Anderson-et-al-2 (1185924), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Такая ситуация возникает при истечении дозвуковой свободной струи через сопло прямоугольного сечения в среду, которая либо покоится, либо движется в направлении оси сопла. Форма такой струи в поперечном сечении постепенно меняется н продольном направлении и, наконец, становится круглой. Для таких течений разумным является предположение о пренебрежении продольным градиентом давления. Малые изменения давления в поперечной плоскости можно рассматривать точно так же, как и в случае трехмерных внутренних течений.
Были выполнены расчеты (Мсдп!гЬ, Код(, 1977; Нтчапп; Р!е1сЬег, 1978) в трехмерном случае по параболической модели в' предположении др/дх = О. Имеется пример трехмерного расчета течения со свободной поверхностью с использованием параболической 'процедуры ()са1!ЬЬу, БсЬпе!бег, 1980!. 8.4Л. зтодель частично параболнаованных уравнений Навье — Стокса Модель частично параболизованных уравнений Навье— Стокса для дозвуковых уравнений основана на уравнениях, которые концептуально близки к параболизованным уравнениям Навье — Стокса.
Диффузия в продольном направлении — един. ственный физический процесс, который исключают из рассмотрения, а соответствующие члены в уравнениях Навье — Стокса опускают. До настоящего времени эта модель находила приме-' нение лишь в случае несжимаемой жидкости, причем оставляемые в уравнениях члены с вязкими напряжениями берут в"упрощенном виде по сравнению с тем, который был использован в п. 8.3.2.
В приложениях параболизованных уравнений Навье— Стокса, имеющих сверхзвуковые области, влияние снизу вверх по потоку подавляется одним из способов, описанных в п.'8.3.2. В модели частично параболизованных уравнений эти эллиптические эффекты проявляются через поле давления, вычисленное на текущий момент времени. Поэтому модель является только частично параболизованной. Ее вллиптнчеакие свойства, связанные с полем давления, сохраняются. Последнее требует, чтобы решение, которое получают, последовательно переходя от одного 'сечения к другому в продольном направлении, уточнялось бы итерированием. Уравнения частично параболизованной модели суть уравнения (8.102) †(8.107), в которых 45/дх заменено на др/дк.
Основное. течение направлено вдоль оси х. Эта модель впервые была предложена Пратапом и Сполдингом [Рта!ар, Бра!б!пп, й 8Л. Методы решения уравнений Навье — Стокса для иоавук. течений 561 ди до — + — = О. дх ду (8.119) Уравнение движения по координате х ди ° ди 1 др д'и и — + о — =-- — — — +т — а-. дх ду р дх ду (8.120) Уравнение движения по координате д дв ди ! др дао и — +о — = — — — + т — ~-. дх ду р ду ду (8.121) При рассмотрении течений в ортогональных системах координат часто применяются сетки с расположением узлов в шахматном порядке. Впервые сетка такого вида была предложена в работе [Наг!отч, 'уте!сЫ !965].
Именно такую сетку мы будем 1976]. Предложены и другие модели частично параболизованных уравнений Навье — Стокса [0одде, 1977; Мооге, Мооге, 1979; СЫ!пинг!, Р!е1сйег, 1980]. Сначала полагали, что применение модели будет ограничено случаем, когда обратные течения в продольном направлении отсутствуют. При этом требуются трехмерные массивы только для хранения значений давления (и значений источникового члена уравнений Пуассона, если последнее приходится решать для давления), но не для компонент скорости.
В этом состоит основное преимущество частично параболизованных уравнений Навье — Стокса по сравнению с этими жс уравнениями в их полном виде с точки зрения вычислений. Не так давно Мадаван и Плетчер [Мадауап, Р!е!с)!ег, 1982] показали, что модель частично параболизованных уравнений Навье — Стокса можно распространить на двумерные приложения с обратными течениями в продольном направлении. При этом требуется хранить еще и компоненты скорости в областях обратных течений и в непосредственной близости от них.
