Anderson-et-al-2 (1185924), страница 44
Текст из файла (страница 44)
После замены Гь на 1« в уравнениях (9.156) — (9.158) и подстановки (9.161) в уравнение (9.160) мы можем дискретизировать полученные уравнения и решать их относительно 1' до тех пор, пока не наступит установление, что дает решение для несжимаемой жидкости. Очевидно, этот метод годится только для стационарных течений, так как не является точным по времени. Для облегчения дискретизации уравнения (9.155) †(9.158) и (9.160) — (9.161) можно записать в следующей векторной форме: ди' де' д1' д$1» да да да и дйв д»~ дй да Не ~ д» а ду*а да 2) (9.162) где « и Р и' р'+ (й)' и Ф е'= о' ш и'о' и'то' и' йо' р'+ (о') Р и то о'ш' р'+ (то:)а (9.163) о'то' 0 11»1 = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 В оригинальной работе Чорина для их решения используется схема Дюфорта — Франкела («чехарда» (см. п.
4.5.2)). Он получил для явной схемы такое условие устойчивости: 2 Паа* у ~га (! + ч/б ) (9.164) где У вЂ” число пространственных измерений и Ь'м — минимум (Ьха, Луа, Лг'). Можно получить дополнительную связь между Л7« и (1, замечая, что искусственное уравнение состояния (9.16!) предполагает существование искусственной скорости звука а'. а =11й~~~. (9.165) 4 9.3. Уравнения Наине — Стокса для несжимаемой жидкости 633 Так как максимальное искусственное число Маха М,„, построенное по этой искусственной скорости звука, должно быть меньше единицы, получается следующее дополнительное соотношенне: (9.166) а' где У,„а„— максимальное значение У, выраженное в виде Таким образом, для двух параметров Л1' н 6 следует задать значения, удовлетворяющие условиям (9.164) н (9.166).
Можно увеличить скорость сходнмостн путем выбора оптимальных значеннй п1* н р, но делать это следует методом проб н ошибок в каждой конкретной задаче. В большинстве случаев значение Мж = 0.6 дает удовлетворительные результаты. Обычно прн решении уравнения (9.162) рекомендуется нспользовать неявную разностную схему. Для расчета завнхренных следов в несжимаемой жидкости Стегер н Катлер (Яедег, Ки((ег, 1976) применяли к уравнению (9.!62) неявную прнблнженно факторнзованную схему Бима — Уормннга (см. и.
9.2.3). Оказалось, что если р слишком мало, то приближенная факторнзацня вводит в решение большие ошибки. Только что описанный метод искусственной сжнмаемостн является одним нз методов решения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости в примитивных переменных. В нанболее распространенном нз ннх вместо уравнения неразрывности решается уравнение Пуассона для давления. Это делается для того, чтобы выделить в одно уравнение влияние давления, что позволяет соответствующим образом моделировать эллнптнческую природу течения. Уравнение Пуассона для давления выводят точно так же, как н уравнение (9.181). Его можно записать в безразмерном виде (9.168) где + л ' ~ (» па+ о пи+ ш оа) + де (оаа+ они+ Оаа)1+ нес + - ат ~ — (и'ш„"+ о'и„'+ Э'ва) + д (тв' + тв„' + Эаа)~ 624 Гл.
9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса '.=Ц"""'- уФ"' л с (9.170) и А', и", з' — безразмерные величины. В работах !Вг)!еу, 1974; ОЬ!а е1 а1., 1981] для получения решения задачи Неймана с ус- пехом была использована дискретизация этого интегрального соотношения. и 17'= й„+ о„'+ и,' — скорость относительного объемного расширения элементарного жидкого объема в данной точке, причем и,'=дй/дх".
Чтобы учесть различия между промежуточным решением и окончательным решением уравнения Пуассона по достижению сходимости, производную от скорости относительного объемного расширения полагают неравной нулю. Уравнение (9.168) впервые было использовано в методе маркеров и ячеек решения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости (Наг!ош, Фе!сЬ, 1965; .%е!сЬ е! а!., 1966). В другом подходе [ОЫа е1 а!., 1977Ь, !979, 1981) неявная схема переменных направлений применяется для решения уравнений движения (9.!56) — (9.158), а уравнение Пуассона для давления решается методом последовательной верхней релаксации. В начале расчета градиенты давления в уравнениях движения задаются приближенно. После вычисления компонент скорости по уравнениям движения из уравнения Пуассона определяют давление.
