Anderson-et-al-2 (1185924), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. имеют большой градиент скорости) лишь в одном направлении. Многие течения, встречающиеся на практике, относятся к течениям рассматриваемого типа. В основном это внешние течения, В качестве примера укажем на течения, возникающие в вязкой области потока на крыльях и аэродинамических телах произвольной формы.
Для начала рассмотрим трехмерный пограничный слой, схематически изображенный на рис. 7.23. Наличие в потоке цилиндра изменяет поле давления н отклоняет линии тока невязкого потока, как это показано на рисунке. Из уравнений движения следует, что составляющая градиента давления, вызывающая это отклонение, направлена от центра кривизны линий тока невязкого потока. Так как пограничный слой тонкий, то градиент давления не меняется в направлении, нормальном к обтекаемой поверхности. В результате прн движении в глубь пограничного слоя вектор скорости поворачивается к центру кривизны линии тока невязкого течсния. Это связано с тем, что градиент давления остается неизменным, а силы инерции убывают по мере приближения к стенке.
Последнее и приводит к тому, что при движении по нормали к стенке внутрь пограничного слоя радиус кривизны линий тока убывает. Следовательно, в общем случае поперечная составляющая скорости достигает максимума в некоторой точке, расположенной внутри пограничного слоя, как это и показано на рис. 7.23. Итак, градиент давления приводит к возникновению поперечного течения, которое в приложениях обычно называют вторичным течением. Возникновением вторичных течений объясняются такие явле- э 7.7. Трехмерные пограничные слои ния, как наблюдаемый на участке поворота реки перенос песка к ее внутреннему берегу или движение чаинок к центру (у дна чашки) при помешивании чая.
Еще одним интересным примером является трехмерный пограничный слой на осесимметричных телах, обтекаемых под углом атаки. Такие течения на удлиненных эллипсоидах исследовались многими авторами. Укажем здесь на работы (Уьгапд, 1974, 1975; В!о!!пег, Е11!з, 1973; СеЬес! е1 а1., 1979а; Ра!е!, СЬо1, 19791. Иласкасть задания начальник данник «ооФ' Рнс. 7.23. Пример течения в дозвуковом' трехмерном пограничном слое. Уравнения трехмерного пограничного слоя не пригодны для описания вблизи линии пересечения двух поверхностей (например, вблизи линии пересечения крыла с фюзеляжем или в углу канала), так как в этом случае одинаково важную роль играют градиенты вязких напряжений по двум направлениям.
Для описания течения вблизи углов используется другая упрощенная форма уравнений Навье — Стокса, которая будет обсуждаться в гл. 8. Здесь мы не собираемся подробно осветить все вопросы теории трехмерного пограничного слоя. Наша цель — привести стратегию численного решения уравнений трехмерного пограничного слоя, опираясь на материал, изложенный в предыдущих разделах. При этом основное внимание будет уделено тем новым моментам, которые связаны с трехмерным характером решаемой задачи.
4аз Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля 7.7.2. Уравнения трехмерного иограничяого своя В гл. 5 уже были приведены уравнения трехмерного пограничного слоя в декартовой системе координат (уравнения (5.120) †(5.123)) и в ортогональной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела (уравнения (5.124) †(5.128)). Прн некоторых специальных условиях (реализующихся, например, при сверхзвуковом ламинарном обтекании конуса под углом атаки) число независимых переменных можно сократить с трех до двух. Эти частные случаи мы здесь рассматривать не будем. Декартовы координаты можно использовать для расчета течений на развертывающихся поверхностях (т.
е. на таких поверхностях, которые могут быть развернуты на плоскость без сжатия или растяжения). Их можно, конечно, использовать и для расчета течений на плоской поверхности. Криволинейные координаты необходимы для анализа течения на телах более сложной формы. Небольшое количество расчетов проведено в потоковой системе координат (криволинейной ортогональной системе координат, связанной с линиями тока невязкого течения [СеЬес1 е! а!., 1973]). Однако большинство расчетов трехмерных пограничных слоев проведены в системах координат, связанных лишь с формой обтекаемой поверхности.
Если даже система координат связана с обтекаемой поверхностью, то необходимо еще выбрать направление координатных линий. Обзор различных систем координат, используемых для расчета трехмерных течений, проведен Блоттнером [В!о!!пег, 1975Ь]. Уравнения трехмерного пограничного слоя, приведенные в гл, 5, имеют особенность в начале координатной оси хь Это особенность того же типа, что и особенность, возникающая в двумерном случае на передней кромке пластины (см. п.
7.3.7). Некоторые исследователи успешно использовали уравнения, записанные в такой форме, для расчета течений в декартовой системе координат [К1!и!сз!е!с, Р!егсе, 1973], а также для расчета более сложных течений, возникающих при обтекании осесимметрических тел [%апд, 1972; Ра!е!, СЬо1, 1979]. Однако перед проведением расчета трехмерного пограничного слоя приходилось применять специальную процедуру для определения решения в передней критической точке. Более общепринятым является исключение имеющейся в уравнениях особенности путем подходящей замены переменных.
Ни одна из таких замен переменных не является оптимальной сразу для всех течений. Сопоставление нескольких преобразований переменных, применявшихся для решения различных задач, проведено Блоттнером [В!о!!пег, 1975Ь]. В качестве примера мы $7.7. Трехмерные пограничные слои 487 1 др ри1 дик е риз. е Е и,,и,,К, — и,',К,, (7.108) и',,К, +и,,и,К, (7.109) И, дх~ И~ 1 др ри1 дх1 Из диз, е риз, е + И И дх И дх, где и,,(хы хз) и из,е(хь х,) известны из решения задачи о не- вязком обтекании тела. Индексом и обозначены значения параметров на внешней границе пограничного слоя.
