåëèòü îïåðàöèþ âû÷èòàíèÿ ðàâåíñòâîì a − b := a + (−b), â ÷àñòíîñòè, V2 ïðèíèìàåòâèä a − a = o. 11 Àêñèîìû V1 è V4 íàçûâàþòñÿ ñâîéñòàìè àññîöèàòèâíîñòè è êîììóòàòèâíîñòè ñëîæåíèÿ, V5 è V6ìîæíî íàçâàòü ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè, èëè äèñòðèáóòèâíîñòè (ïî âåêòîðàì è ïî êîíñòàíòàì ñîîòâåòñòâåííî), V7 óñëîâèå íîðìèðîâêè, V8 ñìåøàííàÿ àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ. àêñèîìàõ V1V4 âñòðå÷àåòñÿ ëèøü îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ. Ìíîæåñòâî7Vñ îïåðàöèåé +, óäîâëåòâîðÿþ-8Ãëàâà 1.ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÍà ñàìîì äåëå çäåñü ìû îïðåäåëèëè ëèøü âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåìR.

Ìîæíî èçìåíèòü ìíîæåñòâî êîíñòàíò íà ïîëå C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èëè âîîáùåíà ïðîèçâîëüíîå ïîëå F. Òåîðèÿ â ýòîé ãëàâå îáîáùàåòñÿ áåç êàêèõ-ëèáî èçìåíåíèé íàâåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì.Èç àêñèîì ñëåäóþò ïðèâû÷íûå ïðàâèëà, êîòîðûìè ìû ïîëüçóåìñÿ, ñêàæåì, ïðè ðàáîòåñ âåêòîðàìè â ãåîìåòðèè. Íàïðèìåð, àêñèîìû V1 è V4 îáåñïå÷èâàþò òî, ÷òî ðåçóëüòàòkâû÷èñëåíèÿ ñóììû âåêòîðîâ ∑ ai íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé. Îòìåòèìi=1åùå íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ àêñèîì.1. Íóëåâîé âåêòîð åäèíñòâåííûé;2. ∀ a ∈ V ïðîòèâîïîëîæíûé åìó âåêòîð åäèíñòâåííûé;3. a + b = a + c ⇔ b = c (∀ a, b, c ∈ V ) çàêîí ñîêðàùåíèÿ;4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги