Anderson-et-al-2 (1185924), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Термин «параболизованные» уравнения Навье — Стокса несколько неточен, так как на самом деле эти уравнения при выполнении некоторых условий образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений. Эти условия включают требования того, чтобы внешний невязкий поток был сверхзвуковым, а продольная компонента скорости всюду была положительна. Заметим, что последнее исключает возможность расчета отрыва в продольном направлении, хотя отрыв в поперечном направлении возможен.
Еще одно ограничение связано с наличием продольного градиента давления в уравнении движения вдоль продольной координаты. Если этот член включать во всем поле течения, тогда происходит передача влияния вверх по потоку в дозвуковой части пограничного слоя, что делает маршевый метод плохо обусловленным. Это ведет к экспоненциально растущим решениям, часто называемым расходящимися. Было предложено несколько способов преодоления этого затруднения, и вкратце они будут обсуждены ниже. 8ЛЛ. Вывод иараболизованных уравнений Навьи — Стокса В общем случае вывод параболизованных уравнений Навье — Стокса из полных уравнений Навье — Стокса является не таким строгим, как вывод уравнений пограничного слоя.
По этой причине возникло несколько слегка отличающихся версий параболизованных уравнений Навье — Стокса. Их различие обусловлено типом рассматриваемого течения. Однако во всех случаях нормальные градиенты давления в уравнениях сохраняются, а вторые производные по продольному направлению опускаются. Одно из самых ранних исследований с использованием параболизованных уравнений выполнили Рудман и Рубин [Кпбшап, КиЬ1п, 1968].
Они рассчитали сверхзвуковое ламинарное течение в окрестности входной кромки плоской пластины (см. з 8.3. Параболиаованиые уравнения Навье — Стокса 523 (8.14) 17е рис. 8.1(а)). Рудман и Рубин получили параболизованиые урав- нения из полных уравнений Навье — Стокса при помощи раз- ложения в ряд. Такой метод упрощения уравнений Навье— Стокса является альтернативой методу, основанному на анализе порядка величин и использованному в гл. 5 для вывода урав- нений пограничного слоя.
Прн разложении в ряд переменные сначала обезразмеривают по некоторым локальным характер- ным параметрам течения, чтобы можно было оценить порядок величин разных членов в уравнениях Навье — Стокса. Затем производят разложение в ряд. Рудман и Рубин предложили делать это в следующем виде: и = У (и'+ еи", + ...), = У 6'(о'+ ю', + ...), Р Р Р»,1(рв+ Рг+ ) (8.13) Р=Р Рге«(РО+ «1+ ''') Т =Т„Т;„(Т;+ вТ', +...), «» «»ге1(«»О+ «»1+ ' ' ')' х=х'Е, у=у'6, 6=6*А, где член с нижним индексом ге1 есть характерный местный па- раметр течения, обезразмеренный по параметру свободного по- тока, Ь вЂ” характерная длина по координате х и 6 — характер- ная длина по координате у.
Первый член разложения, обозна- ченный нижним индексом О, используется для получения реше- ния нулевого порядка, тогда как для получения решения пер- вого порядка необходимы и первый, и второй члены. Для отно- сительно тонкой возмущенной области, показанной на рис. 8.1 (а), нормальные к поверхности градиенты много больше градиентов в направлениях, параллельных поверхности, и 6' можно пола- гать малой величиной.
Подставляя это разложение в двумерные стационарные урав- нения Навье — Стокса, получаем следующие безразмерные уравнения (для удобства нижний индекс О опущен): Уравнение неразрывности дк* ду' Уравнение движения по координате х ° ° ди', ° ди* я дР' р и —, + рео —, = — Л вЂ”. + дке ду* дк' + ' д ( ° ди ) 1 О)е («Сеге«) ']. (8.15) ге« У 524 Гл.
8. Решение параболкзованнык уравкенка Навье — Стокса Уравнение двиаеения по координате у + дх' (1л д ) — з в „(1х' д",)1+ О [~, (й~ ч) ). (8.16) Уравнение энергии + О [Л (цеш~), (6') (Кепи) ', 1 „", В выписанных выше уравнениях Кем=(р У Ь/р„) (р,'„/р',), Л'=Т„",/Мз„у, (8.17) а газ полагается совершенным. Следующий шаг состоит в том, чтобы выявить члены, которыми можно пренебречь по сравнению с другими в уравнениях (8.14) — (8.17). Для этого необходимо оценить порядки величин Яе„ь Лэ и (Л/6*)' в различных областях поля течения. Из теории пограничного слоя известно, что в тонком вязком слое величина цепи имеет порядок 1/(6')'.
К тому же на начальном участке вязкого слоя Л' пропорционально (М' ) , так как здесь Т', = 1. Для сжимаемой жидкости из теории пограничного слоя [БсЫ(сЫ(пд, 1968] следует, что Лх может достигать максимального значения порядка (7 — 1)/(2Ат), где А изменяется от Рг-цз для случая адиабатической стенки примерно до 4 в пределе холодной стенки. Поэтому для большинства случаев мы можем положить, что Л' «1 при М ) 5. Рудман и Рубин [кпбшап, 1(пЬ1п, 1968] показали, что (Л/6')з — 1 в области слившихся слоев.
