Anderson-et-al-2 (1185924), страница 23
Текст из файла (страница 23)
уравнение (5.131а)). В нескольких более поздних работах во внешней части пограничного слоя использовалась «неизотропная» модель турбулентности [Мс1еап, 1(апба11, 1979; 1!п е1 а1., 1981). Полученные в последнее время экспериментальные данные подтверждают, что при описании кажущихся турбулентных напряжений по гипотезе Буссинеска коэффициент вязкости в члене с вязкими напряжениями в поперечном направлении во внешней части пограничного слоя может оказаться существенно меньше (на множитель 0.4 — 0.7) коэффициента вязкости в члене с вязкими напряжениями в продольном направлении.
и Обратные методы позеоляют пройти особую точку и и трехмерном случае (см. !261 н списке пополнительиой литературы). — Прим. нерве. ойа Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя По-видимому, для более точного моделирования турбулентности в трехмерных течениях необходимы дальнейшие исследования.
По всей вероятности, теория трехмерного пограничного слоя успешнее всего применялась в последние годы для анализа обтекания крыльев. Для таких течений разработаны' и подробно описаны специальные улучшенные алгоритмы [СеЬес1 е! а!., 1977; Мс1.еап, Рсапба(1, 1979]. При анализе трехмерных течений можно проводить и расчет вязко-невязкого взаимодействия, хотя определение формы тела вытеснения является в этом случае более сложной задачей. Расчеты вязко-невязкого взаимодействия при обтекании крыльев проведены Маклином и Рандаллом [Мс|еап, Ванда(1, 1979[. В трехмерном случае обычно не удается воспользоваться простым интегралом Коши (7.83) для описания влияния на течение небольших изменений формы поверхности, поэтому при каждом, итеративном прохождении всего течения приходится заново рассчитывать невязкий поток.
Однако вместо того, чтобы проводить расчет невязкого обтекания тела вытеснения, удобнее сохранить форму тела, а влияние вязкости описать распределенными источниками и стоками [Е!дЬ(Ь111, 1958[. В п. 7.4.4 фактически использование именно концепции Лайт- хилла распределенных источников и стоков позволило в случае двумерных течений несжимаемой жидкости свести задачу воздействия на течение небольших вязких возмущений к интегралу Коши (7.83).
Если невязкое течение описывается полным уравнением потенциала, то распределенные источники и стоки (интенсивность которых определяется производными толщины вытеснения по касательным к обтекаемой поверхности координатам) являются новыми граничными условиями для нормальной составляющей скорости (на поверхности тела задается вдув или отсос). Основное преимущество такого подхода при расчете дозвуковых течений прямыми методами состоит в том, что при решении эллиптических уравнений в частных производных на каждой итерации, проводимой для расчета взаимодействия, не нужно заново вычислять матрицу коэффициентов и обратную ей матрицу. Все известные до сих пор расчеты вязко-невязкого взаимодействия для полностью трехмерных течений проведены с использованием обычных прямых методов расчета пограничного слоя.
Мало что известно о возможности применения обратной задачи для анализа трехмерных пограничных слоев. Укажем на несколько работ обзорного или общего характера, знакомство с которыми полезно для того, чтобы шире посмотреть на современное состояние методов расчета трехмерного пограничного слоя: [Иапо, 1974, 1975; ВисЬпе!1 е1 а1., 1976; В!о1!пег. 1975Ь; КНсЬепз е! а!., 1975[. $ 7.8. Нестаннонарные пограничные слои 507 $7.8. Нестационарные пограничные слои Часто, особенно при расчете летательных аппаратов, желательно знать поведение нестационарного пограничного слоя.
Вычислительные аспекты таких задач в настоящее время понятны, однако остается ряд сомнительных моментов, связанных с моделированием турбулентности. Мы ограничимся рассмотрением двумерных нестационарных пограничных слоев, хотя многие результаты распространимы и на трехмерный случай. Уравнения двумерного нестационарного пограничного слоя приведены в гл. 5 (уравнения (5.116) †(5.118)).
