Anderson-et-al-2 (1185924), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть точка 0 есть середина сегмента, соединяющего точки А и В, и й — любая физическая переменная, например давление. Согласно этому методу, скорость в любой точке С записывается в виде К1й,11й„11-1)' (10.58) тос $ !0.4, Адаптивные сетки где ~йа~ и 1йч~ — абсолютные значения градиентов й вдоль и по нормали к линии АВ, К и и — константы, гос — расстояние меж- ду точками О и С и й задается следующим образом: ~лт~ 1, если з(йп( — „1з(яп(Чо — т)с) (О, /Ь1~ 2, если з(дп! — 1з(ап(т1о — т)с) ) О, ~ч (!0.59) и' О.З 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Рис. 10.13, Неподвижная сетка для расчета течения в двумерном канале в физических координатах к, р. в поле течения.
Таким образом, линия сегмента вращается в направлении областей с большими градиентами и это вращение прекращается, когда эта линия становится параллельной поверхности постоянства й, так как в этом случае либо Ьа — — О, либо Ьч = О. Эта процедура позволяет локально адаптировать положение координатной линии к размещению областей с большими градиентами. Примеры, демонстрирующие этот метод, приведены на рис. 10.13 и 10.14. На рис.
10.13 изображен двумерный канал, положение стенки которого задается уравнением у = 0.25+ (у,„и — 0.25) хе. Число Маха иа входе равно 1.5, а давление на выходе выбирается таким, чтобы при к =0.5 располагался прямой скачок (расчет по одномерной теории), Поле течения рассчитывалось по зависящим от времени двумерным уравнениям Эйлера, записаинЫм в дивергеитной форме, а з)дп означает знак аргумента. Если положить, что йа и Ич положительны, а точка С находится ниже точки А, то скорость узлов ($с)~ также положительна, что указывает на сгущение узлов сетки в области с большими градиентами.
Полную скорость узла получаем суммированием вкладов от всех сегментов дхсдам сечение Ось симлчмнрии дьмсдлсе сечение 0.8 Гл. 1О. Методы построения расчетных сеток На рис. 10.!4 приведено распределение давления вдоль центральной линии канала, рассчитанное на неподвижной и адаптивной сетках. Осцилляции, имеющие место в расчетах на неподвижной сетке, типичны для методов сквозного счета второго порядка. Однако они отсутствуют в установившемся решении при использовании сетки, адаптированной к положению скачка. Можно привести еще один пример: однородный сверхзвуковой свободный поток с косым скачком, который также демонстрирует свойство этой схемы выстраивать сетку динамически 1.0 о.о о.г 0.4 о.е о.о по Рис. 10.14. Распределение давления вдоль оси симметрии канала; сх— решение, полученное на адаптивной сетке размером 20 УС 7; — Π— решение, полученное на неподвижной сетке размером 20 УС 7; у„и = Одь в процессе решения, сообразуясь с положением скачка.
Это течение изображено на рис. 10.15. Так как задача является полностью сверхзвуковой, то мы не испытываем трудностей с заданием граничных условий на выходе и решаем уравнения Эйлера, зависящие от времени, записанные в дивергентной форме, на сетке, показанной на рисунке. Локально адаптированная к скачку сетка изображена на рис. 10.16. На рис. 10.17 показаны профили давления при у = О, рассчитанные на неподвижной и адаптивной сетках. Отметим еще раз удивительный факт отсутствия осцилляций у численного решения, полученного на сетке, адаптированной к положению скачка.
Подход с использованием сеток последнего типа имеет очевидные преимущества при использовании схем сквозного счета. В настоящем разделе мы ввели понятие о сетках, адаптиро- ванных к решению. Численное решение уравнений с частными з !0.4, Адаптивные сетки производными на адаптивных сетках приводит к существенному улучшению точности. Помимо изложенных методов находят О.г 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 ОЛ 0.6 0.7 0.8 0.0 1.0 Рис. 10.15.
Неподвижная сетка для задачи расчета однородного сверхзвукового течения с косым скачком. 0.2 О.! 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ож 0.7 0.8 0.9 1.0 Рнс. 10.16. Сетка, адаптированная к положению скачка, для задачи расчета однородного сверхзвукового течения с косым скачком. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.6, 1.0 Рис. 10.17. Распределение давления в плоскости у = О для однородного сверхзвукового течения с косым скачком, — аналитическое решение; — и†решение, полученное на адаптивной сетке размером 19 Х 7; — !"! — решение, полученное на неподвижной сетке размером 19 Х 7. применение и другие подходы.
Идеи, используемые при конструировании схем с адаптивными сетками, ограничены лишь возможностями человеческого воображения, и любая схема, приводящая к более точным результатам, является приемлемой. Гл. 1О. Методы построений Наечетных сеток $10.5. Дополнительные соображения Закончим главу о построении расчетных сеток замечанием, что сетка, построенная для решения некоторой конкретной задачи, должна быть соответствующим образом связана с дифференциальными уравнениями в частных производных.
