Anderson-et-al-2 (1185924), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. нестационарные уравнения Навье — Стокса интегрируются по времени до тех пор, пока не будет достигнуто установившееся решение. Таким образом, при расчете трехмерного течения с использованием уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа необходимо решать четырехмерную (три пространственных измерения и время) задачу. Методы решения полных уравнений Навье — Стокса будут обсуждаться в гл. 9. К счастью, во многих задачах расчета вязких течений, в которых уравнения пограничного слоя нельзя применять, можно решать систему уравнений, которая по сложности занимает промежуточное положение между полными уравнениями Навье — Стокса и уравнениями пограничного слоя.
Эти уравнения принадлежат к классу так называемых уравнений Навье— $ зд. Уравнения Навье — Стонса в приближении тонного слоя ЬП Стокса в приближении тонкого слоя или параболизованнык уравнений Навье — Стокса, В этот класс попадает несколько систем уравнений. Назовем некоторые из них: уравнения Навье — Стокса в приближении тонкого слоя, параболизованные уравнения Навье — Стокса, частично параболизованиые уравнения Навье — Стокса, уравнения вязкого ударного слоя, конические уравнения Навье — Стокса.
Системы уравнений этого класса характеризуются тем, что их можно применять как в невязкой, так и в вязкой областях поля течения. Кроме того, во всех этих уравнениях содержится ненулевой градиент давления в нормальном направлении. Это совершенно необходимо для того, чтобы течения в вязкой и не- вязкой областях можно было бы решать одновременно. Когда эти уравнения используются вместо полных уравнений Навье — Стокса, это имеет два очень больших преимущества. Во-первых, эти уравнения состоят из меньшего количества членов, что приводит к сокращению времени счета. Во-вторых, что более важно, в стационарном случае большинство систем этого класса состоит из гиперболически-параболических уравнений по координате в направлении основного потока (при соблюдении некоторых условий). Другими словами, уравнения Навье — Стокса «параболизуются» в продольном направлении.
Как следствие этого их можно решать маршевыми методами типа применяемых в теории пограничного слоя, что уменьшает число измерений с четырех до трех пространственных. Тем самым достигается существенная экономия памяти и уменьшается время счета. В этой главе мы обсудим вывод уравнений, относящихся к типу уравнений Навье — Стокса в приближении тонкого слоя, и некоторые методы их решения. $8.2. Уравнения Навье — Стокса в приближении тонкого слоя Формально нестационарные уравнения пограничного слоя можно получить, пренебрегая в полных уравнениях Навье— Стокса членами порядка 1Яе'~а и выше. Вследствие такого анализа порядка величин все вязкие члены с производными по направлению, параллельному поверхности тела, опускают, так как они существенно меньше вязких членов с производными по на. правлению, нормальному к стенке.
Помимо этого, уравнение движения в нормальном направлении сводится к совсем простому уравнению типа уравнения (8.1) в декартовой системе координат, означающему, что нормальный градиент давления очень мал. В приближении тонкого слоя в нестационарных уравнениях Навье — Стокса вязкими членами с производными по 518 Гл. 8. Решение параболизованнык уравнений Навье — Стокса направлениям, параллельным поверхности тела, также пренебрегают, но остальные члены в уравнениях движения сохраняются. Одно из основных достоинств сохранения членов, которыми обычно пренебрегают в теории пограничного слоя, заключается в возможности прямого расчета отрывных и возвратных течений.
Без труда рассчитываются также и течения с большими градиентами давления в нормальном направлении типа изображенных на рис. 8.1. Рис. 8.2, Направление .осей системы координат при обтекании плоской пластины. Концепция приближения тонкого слоя возникает также из детального рассмотрения типичных случаев численного решения полных уравнений Навье — Стокса прн больших числах Рейнольдса [Ва!дш1п, 1 ошах, 1978). В этих расчетах значительная часть ресурсов ЭВМ тратится на вычисление нормальных градиентов в пограничном слое, так как для итого необходима сетка с очень малым шагом. В результате градиенты в направлениях, параллельных поверхности тела, обычно не разрешаются адекватным образом, даже если соответствующие вязкие члены и сохраняются в уравнениях. Следовательно, при численном решении уравнений Навье — Стокса во многих случаях имеет смысл опускать члены, которые не разрешаются адекватным образом, при условии что они малы. Эти соображения приводят к уравнениям Навье — Стокса в приближении тонкого слоя.
Упрощая полные уравнения Навье — Стокса в соответствии с приближением тонкого слоя, для изображенного на рис. 8.2 течения получаем в декартовой системе координат следующие уравнения: 4 82. Уравнення Навес — Стокса в прнблнженнн тонкого слоя 819 (8.7) н пусть поверхность тела определяется уравнением и = О (рис, 8.3). Преобразованные уравнения в строго дивергентной форме имеют вид О~ Гнсе+И1.+р4+ОВ.'1 ~Оп +ИЧ.+пни+Оп.1 ()(' ' " ')( + (.
