Anderson-et-al-2 (1185924), страница 47
Текст из файла (страница 47)
10.5. Область между двумя концентрическими окружностями отдбражается на прямоугольник в вычислительной плоскости. На рисунке показаны полученные в результате расчета линии постоянства й и т) в физическом пространстве. Внутренняя окружность имеет радиус го, наружная — радиус гь В этой задаче окружности разрезают по радиусу 0=0 и внутренность между ними отображается на прямоугольник с изменениями координат от 1 до $,„и от 1 до т) „в вычислительной плоскости. Здесь отображение определяют из уравнений Лапласа Ч%=0, ~'т)=0 640 Гл. !О.
Методы построения расчетных сеток с граничными условиями к=го~ Ч=(1 В=О, й=(; 0=2П, в=ямах. Г$ Ч Чмах( Решение имеет вид х=(чсовф, у=йв!пф, где аъ Г ~~ 11ч ~Ч(чаях ~) а $ ч =го( — 1 га Ьпах Интересно, что в этом случае решение не дает равномерной сетки в физической области. Сетка оказывается набором концен- 2.0 В=О 1.0 1.0 1.5 2.0 (п) (ь) Рис. 10,5. Применение метода Томпсона: (а) физическая плоскость; (Ь) вы- числительная плоскость. (10.17) трических окружностей. Чтобы сделать эти окружности равно- отстоящими друг от друга, следует задать Р = 0 и (") = 1/Ч (см.
задачу 10.9). Как отмечалось ранее, одна из трудностей применения этого метода заключается в контроле размещения узлов внутри области. Для получения желаемого распределения узлов необходимо располагать методикой задания Р и (',). Миддлкофф н Томас [М(с(б!есо((, Т)1отав, 1979) разработали методику, которая обеспечивает приближенный контроль размещения узлов сетки путем оценки Р и Я по требуемому распределению точек на границе. Чтобы пояснить эту идею, предположим, что требуется решить уравнение (10.15) с условиями Дирихле. Выберем следующую форму записи Р и Я: Р=ф~, Ч)(~.+~„), ,~ (а ) (Чг (, г) $10.3. Методы, основанные иа решении дифференциальных уравнений 641 где ф и ф будут определены ниже из граничных условий. С учетом этого исходную систему уравнения (10.15) можно записать в виде а (хай + фхй) — 2Рхйч+ у (х„„+ фхч) = О, а (Уй! + фу!) — 2РУйч+ 7 (Учи+ фУч) = О.
(10.18) Приравнивая выражения, стоящие в скобках, нулю на границе, определяем функции ф и тр. Миддлкофф и Томас требуют, например, чтобы вдоль границы $ =сопз1 выполнялись условия х„„+ трхч = О, у„„+ фу„=О, а вдоль границы т) =сонэ! †услов хай+ фхй — — О, (10.20) уй!+ фу, = о. Поскольку х и у известны во всех точках границы, то функции ф и ф могут быть определены с использованием центрально-разностной аппроксимации для всех производных, входящих в уравнения (10.19) и (10.20).
Следует отметить, что ф и тр определяют по одному из уравнений каждой пары (10.19) и (10.20). Обычно если ф находят по одному из уравнений (10.20), то другое при этом отлично от нуля. То же справедливо и в отношении функции тр, которую определяют из уравнений (10.19). Используя такой подход, находят функции ф н ф на границе, а внутри области значения этих функций получают простой экстраполяцией. Данная методика дает способ управления распределением внутренних узлов по требуемому их распределению на границе. Предложены и другие методы контроля распределения узлов сетки. Можно рекомендовать работы [ТЬошрзоп е1 а1., 1975; ТЬогпрзоп, 1980], где дан обзор наиболее удачных из них. Для построения расчетных сеток могут быть использованы уравнения с частными производными других типов.
Стегер и Соренсон [8!епег, Яогепзоп, 1980) описали метод, использующий систему гиперболических уравнений для построения сетки вокруг некоторого тела. При этом внешняя граница заранее не указывается. Поверхность тела образует внутреннюю границу, и система гиперболических уравнений решается маршевым методом в направлении от тела, что ие требует задания внешней границы. Стегер и Соренсон предлагают метод дуг и метод объемов, приводящие к построению ортогональных сеток. Остановимся подробнее на последнем. В случае двух измерений якобиан преобразования дает отношение площадей ячеек сеток в физической и вычислительной плоскостях.
Если считать,что размеры ячейки сетки в вычисли- Гл. 10. Методы построения расчетнык сеток тельной плоскости равны единице (Л$ = Лт) = 1), то ее площадь также равна единице. Тогда величина хау„ уах„ 1 (10.21) есть площадь ячейки сетки в физической области.
