Anderson-et-al-2 (1185924), страница 29
Текст из файла (страница 29)
8ЛЛ. Численное решение нараболнаоваиных уравнений Навье — Стокса Как отмечалось ранее, параболизованные уравнения Навье — Стокса образуют смешанную систему гиперболическипараболических уравнений относительно координаты х в продольном направлении при выполнении следующих условий: 1) невязкий поток сверхзвуковой; 2) продольная компонента скорости всюду отлична от нуля; 540 Гл. 8. Решение параболнаованных уравнений Навье — Стокса 3) градиент давления в уравнении движения по продольной координате либо опущен, либо неустойчивость подавляется одним из способов, описанных в предыдущем разделе. Если эти условия соблюдены, параболизованные уравнения Навье — Стокса можно решать конечно-разностными методами, сходными с теми, которые используются для решения параболических уравнений пограничного слоя.
Поэтому устойчивая маршевая по пространственной координате процедура может использоваться для получения решения во всей расчетной области, начиная с поверхности задания начальных данных и далее вниз по потоку до выходного сечения. Некоторые из решений параболизованных уравнений Навье — Стокса, опубликованных ранее, были получены с использованием явных схем. Это было сделано скорее для удобства, нежели из соображений эффективности, так как в гл.
7 было показано, что неявные схемы для уравнений этого типа более эффективны. В более поздних работах для решения параболизованных уравнений Навье — Стокса применялись самые разные неявные алгоритмы: неявная схема переменных направлений Писмена — Ракфорда (Хагбо, Стезе!, 197Ц, неявные схемы с итерациями (ГтпЫп, Е!и, 1972; ЬпЬагб, Не!!!ч!еП, 1973]. Схема предиктор-корректор с итерациями, которую предложили Губин и Лин, была описана в п. 4.5.10, где она применяется для решения трехмерного линейного уравнения Бюргерса и„+ сив + Ыи, = !«(и„„+ и ). (8.60) Линейное трехмерное уравнение Бюргерса — полезная модель параболизованных уравнений Навье — Стокса, однако, разумеется, она не передает нелинейный характер последних.
Так, когда схема предиктор-корректор с итерациями применяется к параболизованным уравнениям, то возникают нелинейные члены типа (и,"+' )', где и — номер итерации, х = Их, у = 1ЬУ, г = ЙЛг. Они линеаризуются методом Ньютона — Рафсона (см. п. 7.3.3), т. е. если ) = 1(х!, хш ..., х!), то + ~~' ( зх ) (х« — х«), (8.61) «=! где х«обозначает зависимые переменные. Применение этой т аьь! 'в формулы к нелинейному члену (и!4!,!т«) дает (и, +,' «)в= 2ис++!!ь «и!ь!, ь «(ий!, ь «)в (8 62) После линеаризацни таким способом всех нелинейных членов получаемую систему алгебраических уравнений (на итерации $8.3. Параболиаованные уравнения Навье — Стокса 841 ш+ 1) можно решать при помощи эффективной процедуры для блочных трехдиагональных систем.
Итерирование продолжается, пока не будет получено сходящееся решение в сечении ! + 1. Этот метод неявный по координате у, градиенты по которой наибольшие, но явный по координате з (см. п. 4.5.10), что приводит к следующему условию устойчивости для трехмерных параболизованных уравнений Навье — Стокса: (8.63) где (8.66) Е=Еь Р=Р,— Р„О=О,— О,. Векторы Еь Рь бь Р, и б, задаются выражениями (8.35) и со- держат параболизованные члены со сдвиговыми напряжениями и тепловыми потоками "гг /3!а ( ов шг) ='1а!ь(йо„— н г), т„= Ъа (2гвг — о„), тгг = ри„твг = !ь (па + юв), д„= — йт„, 9,= — йт,. (8.67) тгв !впв д„=о, Чтобы, следуя Виньерону, представить градиент давления в направлении течения, Е можно заменить Е' + Р; тогда уравне- До недавнего времени параболизованные уравнения Навье — Стокса решались при помощи неявных разностных схем с итерациями вроде той, которая была описана выше.
