Anderson-et-al-2 (1185924), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(С.1) А,' и,,+, + Аз и.+.,+. + Азс,и+, + А,',и+ь, + А', ис,+ +Ас,и. ь.,+Ать,и...+А',,и...+,+А', иьг — дг и (С2) Если и — температура, то это уравнение описывает двумерный стационарный процесс распространения тепла. В приведенном уравнении Й и й„— коэффициенты теплопроводности в направлении осей х и у соответственно, а д(х, у) — источниковый член, описывающий подвод тепла. Отметим, что уравнения вида (С.1) описывают и многие другие физические процессы. При й, = й„ = сопз1 и д(х, у)чь 0 уравнение (С.1) является уравнением Пуассона, а при я, = й„ = сопз1 и д(х, у)= О уравнение (С.1) сводится к уравнению Лапласа. В работе Шнейдера и Зедана [ЬсппеЫег, Хедап, 198Ц приведены численные примеры, относящиеся лишь к уравнению Лапласа. При этом представлены результаты расчетов задач с граничными условиями Дирихле, Неймана и Гобинса (смешанное граничное условие).
Алгоритм разработан для решения уравнений, полученных при аппроксимации уравнения (С.1) по девятиточечной схеме. Уравнения, полученные при вятиточечной аппроксимации, рассматриваются при этом как частный случай. При использовании девятиточечной схемы (см. соотношение (4.114)) конечноразностный аналог уравнения (1.1) можно записать в виде 674 Приложение С Индексы 4, ) указывают на номер узла разностной сетки, а не на номер строки и столбца матрицы.
Верхние индексы указывают на номер коэффициента в разностном уравнении для произвольной точки (4, )). Если используется пятнточечная аппроксимация уравнения, то Аль ~=А[,г=А~ьг=А~с!=О. Разностные уравнения можно записать в виде [А]и=С, (С.З) причем матрица коэффициентов имеет вид А[у А~и А7ч а Ат Ае (А) = 6 Аер Для последующих ссылок диагонали, на которых расположены элементы, имеющие одно и то же значение индекса 4 (расположенные в одном столбце точек сетки), помечены звездочкой. Построим теперь матрицу [В] = [А + Р), которую можно представить как произведение верхней (У) и нижней (Ь) треугольных матриц. Кроме того, потребуем, чтобы девять исходных коэффициентов (от А,' ~ до А', ) при переходе - к матрице [А+ Р) не изменились.
Матрицы [Ц и [У) имеют вид 675 Приложение С [су) = Звездочкой по-прежнему обозначены диагонали, соответствующие узлам сетки с одинаковым значением индекса с. Условие сохранения нри переходе к матрице [В] девяти коэффициентов, образующих матрицу [А], позволяет получить следующие уравнения для определения элементов матриц [Е] и [и]: а, =Аис, (С.За) а, уус с у с+ Ь,,=А', (С.ЗЬ) ) [ С [4 (С.Зс) ас. уйс-с, у-с + Ьь уас, у с + с[с, у = Ао о т (С.Зс[) и а,,ув,, у с+Ьс,уйс,у с+ес,уйс„,у с+с[с,Дс с,у+ес,у=Ау,у, (С.Зе) з Ьс уз, у,+с, уУсс.сс у,+е, уус у — — Ас,у, (С.З[) с[с, уУсс-с, у+ ес, уКс, у = Ас, у и (С Зд) с[с, узс-с, у+ ес, у[ус, у = Ас, у ! (С.ЗЬ) есузс у — — А~с,у.
(С.З!) Модифицированная матрица коэффициентов [В] = [А + Р] имеет вид [в[ = Звездочка имеет тот же смысл, что и раньше. Приложение С Элементы матрицы [В), обозначенные коэффициентами , фз1, и ф11 1, определяются соотношениями .А1 т-1,! ='1,А+1.1-Ь Ф1,1= п1, 181-1. 1-1 ° дз с1, 1з1+1, 1-Р (С.4а) (С.4Ь) (С.4с) (С.4д) Разностный шаблон, определяемый матрицей [В), схематически показан на рис. С.1. ь-2 1-1 х 1+1 1+2 Рис. С1.
Шаблон для решения модифицированным сильно неявным методом уравнений, полученных при применении девятнточечной схемы. Если применЯетса пЯтиточечнав схема, то точки, обозначенные Аз1 П А«, П А~1, р А Шнейдер и Зедан [ЗсЬпе(бег, Хедап, 1981) воспользовались разложением в ряд Тейлора для того, чтобы выразить значения м1-1, ь и +в, ь и1+з, 1-1 и и1 з, гь1 через значения и в узлах исходного девятиточечного шаблона. Это позволило частично избавиться от влияния дополнительных членов (Р1,1) матрицы [В). Указанные разложения имеют вид и,, г — — — и, 1+2и1-1,1 (С,5а) и1 ьз г — — — и, 1+ 2и1ь1 1 (С.5Ь) и1ьз 1 1 —— — 2и11+ 2и1 1 1+ и1 1 о (С.5с) и, з 1~1 — — — 2и, 1+2и,, 1+и11+,. (С.56) К столь же хорошим результатам может привести использование и любой другой экстраполяционной формулы для определения значений неизвестных вне исходного разностного шаблона, 677 Приложение С Использование того или иного приближения влияет лишь на скорость сходимости итерационного процесса, а не на окончательный результат, получающийся, когда процесс сойдется.
Итерационный параметр а вводится для того, чтобы частично избавиться от влияния элементов фсс, появляющихся в [В[. Это достигается использованием модифицированной девятиточечной схемы, которая имеет вид Уравнения (С.З) и (СА) модифицируются с учетом вводимого соотношениями (С.6) частичного сокращения членов и преобразуются так, чтобы элементы матриц [Ц и [ес[ выражались явно: (С.7а) ас с= с,с А,с — ассСс сс 1 — аА,А+,с е 4 Ьс с— -асс,с А,с,с с сс, с = Ас. с — Ьс, сс с, с-с 7 Ас С вЂ” ас Сас с С с — Ьс Сдс С с — 2аас Сдс (С.7Ь) (С.7с) (С.76) с,с 1+ 2ад е,,=А, — а, з...— Ьс сйьс с — сссдс+с асс, с[с-с, с+ а(2фс с+ ф',, + ф,' с+ 2фсс с), Асс Ьс.снс,с-с рс,сас+, с с — 2ас,Ф, с+Ф, с) (С.7е) (С.7() ес С Ас, с — '1ь сьс-с, с ас,с= Ас С вЂ” сСс Слс, — аф с с Ьс,= ес с Ас Я.
',с ес,с (С.7я) (С.7Ь) (С.71) Ае и,, + Асс и,, + Ае и, + А,' и, +с+ Аес и,„, + + Ар,и...,+А',,и, с с+, + А', сис+, с+, + +Ас си ...+ф',,[ис+. с с — а( — 2ис,+2ис+с,с+ис,с-с)1+ +фс '[ис, — а( — и, с+2ис с с))+ +ф с[ис — а( — и, +2и+, )]+ +фсс с[ис яс с — а( — 2ис с+2и,, с+и, с+,)1=сус с.
(С.б) вта Приложение С Величины аьь входящие в зти соотношения, вычисляются по формулам (С.4) с использованием значений а, Ь, с, И, (, й и г, вычисленных по формулам (С.7). Отметим, что входящие в (С.7) значения 1Ь;,~ должны быть вычислены сразу после нахождения величины е(сь Результаты, полученные Шнейдером н Зеданом [ЗсЬпеЫег, Хедап, 1981], показывают, что модифицированный сильно неявный метод мало чувствителен к выбору значения параметра а.
Хорошие результаты получаются при расчетах с параметром и, лежащим между 0.3 и 0.6. Здесь важно отметить, что если сильно неявный метод используется для решения уравнений, полученных при использовании пятиточечной схемы, то Аеь у = Аль у = Аеь г = Ае~ г = 0 (С.8) и в результате (С.9) Итерационный процесс решения уравнений организуется следующим образом.
Сначала добавим к обеим частям уравнения (С.З) величину [Р] 11. Тогда получим [А + Р] и = С + [Р] и. (С.10) Значения неизвестных в правой части возьмем с а-й итерации, что приводит к соотношению [А + Р] п"+' = С + [Р] и". (С.11) Представив матрицу [А+ Р] в виде произведения матриц [Ц и [У], получим [1.] [11] м" +' = С + [Р] и .
(С.12) Введя промежуточный вектор Чем по формуле Ч"+' = [У] и"+', (С.13) придем к следующему двухшаговому итерационному процессу: Шаг 1 [ЦЧ"+' =С+ [Р] и", (С.!4а) Шаг 2 [и] "+'=Ч"". (С.14Ь) Элементами матрицы [Р] являются просто 11', (ре, Р', ф' (при использовании пятиточечной схемы только 11' и ф'). Они вычисляются по соотношениям (С.4). Можно поступить и по-другому, введя вектор разности бе+1 пи+! по (С.15) б79 Приложение С и вектор невязки (С.16) 11" = С вЂ” [А] и". Тогда уравнение (С.11) примет вид [А + Р] Ь~~~ = 11".
Заменив [А+ Р] произведением [Ц [У], получим [Ц[О Ь +~;=11 . Введя промежуточный вектог %"+' по формуле %"+' = [У] Ь" +', (С.17) (С.18) Итерационные процессы, описываемые соотношениями (С.14) и (С.19), состоят из прямой подстановки для определения Ч"+' или %"+' и обратной подстановки для нахождения 1)и+' и Ь"+'. Коэффициенты уравнения в ходе итерационного процесса не меняются. После каждой итерации правая часть шага 1 меняется и итерационный процесс повторяется.
