Anderson-et-al-2 (1185924), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Дри Дро Дрв Дх Ду Дг (8.24) Уравнение движения по координате х Ривх+Ро Д +Рсв да Д 1!ад )+ Дг (!а Дг)' Уравнения движения по координате у До До До Др 4 Д До Д До Уравнения движения по координате г Дв Дв Дв Др 4 Д / Дв х ри — + ро — + рсв — = — — + — — р — ) + Дх Ду Дг Дг 3 Дг ~ Дг ) (8.27) Уравнение энергии дт дт ДТ /Ди До Двк рис — + рос — + рсвс — = — р ~ — + — + — ) + о Дх о Ду Дг ~Дх Ду Дг ) Параболизованные уравнения Навье — Стокса, очень похожие на выведенные Рудманом и Рубином, получены независимо в работе [СЬепд е! а!., 1970), Причем эти уравнения содержат член с продольным градиентом давления. Вероятно, наиболее общая форма параболизованных уравнений Навье — Стокса [(.пЬагд, Не!!!туе!1, 1973, 1974) получена в предположении, что вязкие члены с производными в продольном направлении (включая тепловые потоки) полагают малыми по сравнению с вязкими членами с производными в нормальном и поперечном направлениях.
Иными словами, вязкие члены с производными в продольном направлении считаются порядка 0(1), тогда как вязкие члены с производными в нормальном и поперечном направлениях порядка 0(Ке,'~г). Следовательно, эти параболизо- 538 Гл. 8. Решение нараболнаованных уравнения Навье — Стокса (8.29) Уравнение движения по координате х ди ди ди др д Т ди х д Т ди х ри — +ро — +рш — = — — + — (» — ) -» — (» — ).
дх ду дг дх ду ~ ду) дг ~ дг)' (8.30) Уравнение движения по координате у до; до до др- (4 д Т до Х , д Т до Х ри — ' + ро — + ргв — = — — + — — 1» — ) + — (» — )+ дк ду дг ду 3 ду ь ду ) дг ь дг ) Уравнение движения по координате г дш .
дш дш др 4 д Т дш Х д / дш Х ри — + ро — + рв — = — — + — — (» — ) + — (» — ) + дк ду дг дг 3 дг ~ дг ) ду ~ ду ) Уравнение энергии д7 дТ д7 Тди до дшч рис — + рос — + ршс — = — р ( — + — + — ) + ' дк 'ду ' дг (,дх ду дг) Интересно сравнить эту систему параболизованных уравнений с той, которую получили Рудман и Рубин (уравнения (8.24)— (8.28)). Заметим, что уравнения неразрывности и энергии одинаковы, а уравнения движения отличаются. В частности, как отмечалось выше, уравнение движения по координате х содержит продольный градиент давления. Теперь мы можем записать параболизованные уравнения Навье — Стокса в системе координат общего вида.
Полные уравнения Навье — Стокса в этой системе координат записываются ванные уравнения Навье — Стокса получаются путем простого отбрасывания из стационарных уравнений Навье — Стокса всех вязких членов, содержащих частные производные в продольном направлении. Результирующая система уравнений в декартовой системе координат выглядит так (х — продольное направление): Уравнение неразрывности — + — + — =О.
