Anderson-et-al-2 (1185924), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Например, уравнение (9.91) можно записать в виде ([!]+ ~„[А']с1) Я3],1= (ЛТ31, 1)евр1 + ~„[А']1+1,1Л(4+1, и (9.106) где лсау (в'! х „+, Лбь(=(И вЂ” а ]Л1)7,+! ау Уравнение (9.106) есть верхняя блочная двухдиагональная си- стема, которая может быть решена, если двигаться для каж- дого 1 в сторону уменьшения й Определив ЛЦ, для всех (1,1), находим Л(7Ц из соотношения ([1]+ — [В']с1) М)~+~'=Л()],1+ — [В']71+1Л1)Ц+1, (9.107) Лу Лу где % есть правая часть уравнения (9.!07), а [В']ь1 заменено на [Вв] '[Вв] [Ви]. Уравнение (9.108) эквивалентно уравнению ~ [Яв] + ~ [Ов! [Ви]) Л() ~, ( = [Ва] % = Х (9 109) или (И + — л [Ви]) [5„] Л() "7 = Х. (9.110) Последнее разностное уравнение также представляет собой верхнюю блочную двухдиагональную систему, которая может быть решена, если двигаться для каждого 1 в сторону уменьшения 1.
Чтобы показать, как решают уравнение (9.107) в некоторой точке ((,1), перепишем его в виде ([1]+ ф [В„] ' [В ] [В„]) ЛЦ",+' = В, (9А08) 6!О Гл. 9. Численные методы решения уравнений манье — Стокса Отсюда получаем уравнение [Яа]Лба,! =[[у]+ И [вз]ГХ=У, (9.111) которое решают как Ли",,'!' = [В„]-' т. (9.112) Процедуру решения уравнения (9.107) можно подытожить так: 1. % = Правая часть уравнения (9.107), 2. Х = [За]%, 3. У = ([7]+ (б1!йд) [1)а] )-!Х, 4. Л()Ц =[Ва] ' и'. Отметим, что обращенне матрицы на шаге 3 тривиально, по- скольку она диагональная. К тому же необходнмую на шаге 4 матрицу [За]-! легко получить нз уравнения (9.98). Член (Л1/Лу)[В']с,!Лба,! в )У определяется теперь для следующей точки (а, 1 — 1) в процедуре прохождения расчетной области с использованием равенства [Ва]а о1)а+! 1У й()а+! Ь! В начальной стадии некоторых расчетов может оказаться необходнмым увеличение т для предотвращения возникновения неустойчивостей, вызываемых длительными процессами установлення.
Неявная схема Мак-Кормака для уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости имеет второй порядок. точности как по пространству, так н по времени, прн условии что тсб1/р(Лх)а н ттз1/р(Лу)а остаются ограниченными прн стремлении Лх, Лу н И к нулю. Основное достоинство атой схемы в том, что вместо обычной блочной трехднагональной системы уравнений здесь решают блочную двухднагональную систему.
Недостаток схемы связан с трудностями в постановке граничных условий, отлнчных от граничных условий типа Днрнхле. 5 9.3. Уравнення Навье — Стокса для несжнмаемой жндкостн Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости можно получить нз нх аналога для сжимаемой жидкости, полагая жндкость несжимаемой (М = О, а = оо). Следовательно, в случае несжимаемой жидкости мы имеем частный случай уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости, н возни- $9.3.
Уравнении Навье — Стокса дни несжимаемой жидкости 611 кает резонный вопрос: почему эти уравнения в том н другом случаях рассматриваются отдельно? Иными словами, почему нельзя пользоваться уравнениями Навье — Стокса для сжимаемой жидкости, чтобы рассчитывать течения несжимаемой жидкости? Главная причина этого состоит в том, что требуются чрезмерно большие затраты машинного времени, что в свою очередь обусловлено не только большей сложностью уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости по сравнению с их аналогом для несжимаемой, но и ограничением на шаг по времени. Для объяснения последнего фактора напомним, что в явных методах решения уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости шаг по времени ограничен условием устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви й( ~( (9.!13) (9.114) 7 Ч=О.
Уравнение движения р — = — Чр+ му'Ч. 0У М Уравнение энергии рс, — =- и т'Т + Ф. (9.115) (9 1!6) Из этого следует, что И стремится к нулю при приближении скорости звука а к бесконечности, что характерно для несжимаемой жидкости. Поэтому для расчета течения действительно несжимаемой жидкости таким способом потребуется бесконечно большое количество машинного времени.
Неявные методы, такие, как схема Бима — Уорминга, допускают ббльшие значения Ж, но при этом ошибка аппроксимации становится слишком большой, поэтому его максимальное значение берут обычно в 5 — 10 раз меньше значения, задаваемого уравнением (9.113). Таким образом, даже при помощи неявной схемы практически невозможно рассчитывать течение действительно несжимаемой жидкости, применяя для этого уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости. Перейдем теперь к обсуждению методов решения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости с постоянными свойствами в отсутствие массовых сил и подвода тепла извне (см.
гл. 5) записываются следующим образом: Уравнение неразрывности 612 Гл. 9. Численные методы решении уравнений Навес — Стокса Эти уравнения (одно векторное и два скалярных) образуют смешанную эллиптически-параболическую систему относительно неизвестных (Ч, р, Т). Отметим, что температура входит только в уравнение энергии, так что мы можем рассматривать это уравнение отдельно от других. Во многих приложениях изменение температуры либо незначительно, либо не представляет важности, поэтому нет необходимости решать уравнение энергии.