снова придем к двухшаговому итерационному процессу: Шаг 1 [Ц%"+' = 11", (С.19а) Шаг 2 [О] Ь"~' = %а+ . (С.19Ь) Обозначения И А с с~ с с, о'г е Е, $ /к~ /ю )г Ьь Ьз, Ьз Н !о !м!з 3. 3, й 1 1 Ь Ь Ьм Ьт К К скорость звука вектор площади скорость распространения волны коэффициент трения удельная теплоемкость при постоянном давлении удельная теплоемкость при постоянном объеме дифференциал радиус-вектора внутренняя энергия единицы массы полная энергия единицы объема (если учиты- ваются лишь внутренняя и кинетическая энергии, то Ес = р(е+ Р/2) ) сила, действующая на единицу массы составляющие силы, действующей на единицу массы, в декартовой системе координат произвольная функция вектор ускорения силы тяжести коэффициент (множитель) перехода безразмерный вектор потока высота энтальпия единицы массы (Ь = е+ р/р) коэффициенты Ламе криволинейной ортогональной системы координат полная энтальпия (Н = Ь + гз/2) единичные векторы криволинейной системы коор- динат единичные векторы декартовой системы координат безразмерная энтальпия якобиан коэффициент теплопроводности кинетическая энергия турбулентности волновое число коэффициент турбулентной теплопроводности местная кривизна тела Ьу+/Ьу Обозначения 68! (.' Ь М М„'.
и Р Рг Рг„ Ч Ч Я Г Г й це (тед Я 1 Т ие и! из иа и. ие и, и,. ие, ир 22 Л. дна»рсоа я ар. том З путь (длина) смешения масштаб, определяемый диссипацией составляющие вектора !. характерный размер собственный вектор массовый расход число Маха местное число Маха, определенное по составляю- щей скорости в направлении основного потока расстояние по нормали единичный вектор нормали давление число Прандтля турбулентное число Прандтля интенсивность линейного источника или стока вектор теплового потока подвод тепла извне к единице объема яЛ1/(Дх) 2 радиус; расстояние, отсчитываемое вдоль радиуса газовая постоянная число Рейнольдса число Рейнольдса, определенное по параметрам набегающего потока и характерному размеру Ь (!(ед = р !'в1./!Аы) сеточное число Рейнольдса (для уравнения Бюр- герса Бед» = слх/!А) энтропия единицы массы длина дуги источниковый член время температура безразмерная скорость, используемая в теории турбулентных течений составляющие скорости в декартовой системе ко- ординат составляющие скорости в произвольной системе координат составляющие скорости в цилиндрической системе координат составляющие скорости в сферической системе ко- ординат контравариантные составляющие скорости составляющая скорости набегающего потока в на- правлении оси х вектор скорости 682 Обозначения х, у, х хо хз, хз у бе би Л Лх,.
Лх Лу,. Лу Л" ( ) а е, не модуль вектора скорости вектор примитивных переменных декартовы координаты произвольные криволинейные координаты безразмерная координата, используемая в теории турбулентных течений коэффициент термодиффузии конические координаты коэффициент искусственной сжимаемости коэффициент растяжения !е Лх /Мз — 1 безразмерный градиент давления (р = (х/ие)е(и,/пх) !ее,ЛХ й.лу отношение теплоемкостей конечно-разностный оператор; циркуляция характерный размер в направлении оси у 'толщина пограничного слоя центрально-разностный оператор, определяемый формулой (3. 14) измерение и на двух последовательных итерациях центрально-разностный оператор, определяемый формулой (3.13) центрально-разностный оператор, определяемый формулой (4.100) толщина вытеснения символ Кронекера оператор разностей вперед, определяемый формулой (3.9) х;„— х; х! — х! У!ч.1 У! у! — у! ( )" ' — ( )" переменная, имеющая смысл безразмерного расстояния скорость днсснпации энергии турбулентности коэффициент в неявном сглаживающем члене коэффициент в явном сглаживающем члене вектор завихренности (ь = Ч;и, Ч) Обозначения е е е е„е, и л Х х И 1а И 1а )а рт $ т) ~ йП„ Р Р о Ъц ч ф ф ф ф ф,ф Ф Х Х модуль вектора завихренности угол, отсчитываемый в окружном направлении толщина потери импульса параметр, определяющий тип разностной схемы параметры, определяющие тип разностной схемы коэффициент объемной вязкости ' постоянная Кармана собственное значение обобщенный коэффициент диффузии Л +Х коэффициент вязкости в уравнении Бюргерса коэффициент динамической вязкости оператор осреднения, определяемый форму- лой (3.16) р+ рг второй коэффициент вязкости коэффициент турбулентной вязкости преобразованные координаты 3.14159...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