Додж [1)одре, 1977] также считает, что его модель частично параболизованных уравнений Навье — Стокса может быть использована в задачах, в которых возникают обратные течения в продольном направлении. Следуя [СЫ!п(спг1, Р!е!с(тег, 1980], опишем кратко модель частично параболизованных уравнений Навье — Стокса, которую можно применять для двумерных стационарных ламинарных течений несжимаемой жидкости, причем будут учтены модификации, предложенные в работе [Мадачап, Р!е!серег, 1982]. Такое течение описывается следующими частично параболизованными уравнениями Навье — Стокса: Уравнение неразрывности 562 Гл. 8. Решение параоолнзованных уравнений Навье — Стокса использовать в нашем двумерном примере модели частично параболизованных уравнений Навье — Стокса. Идея состоит в том, что для каждой компоненты скорости определяется своя сетка, как показано на рнс.
8.5. Во избежание путаницы на рисунке обозначены только узлы сетки (жирной точкой), в которых берутся значения скалярных величин (давление и поправки к потенциалу скорости уз в нашем примере). Ьх ох Ьх ох и и и и Ьх ах ах ьх !+! ° -е ° — ь ° — л ° — л ° — е ° !ау -м. ( ° — э) ° — э. ° -е ° Щ 1 1 1у ° ~ ° м ° в ° — ° — Ф ° ° — ~ 6 1+1 т+2 1 ьЗ 1+8 ° — м. ° ! ° — ° 'во 3 -2 ° — > ° 1 — 1 расположение узлов сеглчи зля вычисления сооювешсшеунмцих величии Переменною л Р Ф и и Рис. 8.5.
Расположение точек,-в которых вычисляются переменные, на сетке с располозкепием узлов в шахматном порядке. Компоненты скорости вычисляются в точках, расположенных на гранях контрольного объема, который можно нарисовать вокруг точек, в которых берут величины давления. Точки, в которых вычисляются компоненты скорости, расположены на середине отрезка между соседними точками, в которых вычисляется давление. Для неравномерной сетки это означает, что точки, в которых вычисляют давление, не обязательно являются геометрическим центром такого контрольного объема.
Точки, в которых вычисляются компоненты скорости, указаны на рис. 8.5 стрелками: вертикальные обозначают точки для о, горизонтальные — точки для еь Удобно обозначать переменные одним на- $ ЗЛ. Методы решения уравнений Навье — Стокса для доавук. тсчений 56З бором индексов, несмотря иа то что различные переменные вычисляются в разных точках. Таким образом, обозначение (!+ + 1,/) относится к набору из трех несовпадающих точек, которые обведены кривой в форме бумеранга на рис. 8.5.
На сетке с расположением узлов в шахматном порядке точка о,"++,' ~ расположена ниже точки йч+ь ь а точка йи+ь4 — правее точки Р4+и ь На сетке с расположением узлов в шахматном порядке поле скорости можно аппроксимировать со вторым порядком (при равномерной по пространственным координатам сетке) в узлах, обозначенных жирной точкой, используя компоненты скорости в смежных точках.
Такая конфигурация придает разностной аппроксимации еще и свойство консервативности. К тому же разность давлений между двумя соседними точками становится естественной движущей силой для компонент скорости, расположенных между этими точками. Другими словами, простая аппроксимация производных давления разностями вперед является «центральной» по отношению к «точкам», в которых вычисляются компоненты скорости. Это дозволяет выписать уравнение Пуассона для давления, которое автоматически удовлетворяет теореме Гаусса о дивергенцни, если специальным образом задавать граничные условия, что проще осуществляется на сетке с расположением узлов в шахматном порядке.
Патанкар [Ра1апкаг, 1980] дал прекрасное и подробное обсуждение преимуществ применения расчетных сеток такого типа для задач, подобных рассмотренной выше. Границы вычислительной области удобнее всего располагать вдоль линий сетки, в узлах которых вычисляются нормальные к границе компоненты скорости, Это показано на рис. 8.6 для нижней границы. Фиктивные точки расположены вне физических границ, что необходимо для реализации подходящих граничных условий. Пусть, например, мы хотим задать на нижней границе (рис. 8.6) условие прилипания. Компонента скорости о берется как раз на линии, совпадающей с физической границей, поэтому задаем просто ги+ь, =О. Задание компоненты скорости и не столь очевидно, так как точки, в которых она вычисляется, не лежат на этой границе.
