Anderson-et-al-2 (1185924), страница 38
Текст из файла (страница 38)
К сожалению, эти уравнения очень сложны, н нх решение требует больших затрат машинного времени. Если, однако, жидкость несжимаема, то уравнения существенно упрощаются и соответственно уменьшается время, необходимое для их решения. Нестационарные уравнения Навье †Сток для сжимаемой жидкости образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений, а для несжимаемой жидкости — эллиптически-параболических уравнений. Поэтому приходится использовать разные численные методы решения уравнений Навье— Стокса в этих двух случаях, что и будет предметом обсуждения в настоящей главе. й 9.2. Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости Для сжимаемой жидкости уравнения Навье — Стокса в отсутствие массовых сил и подвода тепла извне можно записать (см. п.
5.1.5) в виде + — + — + — =о, д«3 дн дп дн д«дх ду да (9.1) где векторы 1), Е, г и б задаются следующими выражениями: ри ро (9.2) р«в Е« 19 д, Аияеэсоа и др. том а 588 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса ри риа+ Р— т (9.3) рио — тгу ригу — т„ (Е, + р) и — ит„„— от„„— го~„, + д» рио — т»а Ро + Р— тур 1 Рош таг (Е, + р) о — ит,„— отав — иту, + оу ри (9.4) риш — тгг (9.5) рого — т г Рсо +Р (Е, + р) и — итхг — от„— шт + д а компоненты тензора сдвиговых напряжений и вектора тепло- вого потока имеют вид 2 Г ди до дш т т 11 2 гг= З с"'~ дх ду дг )' 2 Г до дм дш 1 т = — р(2 — — — — — ), аа 3 р (, ду дх да ) ' дТ дТ дТ д= й д= — Й вЂ”, Д= — Й вЂ”.
к д» у ду ' * да ' (9.6) Эти уравнения можно записать в криволинейной ортогональной системе координат хь ха, ха, используя формулы из п. 5.1.7. Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости можно также записать и в криволинейной неортогональной системе 9 9.2. Уравнения Наине — Стокса для сжимаемой жидкости 587 координат $, гь ь, выполняя преобразование координат (см. п.
5.6.2 ) ь=ь(х, у, г), т1 = т1 (х, у, г), (9.7) 1 = 1 (х, у, г). (9.8) Методы расчета 1ат подробно были описаны в $5.4. Как уже говорилось, нестационарные уравнения Навье— Стокса для сжимаемой жидкости образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений относительно времени. Если в этих уравнениях опустить нестацнонарные члены, то полученная смешанная система будет гиперболически-эллиптического типа, решать которую трудно из-за несходства методов численного решения уравнений гиперболического и эллиптического типов. Поэтому едва ли не все успешные случаи решения уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости связаны с нестационарной формой этих уравнений. Стационарное решение получают установлением по времени.
Этот подход связан с решением зависящих ог времени уравнений и будет обсуждаться в данной главе. Для решения зависящих от времени уравнений Навье— Стокса для сжимаемой жидкости использовались как явные, 19* Вид преобразованных уравнений (8.34) — (8.36) приведен в гл. 8. В 9 8.2 обсуждалось приближение тонкого слоя уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости.
В его рамках в полных уравнениях Навье — Стокса можно опустить ряд членов. Однако прн этом сохраняется математическая природа исходных уравнений, поэтому как те, так и другие уравнения решаются сходным образом. В гл. 8 приведены уравнения Навье— Стокса в приближении тонкого слоя, записанные в декартовой системе координат (уравнения (8.2) — (8.6)) и в криволинейной неортогональной системе координат (уравнения (8.9) — (8.12)). Для турбулентных течений пользуются осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье — Стокса. Используя гипотезу Буссинеска (см.
п. 5.4.2), уравнения Навье — Стокса можно заменить на модельные осредненные по Рейнольдсу уравнения подстановкой Р+ 1ьт вместо коэффициента вЯзкости Р и подстановкой Й+йт вместо коэффициента теплопроводности А, где рт— вихревая вязкость и иг — коэффициент турбулентной теплопроводности.
Коэффициент турбулентной теплопроводности кт можно выразить через вихревую вязкость рг и турбулентное число Прандтля Ргт следующим образом: й =с,пг/Рг . 588 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса так и неявные схемы. Почти все эти схемы имеют второй порядок точности по пространству и либо первый, либо второй по времени. Если требуется получить точную картину развития течения во времени, то порядок схемы по времени должен быть по крайней мере вторым.
Если же нас интересует только установившееся решение, то часто выгодно пользоваться не только точными по времени схемами, так как установление можно получить за меньшее число шагов по времени. Ввиду большой дополнительной сложности имеется мало сообщений о применении схем третьего порядка (и выше) в расчетах уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости. Многие понимают, что выбор схем второго порядка является оптимальным, поскольку ббльшая точность требует существенно больших затрат машинного времени.