Они отличаются от соответствующих стационарных уравнений лишь членами рди/д1 в уравнении движения и др/д1 в уравнении неразрывности. Нестационарные уравнения также являются параболическими, причем маршевой координатой является время. Значения неизвестных и, о и Н, а также свойства жидкости необходимо запоминать во всех узлах области, занятой потоком.
Начальные значения и, н и Н должны быть заданы для всех х и у. Граничные условия могут меняться по времени. Обычно граничные условия задают в виде 1. При х = хо и(1, хо, у) и Н(1, хо, у) задаются для всех у и 1. 2. При у=О и(г,х,О)=п(г,х,О)=0. 3. 1пп и(г, х, у) иа(г, х). и'+ Основной задачей является создание метода расчета, позволяющего получать достаточно точное и устойчивое решение при возникновении возвратного течения (и ( 0). С этой точки зрения задача расчета двумерного нестационарного пограничного слоя аналогична задаче расчета трехмерного стационарного пограничного слоя, во всяком случае в той ее части, которая состояла в выборе конечно-разностного аналога уравнений, позволяющего рассчитывать пограничные слои с отрицательными вторичными течениями.
Если в нестационарной задаче возникает возвратное течение, то необходимо воспользоваться разностной аппроксимацией производных, допускающей передачу возмущений вверх по потоку. Для двумерных нестационарных пограничных слоев это условие не было сформулировано в виде принципа влияния, но физически очевидно, что пренебрегать возможностью конвективного переноса возмущений в направлении течения нельзя. Более того, уравнения двумерного стационарного пограничного слоя являются параболическими уравнениями, а из этого снова следует, что информация обязательно должна распространяться в маршевом направлении, которое совпадает с направлением составляющей скорости по оси х.
Иначе стационарное решение не 508 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя может быть получено из анализа переходного нестационарного решения. При возникновении возвратного течения для аппроксимации производной ди/дх чаще всего используют адаптированную на нестацнонарный случай схему зигзаг, которую Краузе предложил для расчета трехмерных пограничных слоев. Такая разностная аппроксимация производной проиллюстрированна на рис. 7.31. Используя обозначения, показанные на этом рисунке, запишем для сетки с постоянным шагом Лх конечно-разностный и+! Рис.
7.3!. Схема зигзаг, используемая при расчете нестацианарных течений для аппроксимации производных в продольном направлении. аналог производной в продольном направлении в том случае, когда эта производная аппроксимируется по схеме зигзаг: и+! в+! а в и!, ! — иг-!. г+ иг+!, ! — ии ! дк Зох (7.122) Индекс 1 связан с координатой, нормальной к обтекаемой поверхности, Разностную производную (7.122) можно использовать при построении конечно-разностной схемы, центрированной относительно точки а+ 1/2, !', 1. Такую разностную схему можно рассматривать как модификацию схемы зигзаг, предложенной Краузе для расчета трехмерных стационарных пограничных слоев, на случай расчета двумерного нестационарного пограничного слоя.
Блочный метод Келлера с аппроксимацией производных по схеме зигзаг, который применялся для расчета трехмерных пограничных слоев, был модифицирован в аналогичный метод расчета нестационарных пограничных слоев. Эта схема применима и в том случае, когда возникает возвратное течение [Се(зес1 е1 а!., 1979а).
Задачи 509 При возникновении возвратного течения к неплохим результатам приводят и схемы с разностями против потока, предложенные Телионисом и др. [ТеИоп!3 е! а1., 1973] н Мерфи и Прентером [МнгрЬу, Ргеп!ег, 1981]. В методе Мерфи и Прентера производные по нормали к обтекаемой поверхности аппроксимируются с четвертым порядком точности. Полезный обзор работ, посвященных расчету нестационарного пограничного слоя, проведен Блоттнером [В10!!пег, 1975]. Рекомендуем ознакомиться также с работами [ТеИоп(з е! а1., 1973; ТзаЬаИз, ТеИоп!3, 1974; ТеИоп(з, ТзаЬаИз, 1976; СеЬес( е! а1., 1979Ь; РЬИИрз, Ас)сегЬегд, 1973; МпгрЬу, Ргеп!ег, 1981]. Задачи 7.1.
