Anderson-et-al-2 (1185924), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е, уравнение (9.180) ), чтобы найти р' в каждом узле сетки. 4. Подправить давление и компоненты скорости в соответствии с уравнениями (9.175) и (9.178): Р— Ро+Р» 5. Заменить предыдущие промежуточные значения давления и компонент скорости ио, оо, ро новыми скорректированными значениями р, и, о и вернуться к шагу 2. Повторять этот процесс, пока решение не сойдется.
Процедура 51МР1Е с успехом была использована для решения целого ряда задач расчета течений несжимаемой жидкости. Однако в некоторых случаях скорость сходимости оказалась недостаточно быстрой. Это связано с тем, что уравнение для поправок к давлению дает завышенные значения р', даже если соответствующие поправки к компонентам скорости вполне правдоподобны. Поэтому уравнение (9.175) часто заменяют уравнением р = ро + арр', где ар — параметр нижней релаксации. По этой же причине в уравнениях движения также используется нижняя релаксация. В описываемой постановке задачи нижнюю релаксацию можно осуществлять, варьируя параметр А в уравнениях (9.178) и (9.180). 628 Гл.
9. Численные методы решении уравнений Навье — Стокса Поскольку сразу невозможно определить оптимальное значение параметров нижней релаксации, процедура З[МР[.Е была модифицирована с целью увеличения скорости сходимости [Ра(ап]гаг, 1981]. Модифицированная процедура получила название ЫМРЬЕц (8(МР[.Е геу(зег(].
В ней поправки к скорости вычисляются так же, как и в процедуре З]МР[.Е, но используются полные уравнения Пуассона для давления. Кроме того, сначала приближенно задается поле скорости, а не поле давления. Так как вычисляемое в процедуре 8!МР[.ЕК давление близко к правильному, то необходимость в нижней релаксации становится заметно менее настоятельной и сходимости решения добиваются за меньшее число итераций. В большинстве случаев совокупные затраты машинного времени снижаются на 30 — 50 о!з, несмотря на то что ЫМР(.ЕРс требует примерно на 30 !]5 больше вычислений на одной итерации, чем ЫМР( Е.
Задачи 9.1. Покажите, как дискретизируютси все члены уравнения движения по координате Гь когда явнан схема Мак-Кормака используется длн решения двумерных уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости. 9.2. Решите задачу 9.1 для двумерного уравнения энергии. 9.3. Дискретизнруйте уравнение движения по координате г в случаеприменения явной схемы Мак-Кормака длн уравнений Навье — Стонса, записанных в цилиндрической системе координат (см.
п. 5.1.7). 9.4. В задаче 9.1 используйте схему Аллена — Чена вместо схемы МакКормака. 9.5. Выпишите матрицу Якоби [А], заданную уравнением (9.46). 9.6. Выпишите матрицу Якоби (В], заданную уравнением (9.48). 9.7. Выпишите матрицу Якоби [й], заданную уравнением (9.51). 9.8. Выпишите матрицу Якоби (5], заданную уравнением (9.54). 9.9.
Выпишите матрицу (Р] — (й,], заданную уравнением (9.50). 9.10. Выпишите матрицу [О] — (зг], заданную уравнением (9.53). 9.11. Определите множитель перехода длп явной схемы Мак-Кормака, грименпемой к линеаризованиому уравнению Бюргерса. Удовлетворнет ли уравнение (986) условию ]О] (! длп всех значений ]), когда т = Чз и — 1/ з 9.12. Решите задачу 9.11 длн т = 1 и г = Чз 9.13.
Воспользуйтесь неявной схемой Мак-Кормака длп решения линезризованного уравнения Вюргерса с начальным и(х, 0) = О, 0 < х ( 1 и граничными а(0,!) = 100, и(1,1) = 0 условиями на сетке,состопщей из 21 узла Найдите установившееся решение для г = 0.5, т = 0.5 и сравните численное решение с аналитичесним. 9.14. Выпишите матрицу Якоби [А] в уравнении (9.96) и покажите, что она равна (5,]-'(Лз][5.] Задачи 629 9.15. Выпишите матрицу Якоби [В) в уравнении (9.96) и покажите, что она равна [Зг) — '[Лз)[Зг[.
9.16. Выведите уравнение (9.124). 9.17. Решите задачу о квадратной полости для Ве~ = 50. Воспользуйтесь схемой ВВЦП для решения уравнения переноса завихренности и методом последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона. Используйте сетку размером 8 )г' ,8 и аппроксимацию первого порядка для завнхренности на стенке. 9.18. Решите задачу 9.17 для йе~ = !00 на сетке 15 Х 15. 9З9. Выведите уравнение переноса завихрениостн для трехмерной декартовой системы координат.
9.20. Используйте метод искусственной сжнмаемости для решения задачи течения в полости квадратной формы при )(е~ = !00. Воспользуйтесь схемой Дюфорта — Франкела («чехарда») для решения определяющих уравнений на сетке размером !5 Х !5. Определите давление на стенке, подходящим образом аппроксимируя записанное на стенке уравнение движения в направлении по нормали.