дри дро дрш дх ду дг 530 Гл. 8. Решение параболнзованньзх уравнена» Навье — Стокса 2 твв — — З Ез [2 ($воЕ + Чво„+ ьвоЕ) — (в„иЕ + Ч„и„+ ь,иЕ)— Е+ Чз ч+ ь Е))з 2 т-= З Ез(26*шЕ+ Ч.зон+ ~ и'Е) К.иЕ+ Ч.и. + 1.оЕ)— (ьвоЕ+ Чвоч+ ьвоЕ)) (зви + Ч„„+ Евис + Ь„о + Ч„о„+ Е,„ос), (8.36) „„=Ездки +Ч, „+~, +~„из +Ч„со„+~„то), твз = Ез ВаОЕ + Чзоч + 1зоЕ + $внзЕ + Чвизч + 1взоЕ)~ дз =- — йК.ТЕ+ з|Ч+1зТЕ) д„= — Щ„тЕ+ Ч„т, + ~„ТЕ), д, = — Щ,тЕ+ Ч,т„+ ~,тЕ). — + — + — =О, днз дрз доз да дп дь (8.37) где Ез =г ЙзЕз+ вьврз+ впзОз) Ра = У 1Ч„(Е, — Е'„) + Ча (Г, — Р',) + Ч, (бз — б'„)1. (8.38) С,=+~~„(Е,— Е„)+~„(Г, — Е'„)+~,(О, — О„')1 и штрих используется для указания иа то, что члены, содержащие частные производные по направлению $, опущены.
Поэтому сдвнговые напряжения и тепловые потоки в уравнениях (8.35) Отметим, что обычно векторы Е, Г и С расщепляют на невязкую (нижний индекс () и вязкую (нижний индекс о) части. Почему это делают, станет ясно из последующего описания процедуры численного решения параболизованных уравнений Навье — Стокса. Последние в криволинейных координатах теперь можно получить, просто опуская нестационарные и вязкие члены с производными по продольному направлению Е. В результате получаем уравнения $8.3. Параболазованные уравнения Навье — Стокса бз! будут выражаться в виде т.= /з!в [2(Ч ив+~.ис) (Чван+~в'с) (Ч тэч+~*шс)1 твв = /з!ь [2(Чвоч+ ~воС) (Ч,ич+ ~,иС) — (Ч,шч+ 1,тэС)] т'„= '/з!ь [2 (Ч,шч+ 1,п!,) — (Ч„и„+ ~„и,) — (Ч„о„+ ~„о,)~, '„= !ь (Ч,и„+ 1,и, + Ч„и „+ 1„тн,), д„= — й (Ч„т„+ ~„т,), г/'„= — й (Ч„т„+ Г. Т,), д, '= — й (Ч,т„+ ~,т,).
(8.39) Во многих приложениях [БсЫ11, Яедег, 1979) для параболизованных уравнений Навье — Стокса можно использовать приближение тонкого слоя. В рамках этого допущения результирующими уравнениями будут просто стационарные уравнения Навье — Стокса в приближении тонкого слоя. После перехода к криволинейным координатам их можно записать как двз дрв дОа даа — + — + — = —. дй дч д~ дч (8.40) где Ез, Рв, бз и Зв определяются уравнениями (8.10) и (8.11).
8.3.2. Продольный градиент давленая Градиент давления в уравнении движения в продольном направлении обеспечивает передачу информации вверх по потоку через дозвуковые части поля течения, например в пограничном слое. Вследствие этого маршевый по пространственной координате метод решения оказывается плохо обусловленным и во многих случаях приводит к экспоненциально растущим решениям (расходящимся решениям). Эти расходящиеся решения характеризуются либо увеличением давления на стенке, как это бывает при отрыве, либо уменьшением давления на стенке, как в веере волн разрежения. Аналогичное поведение [11дЫЫ!1, 1953) наблюдается для уравнений пограничного слоя, когда продольный градиент давления не задается.
Единственное отличие состоит в том, что в случае параболизоваиных уравнений Навье — Стокса уравнение движения в нормальном направлении допускает взаимодействие через давление между критической 532 Гл. 8. Решение параоолизованных уравнений Навье — Стокса где ри ри'+ вр рио р+ — (и'+ ов)~ и рио ро +Р— 1Р+ 2 (и +о)1о (8.42) О и„ 4 — о 3 в 4 й ии + — оо + — Т з и и и Обратим внимание на то, что в уравнении движения по координате х в качестве множителя перед градиентом давления в продольном направлении имеется параметр в.