Имеется несколько возможностей. Главное, чтобы касательная компонента скорости была равной нулю в местах расположения физической границы. Этого можно добиться, либо дискретизируя специальным образом уравнения сохранения для контрольного объема на границе, либо накладывая ограничение на решение вблизи границы так, чтобы его экстраполяция на границу удовлетворяла условию прилипания. Имеется еще и третья возможность, так чаще всего и поступают, — можно задавать скорость в фиктивных точках, лежащих ниже границы так, чтобы (и+ь ~+ иьььа)/2 = О 664 Гл.
8. Решение параболизованных уравненив Ванне — Стокса Это отчасти напоминает граничное условие отражения для невязких течений, обсуждаемое в гл. 6. Значения скорости в фиктивных точках будут затем использоваться, как это требуется, в уравнениях движения во внутренней области. Значения потенциала, используемые для коррекции скорости, получают часто при помощи точек, лежащих вне физических границ.
Нам нет необходимости вычислять в этих точках давление для границ, на которых скорость задается так, как это будет описано ниже. Подробности задания граничных условий на сетке с расположением узлов в шахматном порядке можно найти в работе [Ашздеп, Наг!оти, 19701.
Вычислительиав область 4+1 т+2 ° Ф ° Ф ° М 1= 2 ° — ь. ° — ~ ° Граница о Фиктивные точки Рнс. 8.6. Расчетная сетка с расположением узлов в шахматном порядке вблизи границы. Существует некоторый выбор в представлении конвективиых производных в уравнениях движения. В приводимой ниже схеме используются трехточечные аппроксимации второго порядка с разностями против потока для конвективных членов вида идф/дх.
Для членов вида идф/ду будет использована гибридная схема (см. п. 7.3.3). Эти разностные выражения линеаризуются экстраполяцией коэффициентов по значениям в двух соседних сечениях, расположенных выше по потоку. Когда возникает обратное течение, направление «ветра» меняется на противоположное и это учитывается при аппроксимации производных в продольном направлении и при экстраполяции коэффициентов. Ниже приняты следующие обозначения. Верхний индекс и+ 1 относится к текущей глобальной итерации (т.
е. прохождению расчетной области в процессе численного интегрирования), нижний индекс 1+ 1 обозначает текущее сечение по про- $5яь Методы решения уравнений Навье — Стокса дая доавук. течений 565 дольной координате, а нижний индекс / — точки сетки по направлению у. Для течения в положительном направлении оси х коэффициент илс+с с экстраполируется следующим образом: йлЕС С' 1 + Ь» 1ССл+С ЬХ Ыл.~ сесС ~ Ь вЂ” у сС Ь вЂ” с сС «и ( хи Знак ь Указывает на то, что й,"+с с — известнаЯ величина, определяемая путем экстраполяции. Экстраполированная велиЧИНа тчлСДС С ПОЛУЧаЕтСЯ акаЛОГИЧНЫМ ОбРаЗОМ.
ЕСЛИ ВЕЛИЧИНа й,"+,' с в приведенном выше выражении становится отрицательной, то считают, что в точке (с+ 1,1) возникает обратное течение. При этом в рассматриваемой модели й",++,' с заменяют на нос+с с, а б,"++,' — на о",,, т. е. используют значения компонент скорости с предыдущей итерации, которые хранятся для точек внутри и вблизи зоны обратного течения. В качестве альтернативы такой замены используется экстраполяция в соответствии с выражением Ьх+ 'т . Ьх~~ йл.! = 1 + ) нл нл ( ). и и ВеличинУ б,"+есс с также можно полУчить экстРаполЯцией в область обратного течения. Конвективные производные в продольном направлении представляются следующим образом. При отсутствии обратного течения ;„,( ди 1"~', ( Ьх„+ 2 Ьхи Ьхи + Ьхи Ьхи Ьхи Ьхи ' Ьхи (Ьхи + Ьхи) (8.122) и в области обратного течения ( 1 ди 1л+с ( Ьх~ет + 2 Ь«~4 дх l ~ 'С1 Ьх (Ь+++ Ьх+) с-с-с, с и( и и) Ьхий + Ьхй Ь»и+ Ьх++ Ьх+ "' С Ьх'+ (Ьх" + Ьх+) '+' С и «и хи) (8.123 888 Ги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