Глава 10 Методы построения расчетных сеток 5 10.1. Введение 1ешение системы дифференциальных уравнений с частными производными можно значительно упростить применением хорошо построенной расчетной сетки. Верно и другое, что расчет на сетке, не очень хорошо соответствующей данной задаче, может дать неудовлетворительный результат. В некоторых приложениях неадекватный выбор размещения узлов расчетной сетки может приводить к неустойчивости или отсутствию сходимости.
Одной из центральных проблем при численном решении уравнений с частными производными является построение расчетных сеток. Ранние работы по конечно-разностным методам были ограничены задачами, для которых можно было подобрать подходящую систему координат и в ней решать определяющие уравнения. По мере накопления опыта расчетов сложных полей течений стали применять преобразования координат общего вида для отображения физической области на вычислительную. Этот путь весьма многообещающий.
Например, поверхность тела может быть выбрана в качестве границы вычислительной плоскости, что облегчает постановку граничных условий на поверхности тела. Обычно эти преобразования применяют, когда хотят получить равномерную сетку в вычислительной плоскости, хотя узлы сетки в физическом пространстве могут быть расположены неравномерно. Эта ситуация иллюстрируется на рис.
10.1. Когда выполняют преобразование координат, то дифференциальное уравнение принимает вид, куда входят метрические коэффициенты преобразования. Это можно понять на следующем простом примере. Пример 1О.1. Пусть мы решаем такое простое уравнение — +с — +у=О ди ди дх ду в некоторой области с соответствующими начальными и граничными условиями. Поскольку вычисления обычно производятся в вычислительной области, то преобразование, связывающее э 1О.1, Введение физическую и вычислительную области, можно задать следующим образом: $=$(х у), Ч=Ч(х у).
Исходное дифференциальное уравнение с частными производными при переходе от физических координат х, у к координатам в вычислительной плоскости $, Ч преобразуется при помощи правила дифференцирования сложной функции ди ди ди — = — $+ — Ч дх д$ х дт1 х' ди ди дп — = — 1+ — Ч. дп д$ " дп Тогда оно принимает вид (Вхх+ Сяхп) ~~ + (Чх+ сЧп) д" + У6, Ч) = О. (10.2) Это уравнение решается в вычислительной плоскости на равномерной сетке. Понятно, что необходимо установить связь меж- (а) (ь) Рис. 1О.1. Отображение физической плоскости на вычислительн)по: (а) физическая плоскость; (Ь) вычислительная плоскость. ду координатами в физической и вычислительной плоскостях. Эту связь и задают метрические коэффициенты преобразования (члены $„, $„, Ч, и Ч„в рассматриваемом уравнении с частными производными) .
Задача построения расчетной сетки заключается в нахождении отображения, которое переводит узлы сетки нз физической области (Р) в вычислительную область (С0). Это отображение должно удовлетворять некоторым требованиям. Можно назвать некоторые из них: 1. Отображение должно быть однозначным. 2. Линии сетки должны быть гладкими, что обеспечивает непрерывность производных, Гл. 10. Методы построения расчетных сеток 3. Сетка должна быть достаточно густой в тех частях области Р, где ожидают возникновения больших численных ошибок.
4. Следует избегать излишней скошенности ячеек сетки, которая, как было показано 1тса11ЬЬу, 1976), иногда приводит к чрезмерной ошибке аппроксимации. Построение расчетных сеток в случае одного измерения сравнительно просто. Имеется много функций (либо других методов), которые можно использовать для построения сетки. К тому же в одномерных задачах не возникает проблема границ сложной формы. Поэтому большинство исследований, касающихся вопросов построения расчетных сеток, было выполнено для случая двух измерений. В настоящей главе будет приведено много примеров для случая двух измерений.
Построение расчетных сеток в пространстве трех измерений является трудной задачей и существует не так много методов, дающих удовлетворительные результаты. Методы построения расчетных сеток грубо можно разделить на три класса: 1. Методы теории функций комплексного переменного. 2. Алгебраические методы. 3. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений.
Методы теории функций комплексного переменного обладают тем преимуществом, что используемые в них преобразования являются полностью или частично аналитическими. К сожалению, применение этих методов ограничено случаем двух измерений, и по этой причине в нашей книге они рассматриваться не будут. Желающих ознакомиться с приложениями этих методов отсылаем к работам [СЬпгсЬ1!1, 1948; Моге111, 1979; Рач1з, 19791. Алгебраические методы и методы, основанные на решении дифференциальных уравнений, можно применять в сложных трехмерных задачах. Из всех методов построения расчетных сеток эти два являются самыми многообещающими и широко распространенными. В настоящей главе будут рассмотрены приложения этих методов и приведены примеры построения расчетных сеток. 5 10.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