Так, если в равно нулю, то продольный градиент давления в уравнении отсутствует, если же в равно единице, то полностью сохранен. Если сначала рассматривать предельный случай невязкой жидкости, то уравнение (8.41) сводится к уравнению Эйлера (8.43) которое эквивалентно [А,]Я„+ 1В1)ай =О, (8.44) дозвуковой частью пограничного слоя н внешним иевязким течением. Чтобы лучше понять, отчего возникают расходящиеся решения, исследуем влияние продольного градиента давления на математичсскую природу параболизованных уравнений Навье— Стокса.
Для простоты ограничимся двумерным случаем совершенного газа с постоянной вязкостью. В рамках этих допущений уравнения (8.29) — (8.33) могут быть представлены в векторном виде — + — = — ' дв ди дна дк ду ду (8.41) з 8.3. Парааоливованные уравнения Навье — Стокса 833 где Р ри о [А![ = ри О уи у — ! о 0 ри'+ УР, рис с 0 р 0 о (8.45) [в [= 0 0 ро 1 0 рио ров 1 УР УР у — 1 у — 1 — Ь ~ т(Ь' — 4ос тьа, 4 = 2а о 1,2 (8.46) где а = [у — (у — 1)[ и' — о!а', Ь = — ио [! + у — от'(у — 1)[, с=о — а 2 2 и а — скорость звука.
Если продольный градиент давления сохраняется полностью (т. е. оа = 1), то легко показать, что все собственные значения вещественны, когда и' + о' ) а' илн М ) 1. Это обычное требование, которому необходимо удовлетворить, чтобы уравнения Эйлера можно было интегрировать маршевой по пространственной координате процедурой. Однако, как только в уравнении сохраняется хотя бы часть градиента давления (т.
е. О ( от ( 1), собственные значения будут оставаться вещественными даже в дозвуковых областях, если умв 9 (~ !+(у — !) м'„' (8.47) где М = и/а. Это ограничение на продольный градиент давления получено в предположении, что нормальная компонента скорости о много меньше продольной компоненты и. Рассмотрим далее предельный случай вязкой жидкости, игнорируя в уравнении (8.41) члены с первыми производными по у. Полученные при этом уравнения можно записать в виде [А [Я„= [В~[Я„„, (8.48) Это гиперболические уравнения относительно переменной х, при условии что собственные значения матрицы [А![-'[В!) вещест- венны (см.
$ 2.5). Собственные значения этой матрицы суть 334 Гл. 8. Региеиие параболизованнык уравнений Наине — Стокса где р о 2ри о пв [Ав] = ио и (и' + н') рн ур р (Зла+ о') у 1+ 2 рган о о о о о 4 4 у 3 (у — 1)рРг ри (8.49) [в]= ур (у — 1) ра Рг Это параболические уравнения относительно переменной х, если собственные значения матрицы [Ав]-'[Ва] вещественны и положительны (см. $2.5). Собственные значения должны быть положительными, чтобы положительная вязкость приводила к демпфированию в продольном направлении.
Собственные значения можно найти из следующего уравнения (полагая, что и ~0): ) ( — '„" ) — — ', ) (( — '„" ),)'(М'. [у — (у — 1)] — 1+ +( — '")) ~~ (у — 1) — у('+,„'")~М'.+ —,",~+ — ",„")=О. (850) Было показано [%дпегоп е1 а1., 1978], что определяемые из этого уравнения собственные значения будут вещественными и положительными, если (8.51) и)0, умх го ( 1+(у — ЦМ„ 2 (8.52) Из неравенства (8.51) следует запрет на обратные течения, тогда как неравенство (8.52) накладывает ограничение на продольный градиент давления, прежде задаваемое выражением (8.47). Из этого мы заключаем, что неустойчивость, обусловленная наличием продольного градиента давления в параболизованных уравнениях Навье — Стокса, имеет фактически не- вязкую природу. Отметим, что правая часть неравенства (8.52), обозначенная через )(М,), является функцией местного числа Маха по про- 5 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