Имеется превосходная обзорная статья [Реуге1, 1У!ч1апб, 1975] по расчетам уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости, выполненным до 1976 г. Теперь перейдем к подробному обсуждению методов решения уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости. 9.2.!. Явный метод Мак-Кормика Корректор и+! 1 Г и йь! ЛУ у и+1 в+1 ь)ьу, = ~ [1)ьу, +(Уу,у, — ~„(Еьу, — Еу-у,у, )— — — (Р 'у'и-Р!'у'-!''у - — (~"'у' -'"'у'и-уЬ (9.10) где к= УЛх, у =уЛу и з= ЙЛг. Эта явная схема имеет второй порядок как по пространству, так и по времени, В этом варианте схемы на шаге предиктор для аппроксимации. всех пространственных производных используются разности вперед, а на шаге корректор — разности назад. Разности вперед и назад можно последовательно чередовать как на шагах предиктор— корректор, так н при аппроксимации производных по трем пространственным координатам.
Это устраняет любое рассогласова- Применение схемы Мак-Кормака [МасСоггпас1т, 1969) к уравнениям Навье — Стокса для сжимаемой жидкости (9.1) приводит к следующему алгоритму: Предиктор +! ' Луу (Л,,а=()у,у,а — —,„(Е„...— Е...)— Лу / п и т ЛУу о и — — (Ру, у+у, а — Ру, у, ау — — (бу, у, а+! — тту, у, а) (9.9) у!р ' ' Ьа 5 9.2. Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости 589 ние, обусловленное дискретизацией односторонними разностями.
Пример подобного чередования приведен в табл. 9.1. ТабЛИца 9Л. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ аППрОКСИМацИИ дпя СХЕМЫ МаятКОриана П Преднктор КорРектор х-провз- водная Шаг р-произ- водная х-произ- водная х-пронз- воднан р-пронз. водная х-нранз- водная В Н В Н В Н В Н В В Н В В Н В Н Н В В В Н Н В В Н Н В Н В Н В Н В Н В Н Н В Н Н В Н В В Н Н Н В В Н Н В В Н Ч В вЂ” разность вперед; Н вЂ” разность назад.
(9.11) (9.12) Производные в вязких членах Е, Г и С следует правильно дискретизировать, чтобы сохранить второй порядок точности. Делают это следующим образом. Имеющиеся в Е производные по координате х аппроксимируются разностями противоположного направления относительно тех, которые используются нри аппроксимации дЕ/дх, тогда как производные по направлениям у и г аппроксимируются центральными разностями. Аналогично производные по координате у в Г и производные по координате г в С аппроксимируются разностями противоположного направления относительно тех, которые используются при аппроксимации дГ/ду и дС/дг соответственно.
Смешанные производные в Г и С аппроксимируются центральными разностями. Рассмотрим, например, компоненту вектора Г, которая соответствует уравнению движения по координате х: ои до Р =Рио — 12 — — 12 —. 2 ду дк' На шаге предиктор, задаваемом уравнением (9.9), она дискретизируется в виде л л нд Ь а ис 1-1.
а ( 2)г па (Р )з 1 а 1дд да ду л л в1+1 1 а— гх1. 1. а 2Дх 090 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса а на шаге корректор, задаваемом уравнением (9.10),— в виде а +1 а+1 (р )а+1 = (рио)а+~ 1ь +1 ее! ае1 о~+,~,а — о, ну1а 2Ьх (9. 13) Из-за большой сложности уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости невозможно получить аналитическое выражение критерия устойчивости для схемы Мак-Кормака, когда она применяется к этим уравнениям. Можно, однако, воспользоваться эмпирической формулой (ТаппеЫ11 е1 а1., 1975] о( о (аа)кол ~ 1+21'ке (9.14) где о — коэффициент запаса (ж 0.9), (о() л определяется по критерию Куранта — Фридрихса — Леви для невязкой жидкости [МасСогшаск, 1971) Г г 1и1 1о1 1ш1 (9.15) цеа — минимальное сеточное число Рейнольдса: и а — местная скорость звука: а = ~/ур(р.
Перед очередным шагом по времени для всех точек сетки по уравнению (9.14) можно рассчитать И. Затем наименьшее из Ы используется для получения решения на следующем временнбм слое. Если нас интересует только установившееся решение, то, чтобы ускорить сходимость, Ли 111, 1973) предложил во всех точках сетки использовать максимальное М из рассчитываемых по (9.14). Для ускорения сходимости можно воспользоваться процедурой последовательной верхней релаксации по линиям, описанной в п. 4.5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