Предположим, что вязкие турбулентные напряжения Рейнольдса можно описать при помощи коэффициента турбулентной вязкости. Тогда диз — ри'и' = 13— 33 гдхз ди, дхз ' дг дх — ри,и,=13 l — = Ргг, 13 = 137+ 13. ргср г — рс й7'= й ДлЯ опРеДелениЯ величины 1зг можно использовать как пРостУю, так и сложную модели. Никаких специальных предположений о сложности выражения для 1зг мы пока не делаем.
Уравнения остаются справедливыми и для ламинарных течений, так как в этом случае 13= 13. Удобно ввести безразмерные составляющие скорости и полную энтальпию по формулам 6=— из В'е ' и~ иче где величину й7, мы выберем позднее; она равна либо иь„ либо из, . приведем одно из преобразований переменных, исключающее особенность в начале координатной оси х1 и позволяющее найти профили всех неизвестных в передней критической точке из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается при х~ = О. Решая преобразованные уравнения, удается последовательно проводить расчет течения, начиная от передней критической точки.
Если течение ламинарное, то толщина пограничного слоя в преобразованных переменных будет почти постоянной. В,первую очередь отметим, что во внешней части пограничного слоя, где вязкие члены пренебрежимо малы, а ди1/дхз — е 0 и диз/дхз -+ О, уравнения пограничного слоя переходят в уравнения Эйлера. Поэтому составляющие градиента давления, входящие в уравнения (5.126) и (5.127), могут быть записаны в виде 4йй Гл. 7. Численные методы решения уравнений потраничното поля Введем новые независимые переменные х= х(, « = хз и х, о Используя правило дифференцирования сложной функции, получим, что производные по исходным независимым переменным должны быть заменены в соответствии с формулами д д дч д дх| дх дх дЧ д д дч д — = — + — —.
дхз дг дг дЧ После. проведения указанной замены переменных уравнения (5.125) — (5.128) примут вид Уравнение неразрывности «2аз дх еа2 1 дч х д (ЬЗР) Р д(( + пз ( ' ' (хии е(р)3),)и~~ = О. (7,110) й(аз ((рр)еи /х)~М дг и Уравнение движения ао координате х + 1~ + + РО«К( «О2К3 хР дР дР хС дР А| дх де) Ае дг (2) (1) (з) =5,( — Р')+ Р,( — „"' ' — ГО)+ (е) (3) з' ' 3' 3 + (7111) Уравнение движения по координате г + )' — + — — + «РОКз — «т К( = хР дС дС хС дС 2 Ь! дх дЧ Ьа дг Хпаиз е д / рр дС~ =0(й,+р„+ ' " — К,)1 — АЗОР— 53О2+ — ( — — ). и1 е дч ~(р ), дч,) ' (7.112) 490 Гл. 7, Численные методы решения уравнений пограничного поля системе координат (до проведения указанного выше преобразования переменных) или в декартовой системе координат, показывает, что координаты х1 и хз взаимозаменяемы. Действительно, вид уравнений не меняется, если координаты х1 и х, поменять местами.
Следовательно, до тех пор пока составляющие скорости и, и из положительны, нельзя выделить какое-то координатное направление как очевидно маршевое, рассматривая лишь сами уравнения. Так как в уравнения входят первые производные от иь из и Н по х1 и хз, то можно ожидать, что для обеспечения возможности расчета маршевым методом в направлении осей х, и хз начальные условия следует задать на двух пересекающихся плоскостях. Правильное (преимущественное) маршевое направление можно найти при помощи принципа влияния, который будет приведен ниже. В дальнейшем мы будем исходить из предположений, что решение можно найти маршем вдоль осей х, или хз.и что начальные данные надо задать на двух пересекающихся плоскостях.
Обычно направление основного потока легко определить, зная геометрию обтекаемого тела и направление набегающего потока. Введя координату т1, мы уже предположилн, что направление осей х или х, близко к направлению основного потока, а направление осей хз или х — к направлению вторичного течения. Рассмотрим сначала вопрос задания начальных значений Р, О, 1 в плоскости х, т1, что позволит получить информацию, необходимую для проведения расчета в направлении оси х маршевым методом. Если начало координат поместить в переднюю критическую точку (или, как это иногда бывает, на переднюю критическую линию), то уравнения энергии и движения сведутся к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Решая их совместно с уравнением неразрывности, найдем необходимые начальные условия в одной из плоскостей. Для течения, показанного на рис. 7.23, уравнения требуемого вида получаются путем простого отбрасывания всех членов уравнения, содержащих х в качестве сомножителя (они равны нулю). Такое начальное условие'описывает течение, аналогичное течению у передней кромки пластины.
Известно [Ночгаг()т, 1951[, что при обтекании затупленных тел, имеющих истинную критическую точку (в которой происходит полное торможение потока), составляющие скорости ин, и из,, меняются в окрестности этой точки линейно по х, Следовательно, некоторые члены уравнений, обращающиеся в нуль на передней кромке пластины, в случае обтекания затупленного тела имеют при х- 0 предел, отличный от нуля. В случае несжимаемой жидкости течение в передней критической точке подробно рассмотрено Блоттнером и Эллисом [В!о((пег, ЕИ1з, 1973[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