Ниже по течению в области сильного взаимодействия (Л/6')' очень велико вблизи стенки и уменьшается до величины порядка единицы на внешней границе пограничного слоя. Теперь с учетом информации об относительных величинах )хе„ь Лэ и (Л/6')э в различных областях поля течения можно упростить уравнения (8А4) — (8.17). Выписывая систему урав- в 8.3. Параоолнаованные уравнения манье — Стокса 525 (8.20) Уравнение движения по координате х (8.21) Уравнение движения ло координате у до до др 4 д е до Х ри — +ро — = — — + — — р — )+ дх ду ду 3 ду к ду ) + д (1а д ) 3 д (Р дх)' (8.22) Уравнение энергии дТ дТ /ди до Х рис — + рос — = — р( — + — ) + а дх а ду ~дх ду) +д (яд )+И(~~ ) + 31а(д ) .
(8.28) Уравнения нулевого порядка справедливы на начальном участке поля течения вокруг входной кромки, когда М > 5, тогда как уравнения первого порядка — при М ) 2. Уравнения нулевого порядка были получены в пренебрежении членами порядка (б')в, Ля и в, Так как е — коэффициент при членах пер- пений нулевого порядка (М ) 5), мы можем пренебречь членами порядка (6'), Ла и в, но обязаны сохранить члены порядка (Л/б')а.
Поэтому уравнения неразрывности и движения по координате у уже не упрощаются. С другой стороны, уравнение движения по координате х упрощается, поскольку можно опустить член с продольным градиентом давления, а уравнение энергии сводится к уравнению дй/ду = О. (8.18) Объединяя уравнение (8.18) с уравнением движения по координате х, находим й=сопз1=1 или и=У . (8.19) Очевидно, что этот результат тривиален (применйм только для невозмущенного потока), и мы вынуждены сохранять члены более высокого порядка [(бе)Я, Лв и е], чтобы уравнение энергии имело смысл.
Отметим, что можно избавиться от многих членов высокого порядка при помощи уравнения (8.19). Окончательно уравнения нулевого порядка в размерной форме запишутся в виде Уравнение неразрывности — + — =О. дри дро дх ду 828 Гл. 8. Решение параболиаованных уравнений Навис — Стокса ного порядка, их порядок будет определяться наибольшей из величин (6*)а и 6а. Как показали Рудман и Рубин, чтобы величину (6')' можно было полагать очень малой (( 0.05), следует считать уравнения нулевого порядка непригодными выше точки, в которой Х /М' = 2, где )( — параметр сильного взаимодействия, определенный как Х- [,~ т ) (М'-Неа ) Поэтому в настоящей задаче обтекания входной кромки плоской пластины необходимо иметь начальное приближение для входного участка.
Точно так же обстоит дело и во всех других задачах, в которых решаются параболизованные уравнения Навье — Стокса. В рассматриваемой задаче допустимо пользоваться начальным приближением, локализованным вблизи входной кромки, поскольку это оказывает малое влияние вниз по потоку.
Так происходит оттого, что только малый расход проходит между пластиной и ударным слоем именно в этом начальном сечении по сравнению с расходом между пластиной и ударной волной в сечениях, расположенных ниже по потоку. В других задачах начальное'приближение будет оказывать некоторый эффект на течение вниз по потоку и во многих случаях начальное приближение следует определять точно. В параболизованных уравнениях Навье — Стокса, полученных Рудманом и Рубином, отсутствует член с продольным градиентом давления, чтобы не было влияния вверх по потоку в дозвуковой части пограничного слоя.
В результате эти уравнения обнаруживают строго параболическое поведение в области пограничного слоя. Именно по этой причине Дэвис и Рубин [Ран)з, КАТЬ(п, 1980[ называют эти уравнения параболическими уравнениями Навье †Сток вместо параболизованных. Последний же термин они используют для обозначения системы уравнений, содержащих продольный градиент давления. Параболизованные уравнения Навье — Стокса, которые вывели Рудман и Рубин, использовались для расчета течений в окрестности входной кромки для двух- и трехмерных конфигураций, включая плоские пластины, двухгранные углы, конусы и концы крыльев (библиографию см.
в [1.!и, КпЬ|п, 1973Ь] ). Трехмерные уравнения получаются аналогично двумерным. Сначала обезразмеривают координаты х, у, г по Е, б„и 6, соответственно. Скорости и, о, ти обезразмеривают по р', У б„и У 6; соответственно, где 6'„=6„/Ь и 6,'=6,/Л. Члены порядка (6,')а, (6*)т, 6'6' и т. д. считаются малыми. После подстановки в у)' па уравнения Навье — Стокса разложения в ряд и отбрасывания 5 8.3. Параболизонанные уранаенин Наине — Стокса 527 членов более высокого порядка малости получаем трехмерные уравнения нулевого порядка Уравнение неразрывности — + — + — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
