Anderson-et-al-2 (1185924), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В других задачах мы хотели бы изменять положения узлов сетки, чтобы добиться адекватного разрешения поля течения как при неподвижных, так и подвижных границах. Это удобно потому, что мы можем сгущать узлы сетки в областях больших градиентов параметров потока, заранее ничего не зная о решении. Такие области возникают часто в результате большого изменения масштабов длины поля течения. Конечно, должна быть разработана подходящая методика адаптации сетки. Лучше всего осуществлять адаптацию сетки таким образом, чтобы при этом уменьшалась ошибка в решении. Руководствуясь этим соображением, можно изменить положение некоторых узлов сетки с тем, чтобы получить «наилучшее» решение, используя некоторый выбранный способ измерения ошибки.
Обычно это снимает вопрос о разрешении решения, так как там, где возникают большие ошибки при использовании неподвижной сетки, и требуется высокое разрешение. В этом параграфе мы приведем примеры схем с адаптивными сетками с целью рассмотрения вопросов разрешения и уменьшения ошибки. Когда речь идет о методике построения адаптирующейся к решению сетки, следует иметь в виду два момента.
Для того чтобы их понять, вновь обратимся к простому одномерному волновому уравнению Гл. 1О. Методы построения расчетиык сеток когда преобразование задается следующим образом: т = 1, $ = $ (1, х). (10.31) В уравнении (10.30) коэффициенты $~ и $» задают связь между физической и преобразованной плоскостями. Они используются для определения преобразования, связывающего две эти области. Если разрешить уравнения (!0.31) относительно х, и хе, то получим 1 Ь х= —, х,= — —. е (10.32) Величины х, и хе суть скорость движения узлов сетки и расстояние между узлами в физическом пространстве.
Один из методов построения адаптивных сеток (Рчгуег е1 а1., 1979, 1980; К!ор1ег, Мсцае, 1981а] состоит в том, чтобы задавать положения узлов.после каждого шага интегрирования или после выполнения некоторого числа шагов. В соответствии с этим значения х яли координаты узлов в физическом пространстве могут быть заданы там, где этого требует критерий разрешения или какой-либо еще. Так как ха тогда становится известным, то известна и величина $, а х, получается при помощи центральных разностей. После чего вычисляют $ь и, таким образом, все, что нам необходимо для интегрирования уравнения (10.30), мы имеем. В этом методе скорость узлов сетки рассчитывается с запаздыванием.
Другой способ построения адаптивных сеток заключается в постулировании закона, задающего скорость движения узлов сетки. В нем в качестве определяющего критерия можно использовать разрешение, ошибку в решении или что-либо еще. Удобно задавать $~ в вычислительной плоскости. В любой момент времени величина $~ известна, и скорость узлов сетки в физическом пространстве х, получают из уравнений (10.32). Зная х„ ее можно интегрировать совместно с определяющим уравнением, что дает новые положения узлов сетки.
Достоинство этого метода состоит в том, что вычисления положения узлов сетки и их скорости совпадают по времени (нет отставания по времени при вычислениях этих величин). Существуют самые разнообразные подходы к построению адаптивных сеток. Однако внимательное рассмотрение идей, положенных в их основу, показывает, что они во многом сходны.
В следующем разделе кратко будут описаны вариационный метод, методы эквираспределения и задания скорости. Будут приведены некоторые результаты, полученные с использованием адаптивных сеток. з 10.4. Адаптивные сетки 10.4Л. Варнаиионныа метод Брэкбилл и Зальтцман (ВгаскЬ!11, Ба!1зтап, 1980; ВгаскЫ!1, 19821 разработали новый метод построения адаптивных сеток с использованием вариационного подхода. При помощи вариационных принципов в нем минимизируется функция, включающая в себя меры гладкости, ортогональности и объема.
Мерой гладкости преобразования может служить интеграл ~ =~ню+( л~р и (10.33) Мера ортогональности определяется интегралом ~е — — Щ ° рт))т Р Ю~ (10.34) и мера объема элементарной ячейки рассматриваемой сеткн— интегралом 1,=)тн1ЫУ, (10.35) о (10.36) ~а+ Ае~е+ де~о. Чтобы минимизировать 1, необходимо составить уравнения Эй- лера — Лагранжа (%е1пз(оск, 1952]. Например, для меры глад- кости можно записать используя в качестве независимых переменных координаты в вычислительной плоскости. Составим уравнения Эйлера — Лагранжа для Ре: (10.38) где тн — некоторая заданная весовая функция. Преобразование, связывающее Р и СР, определяется минимизацией линейной комбинации трех выписанных выше интегралов.