Проверьте условна устойчивости, приведенные в п. 7.3.2 для двух вариантов простой явной схемы расчета уравнений пограничного слоя. 7.2. Пусть иа (л + 1)-м слое по маршевой координате необходимо вычислить величину (ди/ду)з, где и — неизвестная. Рассматривается течение вязкой жидкости,х — маршевая координата, а у — расстояние, отсчитмваемое по нормали к стенке, Используя линеарнзацню по Ньютону, постройте такой конечно-разностный аналог величины (ди/ду)з, который не препятствовал бы итерационному решению алгебраических уравнений прогонкой и иа каждой итерации был линееи относительно неизвестных. 7.3.
Покажите, что уравнения (7.20) и (7.21) действительно сводятся к системе алгебраических уравнений с блочной трехднагональной матрицей. Выпишите злементы блоков матрицы. 7.4. Проверьте соотношение (7.24). 7.5. Обобщите соотношение (7.24) на случай сетки с непостоянными шагамн Лх и бу так, чтобы сохранить второй порядок точности схемы. 7.6. Рассмотрите неявный конечно-разностный аналог уравнения движения пограничного слоя в+1 в в-!-! в+1 „и/ — и/ „и/ — и/ ! и и" + о = — (и/в+ — 2ив/ + и / Лх ад (ар) [ Как вы думаете, появятся ли при решении прогонкой полученной системы уравнений ограничения, связанные с величиной сеточного числа Рейнольдса при и > О, и > О? Обоснуйте ваш ответ.
7.7. Повторите задачу 7.6 для разностного уравнения, полученного при замене второго слагаемого выражением ив+! ив+! в I +! и/ ау 7.8. Постройте гибридную конечно-разностную аппроксимацию величины оди/ду при п~~' < О, аналогичную (7.27) . 7.9. Проверьте условие устойчивости (7.30). 7.!О.
Проделайте все необходимые шаги для решения уравнения теплопроводности блочным методом Келлера. Проверьте уравнения (7.38) — (7.40). 510 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя 7.11. Покажите, что система уравнений (7.48) н (7.49) действительно яв. ляется системой уравнений с блочной трехдиагональной матрипей, при этом блоки имеют размер 2)(2. Проверьте, действительно ли эта система уравнений имеет вид, допускающий решение методом модифицированной прогонки.
Напомним, что метод модифицированной прогонки был описан в п. 7.3.3 как метод совместного решения уравнений движения и неразрывности. 7.12. Решите задачу 4.25 модифицированным блочным методом (соотношения (7.37)). 7.13. Выберите неявную схему (полностью неявную, Краина — Николсона, модифицированную блочную схему). Напишите программу расчета на ЭВМ уравнений ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на пластине в физических координатах (схема А) и в преобразовааных координатах (схема В) (уравнения (7.52) н (7.53)). Проведите линеаризацию разиостных уравнений при помощи либо метода запаздывающих коэффициентов, либо экстраполяции коэффициентов о и и.
Уравнения движения и неразрывности решайте независимо. Решение полученной системы уравнений с трех- диагональной матрицей проведите прогонкой. Для схемы В выберите шаг Лт) = 0.3, а для схемы А — из соотношения ри Ьу!)х = 60. При расчете по схеме А толщина пограничного слоя будет расти с ростом х, поэтому в ходе расчета придется добавлять к расчетной области дополнительйые узлы. Размер шага по маршевой координате можно увеличивать пропорционально толщине пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