Если 1 считать функцией координат, то уравнение (10.21) можно использовать как одно из уравнений для контроля сетки в физической области. Второе уравнение получаем из условия ортогональности линий сетки к границе в физическом пространстве. Поэтому вдоль границы $(х, у)= сонэ! можем записать Н$=0=5хс(х+Цес(у или Ыу ! Фх уч (10.22) ох]а с е $н хч' Вдоль линии т! =сопз1 оу ! Чх уе (10.23) ух ~ч сооа~ Чю ха Если линии постоянства $ и т! перпендикулярны, то на плоскости х, у должно выполняться соотношение между тангеисами углов наклона этих линий оу ] / уу [ = — 1/ — [ нли с учетом (10.22), (10.23) хахч+ уауч= О. (10.24) Система уравнений (!0.21) и (!0.24) линеаризуется разложением в ряд вокруг некоторого известного состояния (х, у). Один из членов уравнения (10.21) запишется так: хауч — — (х+ х — х)а(у+ у — у)„= =хаУч+ Уч(ха — ха)+Ха(Уч — Уч)+ 0(Ле) = = учха + науч — хауч + О (Л9.
(10.25) Если остальные члены линеаризовать аналогичным образом, то получим [А] еуа + [В] туч — — $, (10.26) где -=П [А]=, [В]= ~ ~, 1= - . (!0.2У) 5 10.3. Методы, основанные на решения дифференциальных уравнений 643 Собственные значения матрицы [В] — ' [А) должны быть вещест- венными, если система гиперболическая в направлении з). Они равны 4+уй )1Ь 3 яй+у'й ' (10,28) Последнее равенство доказывает, что уравнение (10.26) гиперболическое по координате т) и его можно решать маршевым методом по направлению з) до тех пор, пока хтй+ ЯФ О. В описываемой процедуре построения сетки предполагается, что поверхность т) = 0 совпадает с поверхностью тела и вдоль (о) (Ы Рнс. 10.6.
Вычисление площадн злементарной ячейки вблнзн поверхности: (а) сетка в физической области; (Ц сетка в вычнслнтельной плоскости с за- данной площадью ячейки. нее задано распределение узлов сетки. Далее требуется определить Х в уравнении (10.21). Стегер и Соренсон предлагают это делать, строя прямую линию длиной, равной длине тела 1 вдоль поверхности, н снося на эту прямую распределение узлов, заданное на поверхности тела. Затем проводят следующую линию т( = сопз(, параллельную первой, как это требуется.
После чего величину Х легко определяют по значению площади ячейки сетки. На рис. 10.6 иллюстрируется эта процедура. Теперь систему уравнений (10.27) решают, как это обычно принято для гиперболических уравнений. Гл. 1О. Методы построения расчетных сеток Поскольку в этом методе мы задаем величину У, то гладкую сетку удается построить, если только 7 удачно подобрано. И наоборот, неудачный выбор У может привести к изломам или распространению по сетке информации о положении граничных узлов с искажениями. К тому же имеющиеся на границе разрывы данных передаются на такой сетке.
С другой стороны, этим методом сетка строится быстро и является ортогональной. На Рис. 10.7. Расчетная сетка, построенная вокруг профиля. рис. 10.7 показана сетка, построенная вокруг типичного профиля. Здесь расположение точек вблизи тела позволяет разрешить вязкий пристенный слой. Из обсуждения представленных в этом разделе методов становится ясно, что можно предложить неограниченное число схем построения сеток. Приемлема любая система уравнений, решение которой дает пригодную сетку, Все описанные выше методы требуют, чтобы расположение узлов сетки было известно прежде, чем мы приступим к решению уравнений с частными производными, описывающих течение жидкости. В следующем разделе мы приведем несколько соображений относительно построения сетки, при котором размещение ее узлов является частью решения всей задачи расчета течения. 5 10.4.
Адаптивные сетки В предыдущем разделе были представлены методы построения расчетных сеток, которые характерны тем, что сама процедура построения предваряла численное решение уравнений с з 10.4. Адаптивные сетки 645 ди ди — + с — =О. д4 ди (10.29) В вычислительной плоскости т, $ это уравнение примет вид дт +($~+ с$„) д —— О, ди ди 4 (10.30) частными производными. Одна из трудностей решения уравнений с частными производными на фиксированной сетке заключается в том, что ее узлы размещаются в физической области до того, как станут известны подробности решения.
Вследствие этого сетка может оказаться не самой лучшей для данной конкретной задачи. Термин «самая лучшая» нуждается в пояснении. Во многих задачах представляют интерес подвижные и подстраивающиеся к изменениям формы области сетки. Пример тому задача сверхзвукового обтекания затупленного тела. Обычно скачок выделяется как граница, и такая граница изменяет со временем свое положение, когда требуется получить установившееся решение определяющих уравнений. В этом случае перемещение узлов внутри области может быть масштабировано по движению границы и это дает приемлемые результаты. Во многих задачах такой подход является достаточным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