Если же мы хотим определить распределение температуры, то это легко осуществимо, так как при уже рассчитанном поле Ч нестационарное уравнение энергии есть параболическое уравнение с частными производными. Имея это в виду, уделим основное внимание методам решения уравнений неразрывности и движения. Запишем в декартовой системе координат двумерные уравнения Навье — Стокса (без уравнения энергии): Уравнение неразрывности (9.117) Уравнение движения по координате х ди ди дв 1 др т д'и дзп т — +и — + о — = — — — + т~ — + — л!. (9,118) д! дх ду "р дх ~дх' дуз у' Уравнение движения по координате у до до до 1 др т д'о дто и — +и — + о — = — — — + о~ — + — ул1, (9.119) д! дх ду р ду ~дх' ду л' где т = 1ь/р — кинематическая вязкость. Эти уравнения записаны относительно так называемых примитивных переменных р, и, о.
В одном из самых распространенных методов решения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости примитивные переменные заменяются на завихренность Г и функцию тока зр. Мы обсудим этот метод решения в п, 9,3.1. Альтернативный метод состоит в решении уравнений (9.117) — (9.119) в том виде, в каком они записаны. Мы~ будем называть его подходом с использованием примитивных переменных и обсудим его в п.
9.3.2. 9.3.1. Подход с использованием завихренностн и функции тока Подход с использованием завихрениости и функции тока в качестве независимых переменных является одним из самых распространенных методов решения двумерных уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. В нем делают замену переменных, переходя от компонент скорости к завихрен- $9.3. Уравнения Навье — Стокса дхя несжимаемой жидкости б!3 ности ~ и функции тока ф В гл. 5 вектор завихренности был определен в виде ~=чхч. (9.120) Его величина 1=111=1ч Х ч! (9.12!) в декартовых двумерных координатах есть дс ди дх ду ' (9.122) В этой же системе координат функция тока тр определяется как д9 д9 дх (9.123) Используя новые независимые переменные, два уравнения движения (9.1!8) и (9.119) можно скомбинировать (исключая из них давление), что дает д~ д~ д~ / дсй дтй Х вЂ” +и — +о — =т~ — + — ) д! дх ду ~ дхт ду') или —,= тч ь. оь 2 о! (9.125) Это параболическое уравнение с частными производными называется уравнением переноса завихренноети.
Одномерная форма этого уравнения — +и — =т— дй дй д'4 д! дх дхт (9.126) или ч'ф = — 1 (9.128) Это эллиптическое уравнение с частными производными является не чем иным, как уравнением Пуассона, Методы его решения обсуждались в $4.3. представляет собой одномерное адвекгивно-диффузионное уравнение, которое часто используется как модельное. Кроме того, для моделирования переноса завихренности можно использовать нелинейное уравнение Бюргерса. Фактически описанные в 9 4.5 численные методы решения нелинейного уравнения Бюргерса можно применять для уравнения переноса завихренности.
Подставляя (9.123) в (9.122), получают дополнительное уравнение для независимых переменных Ь и ф (9.127) 614 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса дифференцируя по у уравнение (9.119): = — — — „к+ т — (т и) 1 дар д р дкг ду (9.130) и складывая результаты: В результате такой замены переменных мы смогли разделить смешанную эллиптически-параболическую систему уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости на одно параболическое уравнение (уравнение переноса завихренности) и одно эллиптическое уравнение (уравнение Пуассона). Обычно эти уравнения решают методом установления по времени, состоящим из следующих основных шагов: 1.
В момент времени 1 = 0 задают начальные значения ~ и ф. 2. Решают уравнение переноса завихренности для ь в каждой внутренней точке расчетной сетки в момент времени 1+ Лй 3. Решая итерационным методом уравнение Пуассона, находят новые значения ф во всех точках сетки по новым значениям Ь во внутренних точках. 4. Находят компоненты скорости по соотношениям и=ф„ н р= — ф,. 5. Определяют значения ь на границах по значениям ~ и ф во внутренних точках. 6. Если решение не сходится, то возвращаются к шагу 2. По завершении только что описанной процедуры определяются компоненты скорости в каждом узле расчетной сетки. Для определения давления в каждом узле сетки необходимо решать еще одно уравнение, называемое уравнением Пуассона для давления.
Последнее получают, дифференцируя по х уравнение (9.118): — д„р + т — „(Чаи), (9.129) й 9.3. Уравнения Навье — Стонса лля несжимаемой жнлностн 615 Используя уравнение неразрывности, сведем уравнение (9.131) к виду т р=2р ди до ди до (9.132) дх ду ду дх ) ( В терминах функции тока это уравнение можно переписать в виде т р=8, (9.133) где (9.134) Ч(дхт) ( ') (дхд ) 1' Таким образом, мы получили уравнение Пуассона для давления, аналогичное (9.128). Если Я дискретизировать подходящим Рис, 9хй Расположение узлов сетки по нормали н поверхности плоской пла- стины, расположенной в плоскости у = О. образом, то все обсуждавшиеся в $4.3 методы решения уравнения (9.128) будут применимы и к уравнению (9.133).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