Эта линейная комбинация с множителями Х, и Хе записывается в следующем виде: 648 Гл. 1О. Методы построению расчетных сеток Если выполнить дифференцирование, то эти уравнения можно переписать следующим образом: А (ахц — 25хзч+ ух, ) — В(ауц — 26УЗч+ уу„„) = О, (10.39) — В(ахц — 21)хзч+ ухчч) + С(ауц — Фузч+ уучч) = О. Коэффициенты А, В, С, а, р и у суть функции метрических коэффициентов. Мы предлагаем читателю выписать их в качестве упражнения (см. задачу 10.16). Если Вт — АСФ О, то ахц — 2рхзч+ тхчч = О (10.40) ауц — 2фуеч + уучч = О. Эти уравнения определяют отображение, предложенное Уинслоу и являющееся основой работ авторского коллектива во главе с Томпсоном. Если минимизируется 1, определяемое уравнением (!0.36), то каждый из интегралов 1, и 1о дает свой вклад в уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала (10.36), которые имеют в этом случае значительно более сложный вид, нежели уравнения (10.40).
Вариационный подход подводит надежную математическую основу под процедуру построения сетки, но приводит к необходимости решать большее число уравнений в частных производных. Приходится помимо определяющих уравнений движения жидкости решать еще и уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала. В приведенном здесь примере адаптивную сетку строят, выполняя перестроение после каждой итерации или после каждого шага по времени, при этом скорость узлов вычисляют по разностям назад. Вариационный подход является мощным инструментом построения расчетных сеток.
К его недостаткам следует отнести большую трудоемкость, обусловленную необходимостью .решения уравнений, определяющих генерацию сетки. Если используется линейная комбинация интегралов типа (10.36), необходимо еще и подбирать коэффициенты Х. Однако, подбирая их подходящим образом, удалось получить отличные результаты. ! 0.4,2. Метод вивираспределении Во многих приложениях адаптивных сеток требуется перемещать узлы сетки в одном направлении. Поэтому рассмотрим минимизацию функционала 1„, определяемого уравнением (10.35), для одномерного случая (10.41) $10.4. Адаитиоиые сетки 649 Брэкбилл и Зальтцман проинтегрировали уравнение (10.42) и по- лучили п1х1~=С1~или, 1/ги х =ор1х4 —— С,.
(10.43) Отсюда видно, что произведение шага сетки и весовой функции должно оставаться постоянным в физическом пространстве (закон постоянства в~хе вдоль линий сетки назван «эквираспределением). В свою очередь уравнение (10.43) можно проинтегрировать и получить координаты либо в физической плоскости, либо в вычислительной. Пусть х = 0 при $ = 0 и х =х „ при $ = 9 „.
Тогда интегрирование уравнения (!0.43) дает либо координату в вычислительной плоскости и иван $=$, ~ 1в1Их ~ в дх, о о (10.44) либо координату в физической плоскости 4 $ н, х = хван'~ (1/ю1) Ж ~ (1/тв1) 4ф. (10.45) о. о Уравнение (10.44) было использовано в качестве закона построения адаптивной сетки в работах [Р1иуег е! а1., 1979, 1980[. Применение этого закона во многих задачах горения и тепло- и массообмена дало отличные результаты. При этом весовая функция ор1 выбиралась в виде линейной комбинации производных некоторой интересующей нас зависимой переменной.
Если в качестве таковой выбирают статическую температуру, то п11 +п~ д [+ Ь! 1, ~' (10.46) Положение узлов сетки в физической плоскости определяется по уравнению (10.45), как и в работе [бпо11о, 1980[. В этой работе закон движения узлов сетки вдоль одной координаты использовался при решении уравнений Навье — Стокса с той лишь разницей, что в выражение для весовой функции входили только первые производные зависимой величины. Уайт [%111!с, 1982[ использовал идею эквираспределения при решении одномерных задач.
В его работе закон эквираспределення был сформулирован так: произведение длины дуги и ве- 21 д. Андерсон и др. Тон и Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала имеет вид (10.42) Гл. !О. Методы построения расчетных сеток совой функции остается постоянным. В сущности это есть закон, определяемый уравнением (10.44) или (10.45), но для одной координаты двумерной задачи. Однако в примере Уайта длина дуги бралась вдоль поверхности, которую задает решение для интересующей нас зависимой переменной. Была выбрана следующая весовая функция: тв, = 1 + а ! тс!, (! 0.47) где я — кривизна вышеупомянутой поверхности. Такой подход обеспечивает автоматическое сгущение узлов сетки в областях больших градиентов, а густотой сгущения узлов в областях большой кривизны можно управлять изменением константы а.
10.4.3. Методы задания скорости уааон сетки Не так давно Хайндман и Спенсер [Н!пйпап, Ярепсег, 1983] разработали метод построения сетки с заданием скорости ее узлов, в который включена также и идея эквираспределения. Поскольку методы построения расчетных сеток путем решения дифференциального уравнения являются наиболее распространенными, представляется разумным продифференцировать уравнение (10.43) для получения дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяет закон построения сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