Эта связь осуществляется через метрические коэффициенты преобразования, возникающие в этих уравнениях. Рассмотрим уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости, записанные в'строго дивергентной форме (см. уравнение (5.240) ). Пусть исходная система координат прямоугольная. Перейдем от нее к криволинейной системе координат (т, $, т1, Ц и для простоты ограничимся рассмотрением уравнений течения невязкой жидкости. В случае двух измерений уравнения (5.240) можно записать в виде — ( — )+ — [(утхп — хтуп) Ц+упŠ— хпР]+ + — ((хтуз — утх1) е) — у1Е + х1Р) = О. (! 0.60) д Заменим теперь дифференциальные операторы конечно-разностными операторами Г и запишем дискретный аналог уравнения (5.240) для однородного течения (т. е.
заменим зависимые переменные постоянными величинами). Это приводит к следующим соотношениям: Г, Я + Гз (йтхп — хтрп)' '+ Гп(хтй — У х )<" = О, (10 6!) Г, (Р<м) — Гч (У<я) = О, (10.62) Ге (х<2>) — Г„(х<т>) = О. (10.63) Нижний индекс разностного оператора обозначает дискретизацию по времени или пространству, а верхние индексы (!) и (2) указывают на два различных численных представления одной и той же величины.
Уравнения (10.62) и (!0.63) тождественно удовлетворяются, если они дискретизируются по той же схеме, что и уравнение (10.61). Уравнение (10,61) представляет собой дискретизацию тождества, названного Томасом и Ломбардом !ТЬотаз, ).отЬаг<1, 1978) геометрическим законом сохранения.
Дифференцн. альный аналог этого выражения имеет вид — — ) + — (эт»п — хтйп) + ~ (хту! — утхт) = О, и его следует дискретизировать точно так же, как и уравнения однородного течения (уравнение (! 0.61) ). Очевидно, это уравне- Задачи ние не дает полезной информации, если сетка не меняется со временем.
Уравнения (10.61) — (!0.63) являются следствием определенной формы записи уравнений (! 0.60). Если воспользоваться слабо дивергентной формой записи определяющих уравнений, а не строго дивергентной формой Вивьяна, то получится совсем другое ограничение на метрические коэффициенты. Если используется недивергентная форма записи определяющих уравнений, то не возникает специальных разностных соотношений, наложенных на метрические коэффициенты и полученных вследствие преобразования координат. .Два набора метрических коэффициентов, обозначенных индексами (1) и (2), требуют дальнейшего обсуждения. Метрические коэффициенты, обозначенные индексом (2), следует вычислять с учетом ограничений, накладываемых уравнениями (!0.62) и (10.63). Вычисление метрик с индексами (1) остается свободным от ограничений.
Хайндман и др. (Н(пйпап е! а1., 1981] показали, что корректный способ вычисления метрических коэффициентов с индексами (1) определяется точностью интегрирования якобиана в уравнении (10.61) при сравнении с его действительными значениями, вычисляемыми при отображении. Приведенный выше пример показывает, что форма записи интегрируемых уравнений может накладывать дополнительные ограничения на способ вычисления метрических коэффициентов. Хайндман [Н!пбшап, 1981) предложил использовать форму записи уравнений, аналогичную использованной в уравнении (10.60), даже в схемах сквозного счета. При этом метрические коэффициенты не входят в потоковые члены, вследствие чего геометрические ограничения не возникают.
Этот пример должен послужить предостережением о том, что требуется большая осторожность при решении любой системы, когда построение расчетной сетки и процесс решения уравнений связаны. Задачи 10.1. Проверьте уравнения (10.7), задающие преобразование метрических коэффициентов. 10.2. Пусть физическая область определена иа интервале 0 ( к ( 1, з верхняя и нижняя границы задаются уравнениями раз = 1+ 0.2 з!и пх, В! — — О.! соз пх соответственно.
Получите преобразование, приводящее к равномерному распределению узлов сетки между верхней и нижней границами. ВоспольэУ- тесь простым нормализующим преобразованием. 10.3. В задаче 10.2 интервал изменения х задается двумя линиями х сопз1. Если левая и правая границы суть уь = 10к, ун = 4(х — 1) соот- 662 Гл. !О. Методы построения расчетных сеток впгствеипо, а верхняя и нижняя границы остаются прежними, то найдите для этого случая пормализующее преобразование, приводящее к равномерной сетке в физической области. Почему оио имеет гораздо более сложный вид, чем преобразование из задачи 10,2? 10.4. Решите задачу 10.2 алгебраическим методом, описанным в примере 10.4.
Чтобы проверить ваши результаты, используйте сначала линейные функции, а затем кубические. 10.5. Решите задачу 10.3, используя линейные функции и метод, описан. ный в примере 10.4. 10.6. Пусть система уравнений с частпымя производными решается ив прямоугольной области 0 ( х < 1, 0 < у (1. Будем считать поверхность г" (1, л, у) 0 скачком, причем его положение рассчитывается в процессе решения. Получите преобразование, переводящее физическую область па две прямоугольные вычислительные области, граничащие по поверхности Р(1, х, у) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