Затем рассчитывают градиенты давления и подставляют их значения в уравнения движения, по которым находят новые значения компонент скорости. Эта процедура повторяется до тех пор, пока решение не сойдется. Таким способом были рассчитаны течения в полости и канале. В обеих задачах для уравнения Пуассона на границах задавался градиент давления в нормальном направлении др/дя, который вычислялся по соответствующему уравнению движения.
Таким образом, для определения давления необходимо решать задачу Неймана, причем ее решение должно удовлетворять следующему интегральному требованию, вытекающему из теоремы Гаусса — Остроградского: ~ ~ ту р аА = $ + с(з, (9.169) л с где С вЂ” замкнутая граница области А, в которой мы ищем решение, а з — длина дуги вдоль С. Пока решение не установится, требование (9.169) точно удовлетворяться не будет. Для учета этого несоответствия источниковый член Я' в уравнении (9.!68) в каждой точке сетки можно подправлять на величину ЛЗр/А, где з 9.3.
Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости б25 Чтобы показать, как вычисляется нормальный градиент давления на границе, поместим стенку в плоскости у =0 (рис. 9.4). Под поверхностью стенки разместим слой фиктивных узлов (сетка обычная, а не с расположением узлов в шахматном порядке).
На поверхности стенки уравнение движения по координате у (9.157) сводится к уравнению (9.171) Последнее можно дискретизировать, используя аппроксимации второго порядка с центральными разностями о Рг я — Рг е ! /ог з — 2ог г+ог,а1 — д (9. 17з) где о,' о — значение о' в фиктивном узле, которое можно опре- Рнс. 9Л, Расположение узлов расчетной сетки прн определении граничных условий для давления.
делить из уравнения неразрывности, принимающего иа стенке следующий простой вид: (9.173) Аппроксимируя его с третьим порядком точности о ду" вычислим о,", сохраняя при этом второй порядок в уравнении (9,172). Точно так же определяют градиенты давления на других границах при решении уравнения Пуассона для давления, 626 Гл. 9, Численные методы решения уравнений Навье — Стокса и=ив+и, О=по+о ~ (9.176) где ио, но — вычисляемые (нлн промежуточные) значения компонент скорости, и', о' — поправки к ннм.
Поправки к давлению связаны с поправками к компонентам скорости приближенными уравнениями движения ди' др' Р— = —— д! дл,' до' др' р а! = ар Так как поправки к компонентам скорости на предыдущей нтерации считаются равными нулю, то последние уравнения движения можно переписать в виде др' 4 ак (9.178) а (др а р где А — приращение фиктивного времени, деленное на плотность. Подставим (9.176) в (9.178), а результат — в уравнение неразрывности. Тогда получаем (9.177) Описанный в и. 8.4.1 метод ИМР1.Е (Ьеш(-1шр1!с!! Ме!)юб 1ог Ргеззпге-1 1пкеб Еппа((опз — полунеявный метод для связанных через давление уравнений) (Ра!апкаг, Зра!б!пд, 1972) для решения дозвуковых параболнзованных уравнений Навье— Стокса можно также применять н в случае уравнений Навье— Стокса для несжимаемой жидкости (см.
[Саге!!о е1 а1., 1972; Ра1апкаг, 1975„198Ц). Этот метод имеет в своей основе цнклнческую повледовательность операций «предположение — коррекция» прн решении уравнений. Используя некоторое начальное поле давления, сначала вычисляют компоненты скорости по уравнениям движения. Затем давление н компоненты скорости корректируются так, чтобы удовлетворить уравнению неразрывности.
Этот процесс продолжают, пока решение не сойдется. Истинное значение давления представляется в виде Р=Ро+ Р (9.175) где ро — вычисляемое (нлн промежуточное) значение давления, а Р' — корректирующая поправка. Аналогично истинные значения компонент скорости для двумерного случая представляются как э 9.3. Уравнения Навье — Стонов дая несжимаемой жидкости 627 или уаР'= ~ (Ч ° Чо) (9.180) где Чо — вычисленный вектор скорости. Это уравнение Пуассона можно решить относительно поправки к давлению. Заметим, что если вычисленный вектор скорости Чо удовлетворяет уравнению неразрывности в каждой точке, то и поправки к давлению р' будут равны нулю в каждой точке. В описываемом алгоритме 51МР) Е используется дискретная форма уравнения (9.180), как показано в работе 1Ка11ЬЬу, ЗсЬпеЫег, 1979).
В заключение можно сказать, что процедура 51МР1Е состоит из следующих шагов: 1. Приближенно задать давление ро в каждом узле сетки. 2. Для нахождения компонент скорости ио и по решить уравнение движения. Патанкар и Сполдинг рекомендуют использовать блочный итерационный метод на сетке с расположением узлов в шахматном порядке. 3. Решить уравнение для поправок к давлению (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