Виньерон и др. (Идпегоп е! а!., 1978а) впервые предложили более эффективную неявную приближенно факторизованную схему без итераций. Этот алгоритм, принадлежащий к классу неявных схем переменных направлений, разработан целой группой авторов [1!плеши!!т, К!!!ееп, 1973, Мс0опа!б, ВгВеу, !975; Веат, %агш!пд, 1978] и приспособлен для решения зависящих от времени уравнений, например уравнений Навье — Стокса. Чтобы разобраться в нем, применим его для решения трехмерных параболизованных уравнений Навье — Стокса, записанных в декартовых координатах (х — продольное направление) в случае совершенного газа.
Тогда ь=х, т)=р, ь=л' и уравнения (8.37), (8.38) сводятся к уравнению (8.65) 842 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навис — Стокса ние (8.65) примет вид дн' дР ду дС вЂ” + — + — + — =О, дл дл ду дз (8.68) где (8.69) Е'= Решение уравнения (8.65) получается маршевым по координате х методом с использованием следующей разностной формулы, предложенной Бимом и Уормингом [Беат, вагш(пд, 1978]: + О ЕО, — 1 — 0,) (Ьд)х+ (Лх)81, (8.70) где Л'Е = Е'+' — Е (8.71) и х = ьЛх. Эта разностная формула общего вида за счет выбора параметров 8! и Ох позволяет получать многие обычные разностные схемы, которые перечисляются в табл.
8.1. Для параболизованных уравнений Навье — Стокса используется обычно либо неявная схема Эйлера первого порядка (О! = 1, 68 = О), либо трехточечная схема второго порядка с разностями назад (8! = 1, 88 = 1/2). Как показали Бим и Уорминг, неявная центрированная по времени схема второго порядка (О! —— = 1/2, 08 = О) приводит к неустойчивости в случае ее применения к параболическим уравнениям. Отметим, что в табл. 8.1 Таблица 8.!.
Разностные схемы лля уравнения (8.70) Ошибка аппроксиманни н ураанении (870! Схема ри риз+ р рио Рити (е,+ р)и О (1 — ш) р О О О 3 8.3. Параоолизованные уравнения Наине — Стокса 543 приводится ошибка аппроксимации для Л'Е. Когда в разностной схеме производная дЕ/дх заменяется на Л'Е/Лх, ошибка делится на Лх. Подстановка уравнения (8.65) в (8.70) дает Л'Е = Л'Е' + Л~Р, Л Г =Л Г! — Л Го~ Л'б = Л'б~ — Л'б„ (8.73) линеаризуются разложением в ряд Тейлора.
Чтобы линеаризовать невязкие дельта-члены Л'Е', Л'Г, и Л'бь воспользуемся тем фактом, что Е', Г; и б, являются функциями только вектора е): У, У, У, . и, Ув (8.74) рта Е Например, Г; можно выразить через компоненты вектора 0 следующим образом: и, и,и, и, и,в / ц2+ у2+ у2 1 +(т ~)(У5 ) и, зи, иаи, 01 ')У +(у ))(У зй /1 и, (8.75) где член с ошибкой аппроксимации опущен.
Это разностное со- отношение записано в так называемой дельта-форме, упомяну- той в п. 4.4.7. Дельта-члены Л'Е, Л'Г и Л'б, которые можно за- писать в виде 5И Гл. 8. Решение параоолнзованных уравнений Навье — Стокса Следовательно, мы легко можем разложить Е', Р( и б; в ряд (Е')1 ь = (Е')' + ( — ) д д) + О [(дх)~], [(б() + =(б() + (,~~ ) Д () + 0 [(Дх) [ (8.76) или Д'Е' = [Я' Д'д) + 0 [(Дх)2], Д(Г( =[)р](Д(()+ О [(Дх)2], Д'б( = [Я]' Д(() + о [(Дх)2], где Щ, [дт] и [о] — матрицы Якоби дЕ'/д(), дб(/да): (6.77) дГ!/дд) и 1 1 о о ! о — — — — — -------7 — — — — — —— !К7 — 1)-2, +!'(7 — 1) 2 2 -ии и ! О х О О ! и ! О ! 1'' 7Е 1 7Е 3»' — — '+ (7-1Ки* + И + в')] и ! — ' - (7 — !) Р +и*+ -(7 — 1)и» ! — Π— 1)» 2 ! в 1 7» (8.78) о г о — ии г -(7-1) 7 ! ! 7 7 3 (»!+в )+ — и 2 2 (3 — 7)» 7 да! дп » Г 7Б +(, ж» ..