х н ат где l — якобнан преобразования и (), Е, Г и С определяются уравнениями (5.44). Теперь применим приближение тонкого Уравнение нераэрогвности — + — + — + — =О. др дри дрп дргв дг дх ду да (8.2) Уравнение движения по координате х дГ + д (р+Ри)+ д (Рио Р д )+ д (Ршв)=О. (8.3) Уравнение движения по координате у дт +эх(~ )+д (Р+~ 3~ д )+да(~ Уравнение движения по координате г д~ + д (Риге)+ д (Ри~ Р д )+ д (Р+Ргв')=О.
(8.5) Уравнение энергии дЕ д д / ди 4 де — '+ — (Е,и+ ри)+ — (Е,о+ ро — ри — — — по —— дг дх ду ~ ду 8 ду — — — — + — (Еегв+ ртв) дгв дгк д ду ду т' да (8.6) Эти уравнения записаны для случая ламинарного течения, но их легко модифицировать и для турбулентного течения, исполь- зуя методику $ 5.4.
Для тел более сложной формы необходимо отобразить по- верхность тела нз физического пространства на вычислительное и уже в нем применять приближение тонкого слоя. Зададим это отображение преобразованием общего вида $=$(х, у, г, г), п=а)(х, у, г, ~), ь=ь(х, у, г, 1), 520 Гл. 8. Решение вараболизованных уравнений Навьс — Стокса с = с(,у,~,т) Ч = Ч(е,у,а,е) Ь = С(л',у,'а,т) ~ — иь ь Поверхность тела тела и (а) (Ь] Рис. 8.3 Отобраиение физической области течение (а) на вычислительную (Ь).
лученные уравнения виде: д(12 д1 где тонкого слоя можно записать в следующем дне дие дпз дзв + — + — + — =— д$ дч д~ дч (8.9) ц,=(.)д, РУ риУ+ й„р РоУ+й Р РшУ+ зеР (Ее+ Р) У вЂ” Вар РУ РПУ+ ~)хр рр)~+у) Р Псами+ ),Р (Ев+ р) Ь вЂ” т)ьр р)е' ри))у + 1„Р РоЖ'+~ Р рсв)р'+ ь,Р (Ег + Р) )ех еьеР В =— 1 2 у (8.10) 1 чх,=— 2 у слоя к преобразованным уравнениям Навье — Стокса. В рамках этого приближения можно пренебречь всеми вязкими членами, содержащими частные производные по направлениям $ и Ь.
Пот) $ 83. Параеолнаоаанные уравнения Нааье — Сеанса 621 и все вязкие члены содержатся в Р (Ч'„+ Ч„'+ Ч'.) и„+ з (Ч„п„+ Ч„о„+ Ч,гвч) Ч„ Р (Ч'„+ Ч'„+ Ч',) ~„+ ф(Ч,1ач+ Ч„ее+ Ч,гвч) Ч„ Р (Ч'„+ Ч„'+ Ч',) гв„+ —," (Чаич+ Чяон+ Чаев„) Ч, 1 82 7 (Ч!+Ч',+Ч!)ВФ+ У+ ')„+КТО)+ + з (Ч "+ Чав+ Чаев)(Ч "я+Чяоч+ Ч*шч) (8.11) Для компактности выражения (8.10) записаны через контравариантные компоненты скорости 17, У и Ж', которые определяются в виде и=1, + ~„и+ ~„о+ з У = Че+ Ч. + Чяо+ Чаев, ЯГ =- ь, + ь„и + ьяо + ~,еэ; (8.12) $8.8. Параболизованные уравнения Иавье — Стокса Параболизованные уравнения Навье — Стокса получили в последнее время широкое распространение, потому что их применение позволяет весьма эффективно рассчитывать сложные стационарные трехмерные сверхзвуковые течения вязкого газа. 17 д.
Анаерсоа н ар. тем я 17, У, К суть контравариантные компоненты скорости в направлениях, нормальных к поверхности постоянства $, Ч и Ь соответственно. Хотя уравнения Навье — Стокса в приближении тонкого слоя существенно проще полных уравнений Навье — Стокса, все же требуются значительные ресурсы ЭВМ для их численного решения. Уравнения тонкого слоя образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений в частных производных относительно времени. Следовательно, для их решения можно использовать методы решения уравнений, зависящих от времени, как это обычно делают при решении уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа. Поэтому отложим обсуждение конечно-разностных методов решения уравнений тонкого слоя до гл.
9, в которой будут подробно рассматриваться методы решения полных уравнений Навье — Стокса. 522 Гл. 8. Решение парааолизоианных уравнения Навье — Стокса Эффективность такого расчета обусловлена применением маршевых по координате конечно-разностных схем, тогда как для решения полных уравнений Навье — Стокса применяются маршевые по времени схемы. Поэтому затраты ресурсов ЭВМ на решение параболизованных уравнений Навье — Стокса во всем поле течения для сверхзвукового потока сравнимы с затратами на расчет только невязкой части поля течения по уравнениям Эйлера или только вязкой части по уравнениям пограничного слоя. Далее, поскольку параболизованные уравнения Навье— Стокса справедливы и в вязкой, и в невязкой областях течения, взаимодействие последних автоматически учитывается в расчетах по этим уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