+.)1» Р ! -(7 - 1)в» 1 ! 7Е, 7 (7 — 1)и» ! — ' — — ( +3»!+в ) Р 2 (8.799 7 ! дв( до — (7-1)» (7 !) Л— -(! — 1)ив (3-7)в 7Е 7-1 — '- — (»*+»*+до») 1 !в (8.80) — Π— 1)»в Выражение для матрицы Якоби дЕ'/дб получено в предположении, что Оз локально не зависит от (/. 7 — 1,, 7 — 3 — (и' + И ) + — в 2 2 Г 1 — — '+ (7 — !К»» +и! + в ) ! в 7Б, 1 Р (2 — в(7-1))и ! -в(7-1)» ! !в 7-!)в ! 7 — 1) ! ! ! ! 1)и -ив 1 о в ! О и О "1 О ! в ! и о з 8.3. Параболизованные уравнения Навье — Стокса 545 (8.81) где а» не зависит от 13, а р» — функция О. Эти элементы линеа- ризуются следующим образом: Г б !"'-!'+ [ а [у(рар') аи]~-о[[ь[[. 8-[ (8.82) а'" — р'+.[р, [~(рар1)'аи~->а[[ь[[, Ьт-[ так что можно записать /»'Р, = [)г]' Ь'»1 + 0 [(Лх)8], да'6 = [ИГ]' [8['1) + 0 [([),х)Я], (8.83) где [Р] и [й[Р] — матрицы Якоби дГ,/д([ и дб„/д»): е е ' а + 1 -Ь(б) а,(р) — — — — — — — — -4 — — '- р — ! — — — — — ' 4 -ь(н)» (-')-"(м) '(-")"(к)'(»-") (») ' а г *+и+и!' ! ! ! яр[в ав а ! ! + а ! ! а а ! а -а р н! ае — — — — — с-; — —,— (!-~т)а (н) , 'ха,(!) ! (ааа) а 0 ' О а ! 0 — — — — — — — — — — + — — — — + — — — — -[ — — — — -+ — —— а(р) ! 8(!) ! а ! а ! а р ! р р ! о р ! — а,!-! а а -ан ! а ! а '(р! ! -а ( — ")-а (К)-»а(М) ! (!-Х)а(к) , '(а-Ит)а ( к) ! (»а-Кт)а(к) ! тЪ(») ! ! аа.
р ао (8.8П В (8.84) и (8.85) д„и д, обозначают частные производные д/др и д/дг. Вязкие дельта-члены можно линеаризовать методом, который предложил Стегер [81едег, 1977]. В нем коэффициенты вязкости [а и теплопроводности [8 считаются локально не зависящими от В и пренебрегают вязкими членами со смешанными производными. В результате элементы Г„и б, имеют следующий общий вид: ! =таа[дй: д-. » д ®н»)' н»» дн ([»)' 546 Гл.
8, Решение иараболизованных уравнений Навье — Стокса , Подставляя теперь (8.73), (8.77) и (8.83) в уравнение (8.72), получаем где запись обозначает и частные производные в дра/дх) и дб,/дх) следует брать от всех членов в них входящих, включая Л%. Заметим, что в уравнении (8.86) все неявные члены находятся в левой части, а явные — в правой. Включенный в правую часть уравнения градиент давления Л'Р, взятый на явном слое, можно аппроксимировать соответствующей разностью назад. В соответствии с неявной схемой Эйлера такой конечно-разностной формулой первого порядка является (8.87) Л'Р = Л' 'Р + О (Лх)в, тогда как в схемах второго порядка с разностями назад можно использовать следующую формулу: Л~Р = 2Л~ 'Р— Л~ тР + О [(Лх)~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
